直线参数方程-知识讲解

直线参数方程-知识讲解cosα,y+t2sinα)；（2）P1P2的长度为|t2-t1|；（3）P1P2的倾斜角为α；（4）P1P2的中点坐标为((x+t1cosα+x+t2cosα)/2,(y+t1sinα+y+t2sinα)/2)。2.利用直线参数方程解决问题的一般步骤：（1）列出问题；（2）建立坐标系，确定直线的位置和方向；（3）根据已知条件和直线参数方程列出方程组；（4）解方程组，求出未知量；（5）验证解是否符合实际情况，回答问题。3.实例分析：已知直线l过点A(1,2)，斜率为2/3，求直线l的参数方程。解：直线l的斜率为2/3，因此倾斜角为arctan(2/3)，过点A(1,2)，代入直线参数方程的一般式得：x1ty2(2/3)t其中t'为参数，化简得到标准式：x1ty2(3/2)t其中t=t'/2，表示有向线段AM的长度。例2．已知直线的参数方程为$\begin{cases}x=5+3t\\y=10-4t\end{cases}$，求：（1）直线的直角坐标方程；（2）将参数方程化为标准形式。解：（1）由参数方程可得：$$x-5=3t,\quady-10=-4t$$两式平方相加，得：$$(x-5)^2+(y-10)^2=9t^2+16t^2=25t^2$$即：$$\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-10)^2}{25}=t^2$$因此，直线的直角坐标方程为：$$\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-10)^2}{25}=1$$（2）将参数方程化为标准形式：$$\frac{x-5}{3}=\frac{y-10}{-4}=t$$令$\frac{x-5}{3}=a$，则$\frac{y-10}{-4}=-\frac{3}{4}a$，代入直线的直角坐标方程可得：$$\frac{(3a)^2}{25}+\frac{(-4\times\frac{3}{4}a)^2}{25}=1$$即：$$\frac{9}{25}a^2+3^2=25$$化简得：$$\frac{x-5}{3}=\pm\frac{4}{5},\quad\frac{y-10}{-4}=\pm\frac{3}{5}$$因此，直线的标准形式为：$$\frac{x-5}{3}=\frac{4}{5}t,\quad\frac{y-10}{-4}=-\frac{3}{5}t$$或者：$$\frac{x-5}{3}=-\frac{4}{5}t,\quad\frac{y-10}{-4}=\frac{3}{5}t$$【变式1】已知直线$l:\begin{cases}x=1+3t\\y=2-4t\end{cases}$，求经过点$M(-2,3)$，倾斜角为$\frac{\pi}{4}$，相距为2的点的坐标。解：设所求点为$N(x,y)$，则$MN=2$，$MN\perpl$，又$l$的斜率为$-\frac{4}{3}$，故$l$的法向量为$(3,-4)$。由于$l$过点$N$，故$l$的一般式为$3x-4y+7=0$。又由于$MN\perpl$，故向量$\overrightarrow{MN}$与$l$的法向量垂直，即：$$(3,-4)\cdot\overrightarrow{MN}=0$$即：$$(3,-4)\cdot(x+2,y-3)=0$$化简可得：$$3x-4y+6=0$$解得：$$x=\frac{2}{5},\quady=\frac{9}{5}$$因此，所求点为$N(\frac{2}{5},\frac{9}{5})$。【变式2】已知直线$l:\begin{cases}x=1+t\\y=3+3t\end{cases}$，求直线$l$的标准参数方程，并且求出直线$l$上与点$M(\frac{3\pi}{4},4)$相交的点。解：直线$l$的斜率为$3$，故$l$的方向向量为$(1,3)$，即$l$的参数方程为：$$\begin{cases}x=1+t\\y=3+3t\end{cases}$$将$t$用$x$表示，得：$$t=x-1$$代入$y=3+3t$中，得：$$y=3+3(x-1)=3x$$因此，直线$l$的标准参数方程为：$$\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{3}$$即：$$x-3y+8=0$$直线$l$与点$M(\frac{3\pi}{4},4)$相交，当且仅当$x=\frac{3\pi}{4}$，$y=4$时成立，此时交点为$(\frac{3\pi}{4},4)$。【变式3】化直线$l:2x+3y-1=0$的普通方程为参数方程，并说明参数的几何意义，说明$|t|$的几何意义。解：将$l$的普通方程化为标准方程，得：$$\frac{x}{\frac{1}{2}}+\frac{y}{\frac{1}{3}}=1$$令$\frac{x}{\frac{1}{2}}=\cos\theta$，$\frac{y}{\frac{1}{3}}=\sin\theta$，则有：$$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\cos\theta\\y=\frac{1}{3}\sin\theta\end{cases}$$即：$$\begin{cases}\frac{x}{\cos\theta}=\frac{1}{2}\\\frac{y}{\sin\theta}=\frac{1}{3}\end{cases}$$由此可得：$$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\cos\theta\\y=\frac{1}{3}\sin\theta\end{cases}=\begin{cases}\frac{1}{2}\sec\theta\\\frac{1}{3}\tan\theta\end{cases}t$$其中，$t=\cos\theta$，$|t|\leq1$。参数$t$表示直线上的点与直线与$x$轴正半轴的交点的连线与直线的夹角的余弦值，即$t=\cos\theta$。$|t|$表示直线上的点与直线与$x$轴正半轴的交点的连线的长度与直线在交点处的斜率的乘积，即$|t|=\frac{1}{\sqrt{13}}$。【变式4】已知直线$l$过点$P(3,2)$，且与$x$轴和$y$轴的正半轴分别交于$A$、$B$两点，求$|PA|\cdot|PB|$的值为最小时的直线$l$的方程。解：设$l$的斜率为$k$，则$l$的截距式为$y=kx+b$。由于$l$经过点$P(3,2)$，故有$2=3k+b$，即$b=2-3k$。因此，$l$的方程为$y=kx+2-3k$。设$A$、$B$的坐标分别为$(a,0)$和$(0,b)$，则直线$PA$、$PB$的长度分别为：$$PA=\sqrt{(a-3)^2+2^2},\quadPB=\sqrt{3^2+(b-2)^2}$$由于$PA\cdotPB$的值为两个长度的乘积，因此可以通过最小化$PA\cdotPB$的值来求得直线$l$的方程。将$PA\cdotPB$表示为$k$和$b$的函数，即：$$PA\cdotPB=f(k,b)=\sqrt{(a-3)^2+2^2}\cdot\sqrt{3^2+(b-2)^2}$$由于$A$、$B$在$x$轴和$y$轴上，因此有$a>0$，$b>0$。将$b=2-3k$代入上式中，得：$$PA\cdotPB=f(k)=\sqrt{(a-3)^2+2^2}\cdot\sqrt{3^2+(2-3k-2)^2}=\sqrt{(a-3)^2+4}\cdot\sqrt{9k^2-12k+13}$$为了最小化$PA\cdotPB$，需要求得$f(k)$的最小值。对$f(k)$求导，得：$$f'(k)=\frac{9k-6}{\sqrt{(a-3)^2+4}\cdot\sqrt{9k^2-12k+13}}$$令$f'(k)=0$，解得$k=\frac{2}{3}$。此时，$f(k)$取得最小值：$$f_{\min}=f(\frac{2}{3})=\sqrt{(a-3)^2+4}\cdot\sqrt{\frac{13}{3}}$$为了使$f_{\min}$最小，需要使$\sqrt{(a-3)^2+4}$最小。因此，$A$应该在$x$轴正半轴上，$B$应该在$y$轴正半轴上，此时有$a=3$，$b=2$，因此直线$l$的方程为$y=\frac{2}{3}x+2$。求过点P(-3,)且倾斜角为30°的直线与曲线y=t-1/t相交于A、B两点，求线段AB的长度。例5（2016鞍山一模）在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的交点为T。（1）求点T的极坐标；（2）过点T作直线l