新教材人教B版数学学案第6章6-16-1-2向量的加法

6.学习任务核心素养(教师独具)1．掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．(重点)2．理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算．(难点)1．通过向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习，培养直观想象核心素养．2．通过学习向量加法的运算律，培养逻辑推理素养.物理中的共点力平衡，用两个力F1和F2拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的．问题：(1)F能不能称为F1和F2的合力呢？(2)它们之间有什么关系？提示：(1)F能称为F1和F2的合力．(2)F＝F1＋F2.知识点向量求和法则及运算律图示几何意义三角形法则平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，作出向量eq\o(AC,\s\up7(→))，则向量eq\o(AC,\s\up7(→))称为向量a与b的和(也称eq\o(AC,\s\up7(→))为向量a与b的和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))平行四边形法则平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量eq\o(AD,\s\up7(→))，因为eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，因此eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)模的不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个向量相加就是两个向量的模相加． ()(2)两个向量相加，结果有可能是个数量． ()(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加． ()[提示](1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的不共线的向量相加．[答案](1)×(2)×(3)×2．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，则a＋b等于()A．eq\o(CA,\s\up7(→)) B．eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→)) D．eq\o(AC,\s\up7(→))D[∵Aeq\o(B,\s\up7(→))＝a，Beq\o(C,\s\up7(→))＝b，∴a＋b＝Aeq\o(B,\s\up7(→))＋Beq\o(C,\s\up7(→))＝Aeq\o(C,\s\up7(→)).]3．(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→)))＋(eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(OM,\s\up7(→))等于________．eq\o(AC,\s\up7(→))[(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→)))＋(eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)).]4．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝________.0[eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0.]类型1向量加法运算法则的应用【例1】(1)化简eq\o(AE,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))等于()A．eq\o(AB,\s\up7(→)) B．eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(CE,\s\up7(→)) D．eq\o(BE,\s\up7(→))(2)如图所示，a＋d＝________，c＋b＝________.(3)若正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小．[思路探究]利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图．(1)B(2)eq\o(DA,\s\up7(→))eq\o(CB,\s\up7(→))[(1)由向量加法的三角形法则可得：eq\o(AE,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)).故选B．(2)由向量求和的三角形法则可知a＋d＝eq\o(DA,\s\up7(→))，c＋b＝eq\o(CB,\s\up7(→)).](3)解：根据平行四边形法则可知，a＋b＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)).根据三角形法则，延长AC，在AC的延长线上作eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，则a＋b＋c＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→))(如图所示)．所以|a＋b＋c|＝|eq\o(AE,\s\up7(→))|＝2eq\r(12＋12)＝2eq\r(2).应用三角形法则和平行四边形法则应注意哪些问题？[提示](1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．eq\o([跟进训练])1．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))；(2)eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→)).[解](1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形，∴由向量加法的平行四边形法则，得eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→)).(2)由题图可知，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(FE,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))，∴eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→)).类型2向量加法运算律的应用【例2】(对接教材P141例2)(1)下列等式不正确的是()①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝0；③eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)).A．②③ B．②C．① D．③(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))；②eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)).[思路探究]可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和．(1)B[由向量的加法满足结合律知①正确；因为eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝0，故②不正确；eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))成立，故③正确．](2)[解]①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→)).②eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝(eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝0eq\o(＋)0eq\o(＝)0.向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．eq\o([跟进训练])2．化简：(1)(eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→)))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋(eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＋eq\o(DC,\s\up7(→)).[解](1)(eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→)))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝(eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＋(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→)))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\o(MN,\s\up7(→)).(2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋(eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0.类型3向量加法的实际应用【例3】如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．[思路探究]将两根绳子所受的力用向量来表示，根据向量加法的平行四边形法则画和向量即合力的图示，再借助图示求解．[解]如图所示，设eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(CF,\s\up7(→))分别表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up7(→))表示，则eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CG,\s\up7(→))，易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，所以|eq\o(CE,\s\up7(→))|＝|eq\o(CG,\s\up7(→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，|eq\o(CF,\s\up7(→))|＝|eq\o(CG,\s\up7(→))|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5，所以A处所受的力的大小为5eq\r(3)N，B处所受的力的大小为5N.应用向量加法解决物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所要解决的问题转化为向量的加法问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原题．提醒：在根据实际问题转化为向量问题时，由于对实际问题的审题不准确导致解题错误．eq\o([跟进训练])3．为了调运急需物资，如图所示，一艘船从江南岸A点出发，以5eq\r(3)km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5km/h.(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向．(用与江水的速度方向间的夹角表示)[解](1)如图所示，eq\o(AD,\s\up7(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up7(→))表示水速．易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则eq\o(AC,\s\up7(→))表示船实际航行的速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝5eq\r(3)，所以|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2＋|\o(BC,\s\up7(→))|2))＝eq\r(52＋5\r(3)2)＝eq\r(100)＝10.因为tan∠CAB＝eq\f(|\o(BC,\s\up7(→))|,|\o(AB,\s\up7(→))|)＝eq\r(3)，所以∠CAB＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.类型4向量加法的多边形法则1．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝c，那么a＋b＋c＝0一定成立吗？[提示]一定成立，因为在△ABC中，由向量加法的三角形法则eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，那么a＋b＋c＝0.2．如果任意三个向量a，b，c满足条件a＋b＋c＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？[提示]若任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a＋b＋c＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形．3．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，eq\o(A1An,\s\up7(→))＝eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋An－1An.当A1与An重合时，eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋An－1An满足什么关系？[提示]当A1与An重合时，有eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋An－1An＝0.【例4】如图，正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．0 B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→)) D．eq\o(CF,\s\up7(→))[思路探究]用向量加法的运算律，将eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))变形为eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))就可以利用向量加法的多边形法则求和向量．D[因为多边形ABCDEF是正六边形，所以BA∥DE，BA＝DE，所以eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(DE,\s\up7(→))，所以eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(CF,\s\up7(→)).]三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.eq\o([跟进训练])4．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)eq\o(DG,\s\up7(→))＋eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))；(2)eq\o(EG,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→)).[解](1)eq\o(DG,\s\up7(→))＋eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(GC,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(GC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(GE,\s\up7(→)).(2)eq\o(EG,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(EG,\s\up7(→))＋eq\o(GD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝0.1．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，则()A．四边形ABCD一定是矩形B．四边形ABCD一定是菱形C．四边形ABCD一定是正方形D．四边形ABCD一定是平行四边形D[由向量加法的平行四边形法则可知，四边形ABCD必为平行四边形．]2．如图所示，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))等于()A．0 B．0C．2eq\o(AD,\s\up7(→)) D．－2eq\o(AD,\s\up7(→))B[由向量求和的多边形法则可知结果为0，故选B．]3．化简eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PS,\s\up7(→))＋eq\o(SP,\s\up7(→))的结果等于()A．eq\o(QP,\s\up7(→)) B．eq\o(OQ,\s\up7(→))C．eq\o(SP,\s\up7(→)) D．eq\o(SQ,\s\up7(→))B[eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PS,\s\up7(→))＋eq\o(SP,\s\up7(→))＝eq\o(OQ,\s\up7(→))＋0eq\o(＝)eq\o(OQ,\s\up7(→)).]4．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|＝________.eq\r(13)[在矩形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，所以|eq\o(AB,\s\up7(→)