高三数学二模试卷理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．R已知集合A={x|x4＜0}，则?）R{x|x≤﹣2或x≥2} {x|x＜﹣2或x＞2} {x|﹣2＜x＜2} {x|﹣2≤x≤2}下列函数中为奇函数的是（ ）y=x+cosxB．y=x+sinxC ． ﹣|x|若y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）1 0 2设 ，是非零向量，则“ ，共线”是“| + |=| |+| |”的（ ）充分而不必要条件 B．必要而不充分条充分必要条件D．既不充分也不必要条件已知等比数列{a为递增数列，是其前n项和．若a1+a5= ，a2a4=4，则）我国南宋时期的数学家秦九韶（约 1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的x=2，则程序框图计算的是（ ）5 4 3 2 5 4 3 22+2+2+2+2+1 B．2+2+2+2+2+5D．24+23+22+2+1动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为 1的平面图形运动一周， P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点 P所走的图形可能是（ ）B． D．据统计某超市两种蔬菜 B连续n天价格分别为a1，a2，a3，⋯，an，和b1，b2，n，令M={m|a＜b，m=，2，⋯，}，若中元素个数大于 ，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：现有三种蔬菜下列说法正确的是（ ）若若同时不成立，则不成立A可同时不成立A可同时成立二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．0ρcosθ+ρsinθ0ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2aco（0．11．某校开设A类选修课4B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有用数字作答）2ABCABD=4°，∠ADB=3BC=cosBCD=BD=；三角形ABD的面积为．13．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则|OA|=．14．已知函数①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是．②若关于x的方程f（x有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=sin2x+x（a∈．（Ⅰ）f（）=2，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在上单调递减，求 f（x）的最大值．16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比， 以下为舒适，为一般，以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择 8月11日至月19日中的某一天到达该主题公园，并游览 2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）7．如图，在几何体 ABCDE中，平面AD⊥平面ABC，四边形ABC为菱形，且∠°，EA=ED=AB=2FEABC中点．（Ⅰ）F∥平面BD；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点 使若存在，求的值；若不存在，说明理由．8f（）=（x+ax﹣）e﹣x（∈．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（﹣f（﹣处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈，存在s∈使得f（s）≥t）成立，求a的取值范围．已知椭圆： =1（＞b＞0）的短轴长为2 ，右焦点为（，0，点M是椭圆C上异于左、右顶点 B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线与直线x=2交于点线段BN的中点为证明：点 B关于直线EF的对点在直线上．对于n维向量A（ni{12均有ai=0i=，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量定义d（A，= ．（Ⅰ）A（1，1B（01，，求d（）的值．*（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：若1，1，1，1）且满足：）=2，i∈N．求证：该序列中不存在 5维T向量（0，*（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：若 且满足：，A *i+1），i=1，3，⋯，若存在正整数 j 使得 ，为12维T向量序列中的项，求出所有的 2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．2已知集合A={x|x ﹣4＜0}，则）2{x|x≤﹣2或x≥2} {x|x＜﹣2或x＞2} {x|﹣2＜x＜2} {x|﹣2≤x≤2}【考点】1F：补集及其运算．【分析】解不等式求出集合 根据补集的定义计算 2【解答】解：集合 A={x|x ﹣4＜0}={x| ﹣2＜x＜2}，2则≤﹣2x2下列函数中为奇函数的是（ ）y=x+cosxB．y=x+sinxC ． ﹣|x|【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】分别确定函数的奇偶性，可得结论．【解答】解：对于 A非奇非偶函数，不正确对于计算，正确，对于C，非奇非偶函数，不正确；对于D，偶函数，不正确，故选：B．若y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）1 0 2【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域， 得如图的△及其内部，再将目标函数 z=x+2y对应的直线进行平移，判断最优解，然后求解 z取得的最大值．【解答】解：作出 x，y满足 表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由 解得，z=F（xy）=x+2y，将直线lz=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数 z达到最大值∴z最大值，）= 故选：设 ，是非零向量，则“ ，共线”是“| + |=| |+| |”的（ ）充分而不必要条件 B．必要而不充分条充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“| +|=| |+| |”?“，共线”，反之不成立，例如 ．【解答】解：“| + |=| |+| |”?“，共线”，反之不成立，例如 ．∴，是非零向量，则“ ，共线”是“| + |=| |+| |”的必要不充分条件故选：已知等比数列{a为递增数列，是其前n项和．若a1+a5= ，a2a4=4，则）【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设递增的等比数列 {a的公比为a1+a5= ，解得a1= ，a5=8．解得q=2，则= ．故选：D．我国南宋时期的数学家秦九韶（约 1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的x=2，则程序框图计算的是（ ）5 4 3 2 5 4 3 22+2+2+2+2+1 B．2+2+2+2+2+5D．24+23+22+2+1【考点】EF：程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，v的值，当i=﹣1时，不足条件i≥0，跳出循环，输出 v的值为63，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，i=4满足条件i0，执行循环体，v=3，i=3满足条件i0，执行循环体，v=7，i=2满足条件i0，执行循环体，v=15满足条件i0，执行循环体，v=31满足条件i0，执行循环体，v=63i=﹣1不满足条件i≥退出循环，输出 v的值为63．5 4 3 2由于2+2+2+2+2+1=63．故选：A．动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为 1的平面图形运动一周， P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点 P所走的图形可能是（ ）B． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给 P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数图象即可直观的获得解答．【解答】解：由题意可知：对于、P位于B由此即可排除、对于其图象变化不会是对称的，由此排除 故选据统计某超市两种蔬菜 B连续n天价格分别为a1，a2，a3，⋯，an，和b1，b2，n，令M={m|a＜b，m=，2，⋯，}，若中元素个数大于 ，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：现有三种蔬菜下列说法正确的是（ ）若若同时不成立，则不成立A可同时不成立A可同时成立【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】令=bii=12，即可判断C正确．【解答】解：若aii=12同时不成立，故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．复数i（i）在复平面内所对应的点的坐标为 （2）．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数 i（2﹣i）=2i+1在复平面内所对应的点的坐标为（ ，2故答案为：（1，．在极坐标系中，直线ρcosθ+ ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞相切，则a= 1 ．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：直线 ρcosθ+ρsinθ+1=0化为直角坐标方程：x+y+1=0．圆ρ=2acosθ（即ρ=2ρacosθ（2x+y=2ax，配方为：2 2（x﹣+y=a．2 2 2可得圆心（a，半径．∵直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（相切，∴0，解得故答案为：1．11．某校开设A类选修课4B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有14 用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分 2种情况讨论：①、选择 1门B类课程，需要选择 A类课程3门，②选择2门B类课程，需要选择 A类课程2门，由分步计数原理计算每种情况的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分 2种情况讨论：①、选择1门B类课程，需要选择 A类课程3门，1 3则B类课程有C2=2种选法，A类课程有C4=4种选法，此时有24=8种选择方法；②、选择2门B类课程，需要选择 A类课程2门，2 2则B类课程有C2=1种选法，A类课程有C4=6种选法，此时有16=6种选择方法；则一共有8+6=14种不同的选法；故答案为：14．如图，在四边形ABCABD=4ADB=3BC=，cosBCD=，则BD=2 ；三角形的面积为 ﹣1 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】△中，由余弦定理，可得， 中，利用正弦定理，可得 利用三角的面积公式，可得结论．【解答】解：△中，由余弦定理，可得， BD= △中，利用正弦定理，可得 AD= =2 ﹣2，∴三角形的面积为 （2 ﹣2）×= ﹣故答案为﹣1．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于 B两点其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为则|OA|= ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意可知求得直线 l 的方程，代入抛物线方程，点 A在x轴上方，即可求得 A坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨 丨．【解答】解：抛物线

的焦点F的坐标为（0）∵直线l过倾斜角为即斜率 k=tanα= ，∴直线l的方程为：y= （x﹣即x= y+1，，解得： ， ，由点A在x轴上方，则A（3，2则|OA|==，则丨丨= ，故答案为： ．已知函数①若f（x）=a有且只有一个根，则实数 a的取值范围是 （1，+∞） ．②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，则实数 T的取值范围是 （﹣2，4） ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】①作出f（x）的图象，根据图象判断；②将f（x）的图象平移，只需与原图象有 3个交点即可．【解答】解：①f（x）= ，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当a＞1f（x）=a1解．②∵关于x的方程f（=f（x）有且仅有3个不同的实根，∴将f（x）的图象向左或向右平移 |T|个单位后与原图象有 3个交点，∴|T|＜4，即﹣4＜T＜﹣22故答案为：①（∞，②（﹣4，﹣2）∪（24．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．1515．已知函数f（x）=sin2x+x（a∈．（Ⅰ）f（）=2，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在上单调递减，求f（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）根据f（），即可求a的值；（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象f（x）在上单调递减，可得最大值．（Ⅰ）因为，∵．a=1．（Ⅱ）由题意：f（x）=，其中tan，∴函数的周期T=π，且，所以当x=（x（xma=（=，∴sin（）∴，k∈Z．∴tanθ==，∴a=3．故得．因此f（x）的最大值为．小明计划在8月11日至820日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比， 以下为舒适，为一般，以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择 8月11日至月19日中的某一天到达该主题公园，并游览 2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）【分析】设i表示事件“小明 8月1日起第i日连续两天游览主题公园”（12⋯9根据题意，，且事件Ai与Aj互斥．（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则即可得出．（Ⅱ）由题意，可知 X的所有可能取值为 0，1，2，结合图象，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出．（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．【解答】解：设Ai表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”（i=1，2，⋯，根据题意，，且事件Ai与Aj互斥．⋯（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则B=A4∪A7．⋯所以 ．⋯（Ⅱ）由题意，可知 X的所有可能取值为 0，1，2，⋯，⋯，⋯． ⋯所以X的分布列为X 0 1 2P⋯故X的期望 ．⋯（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．⋯如图，在几何体 ABCDE中，平面AD⊥平面ABC，四边形ABC为菱形，且∠EA=ED=AB=2FE∥A，为BC中点．（Ⅰ）F∥平面BD；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点 使若存在，求 的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定； MI：直线与平面所成的角．【分析（Ⅰ）取CD中点连结推导出四边形为平行四边形．从而而F∥平面BD，由此能证明平面 MF∥平面BD，从而F∥平面BD．（Ⅲ）设CF上一点，且，λ∈．利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG．【解答】（共14分）（Ⅰ）D中点，连结M、F．因为分别为BC中点，所以B（Ⅲ）设CF上一点，且，λ∈．利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG．【解答】（共14分）（Ⅰ）D中点，连结M、F．因为分别为BC中点，所以B平面BD，且M平面BD，所以M∥平面BD，因为EAAB=2E，所以EEF=D．所以四边形EFND为平行四边形．所以平面平面所以∥平面又F∩MN=，所以平面MF∥平面BD． ⋯F平面MF，所以F∥平面BD．⋯取AD中点，连结因为EA=E，所以EA．AD⊥平面ABC，所以E⊥平面ABCE⊥B．因为AD=A，∠°，所以△ AD为等边三角形．因为OAD中点，所以因为两两垂直，设Oxyz．⋯（20，，（﹣0，，．⋯，，．设平面BDE的法向量为=（x，y，z，则，即则，即，z=1y=1，．所以．设直线CF与平面成角为α，所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为．⋯（Ⅲ）设G是CF上一点，且，λ∈．⋯因此点．⋯．由，解得．所以在棱CF上存在点G．⋯，设函数f（=（

2+ax﹣a）?e

x﹣（∈．﹣（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（﹣f（﹣处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈，存在s∈使得f（s）≥t）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值； 利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析（Ⅰ）当a=0时，f′（x）=（﹣x2+2x）e﹣x，由此能求出曲线 y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1）处的切线方程．（Ⅱ）“对任意的 t∈，存在s∈使得f（s）≥t）成立”，等价于“在区间上，f（x）的最大值大于或等于g（x）的最大值”．求出g（x）在上的最大值为（2）=f'（）=﹣x（x﹣2（x+a，令f′（x）=，得x=2，或x=﹣a．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的值范围．【解答】（共13分）当a=0f（x）=x2e﹣x，2 ﹣x∴f′（x）=（﹣

+2x）e

，⋯，∴f′（﹣1）﹣⋯f（﹣∴曲线y=f（x）在点（﹣f（﹣1）y﹣=﹣e（x+1，即0．⋯（Ⅱ）“对任意的 t∈，存在s∈使得f（s）≥t）成立”，等价于“在区间上，f（x）的最大值大于或等于 g（x）的最大值”． ⋯∵ ，∴在上的最大值为 2）f'（x）=（2x+a）?e﹣x﹣（x2+ax﹣a）?e﹣x﹣ex=e﹣x（x﹣2（x+a，f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．⋯①当﹣a，即a0时，f′（0在上恒成立，f（x）在上为单调递增函数f（x）的最大值为 f（2）=（4+a）? ，2由（≥1，得e﹣4． ⋯2②当0＜﹣a2，即﹣2＜a0时，x∈（0，﹣a）f′（x）＜f（x）x∈（﹣a，?2）时，f'（x）＞f（x）∴f（的最大值为f（a或f（4+a） ，2由﹣a≥1，得a≤﹣由（4+a） ≥1，得e﹣4．又∵﹣2＜0，∴﹣⋯③当﹣a，即a＜﹣2时，f′（0在上恒成立，f（x）在上为单调递减函数f（x）的最大值为 f（0）=﹣a，由﹣a≥1，得a≤﹣又因为a＜﹣2，所以2综上所述，实数a的值范围是{x|a≤﹣1e﹣4．⋯2已知椭圆： =1（＞b＞0）的短轴长为2 ，右焦点为（，0，点M是椭圆C上异于左、右顶点 B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线与直线x=2交于点线段BN的中点为证明：点 B关于直线EF的对点在直线上．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析（Ⅰ）由题意可知 b= ，c=1，a

2=4，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）由“点BEFMEFMF”设直线A的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得M点坐标，分类讨论，当x轴时，求得k的值，即可求得NE点坐标，求得点E的角平分线所在的直线y=x﹣1y=﹣x+1，则EF，当k≠时，即可求得直线MF的斜率及方程，利用点到直线的距离公式，求得=|BE|，则点B关于直线EF的对称点在直线MF上．2 2 2【解答】解：（Ⅰ）由题意得2b=2 ，则b= ，则a=b+c则∴椭圆C的方程为 ；222（Ⅱ）证明：“点 B关于直线EF的对称点在直线M上”等价于“EF平分∠设直线A的方程为y=k（x+2（k≠，则（2，k，（，