与冲激函数或阶跃函数的卷积课件

第2章连续系统的时域分析2.1微分方程的建立与求解2.2起始点的跳变2.3零输入响应和零状态响应2.4冲激响应与阶跃响应2.5卷积2.6卷积的性质

第2章连续系统的时域分析2.1微分方程的建立与求解12.1微分方程的建立与求解许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。一．微分方程的列写2.1微分方程的建立与求解许多实际系统可以用线性系统来模拟2根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。元件特性约束：表征3二．求解系统微分方程的经典法二．求解系统微分方程的经典法4

齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。

全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。时域经典法就是：完全解=齐次解+特解。齐次解：注意重根情况处理方法。特解：全解：时5特征根齐次解实单根r重实根共轭复根r重共轭复根表2-1几种特征根情况下齐次解的形式特征根齐次解6表2－2几种典型的自由项对应的特解形式表2－2几种典型的自由项对应的特解形式7关于实际系统中的初始条件问题在应用经典方法求解系统微分方程时，要使用时刻的初始条件来确定完全解中的待定系数。在实际系统中一般选择为初始观测时刻，而系统的激励是在时刻加入的，因此，由于输入信号的作用，响应及其各阶导数在处可能发生跳变或出现冲激。为区分跳变前后的数值，我们用0-表示激励接入之前的瞬间，并称此时刻为“起始时刻”；而用0+表示激励接入之后的瞬间，并称此时刻为“初始时刻”。关于实际系统中的初始条件问题8系统的起始条件就是系统响应及其各阶导函数在0-时刻的函数值，可用{y(i)(0-),i=0,1,…,n-1}表示；而系统的初始条件就是系统响应及其各阶导函数在0+时刻的函数值，用{y(i)(0+),i=0,1,:,n-1}表示。一般情况下，我们求的系统响应是指系统接入激励以后的响应，即0+≤t<+∞。所以，应当利用系统的初始条件求齐次解中的各个系数。系统的起始条件就是系统响应及其各阶导函数在0-时刻的函数9严格地讲，初始条件和初始状态或起始条件和起始状态是有区别的。系统状态是指系统储能的情况或数据。而我们知道电系统的储能元件是电感和电容，也就是说，起始状态是指系统中电感的电流和电容的电压在起始时刻的值iL(0-)和uC(0-)。类似地，初始状态是指系统中电感的电流和电容的电压在初始时刻的值iL(0+)和uC(0+)。严格地讲，初始条件和初始状态或起始条件和起始10【例】描述某线性时不变系统的方程为

若系统激励f(t)=t2，系统初始条件为y(0+)=1,y′(0+)=1。试求系统全解。【解】齐次方程为特征方程为

【例】描述某线性时不变系统的方程为若系统激励f(t)=t211解得特征根为

所以，齐次解为

由于f(t)=t2，因此，设特解为

将上式和f(t)=t2代入原系统微分方程，有

解得特征根为所以，齐次解为由于f(t)=t2，因此，设特12故有

解得

这样，特解为

全解为

故有解得这样，特解为全解为13将初始条件y(0+)=1,y′(0+)=1代入上式，得

解得

c1=1,c2=-2所以，全响应y(t)为

(t≥0)将初始条件y(0+)=1,y′(0+)=1代入上式，得解142.2起始点的跳变——从0-到0+状态的转换例:建立电流的微分方程并求解在时的变化。12S2.2起始点的跳变——从0-到0+状态的转换例:建立电流15解：（1）列写电路的微分方程解：（1）列写电路的微分方程16（2）求系统的完全响应齐次解：系统的特征方程：特征根：齐次解：将电路参数代入,并整理方程得:（2）求系统的完全响应特征根：齐次解：将电路参数代入,并整理17特解：根据自由项令，将其代入原方程得：要求系统的完全响应为：特解：根据自由项令，将其18（3）确定换路后的换路前换路后的（3）确定换路后的换路前换路后的19由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变，因而有：由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变，20（4）求在时的完全响应求得：（4）求在时的完全响应21要求的完全响应为要求的完全响应为22当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数。如果包含有及其各阶导数，说明相应的0-到0+状态发生了跳变，即

这时为确定0+状态值，可以用冲激函数匹配法。它的原理是根据t=0时刻微分方程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等。等等。当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态23示例：给定0-状态起始值为，确定它的0+状态。示例：给定0-状态起始值为，确定它的024设：（#）积分一次得（*）将（#）式和（*）式代入原方程设：25得出：要求的得出：要求的26例：用冲激函数匹配法求解例1中的电流i（t）的完全响应r（t）。解：（1）求出时微分方程表示为（2）用冲激函数匹配法求例：用冲激函数匹配法求解例1中的电流i（t）的完全响应r（t27由于方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而有代入原式得：由于方程右端的冲激函数项最高阶次是，因28因而有因而有29要求的0+状态为其余求解步骤同前例。要求的0+状态为其余求解步骤同前例。302.3零输入响应和零状态响应

示例：设有如图所示RC电路，电容两端有起始电压，激励源为，求t>0时系统响应——电容两端电压。2.3零输入响应和零状态响应示例：设有如图31解：不难求得描述系统的微分方程为

为求解此方程，将上列方程两端乘以或写作解：不难求得描述系统的微分方程为为求解此方程，将上列方程32两边求积分：两边求积分：331．系统响应划分自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)1．系统响应划分自由响应＋强迫响应零输入响应＋零状态响应暂态34

也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。(1)自由响应：强迫响应：2、各种系统响应定义也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关35

是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。

由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。

(2)暂态响应：稳态响应：是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出36

没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

(3)零输入响应：零状态响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储37

系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值决定的初始值求出待定系数。

系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值为零决定的初始值求出待定系数。

求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。3、求解系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的38例：如下电路，把t<0电路看作起始状态，分别求t>0时i(t)的零输入响应和零状态响应。12S例：如下电路，把t<0电路看作起始状态，分别求t>0时i(t39解：如果把电路转换成电容和电感中的起始储能，则可以画出如下图所示的带有起始储能的电路。解：如果把电路转换成电容和电感中的起40(1)零输入响应:此时令e(t)=0,系统在时刻的等效电路如下图所示.电路将在的作用下工作.(1)零输入响应:此时令e(t)=0,系统在41根据上图系统满足微分方程由于整个电路是在电容和电感的储能作用下工作,也就是能量释放过程,为此画出电路在t=0+时刻的初始值等效电路如下图所示,(注意电容相当于短路,电感相当于开路.)根据上图系统满足微分方程由于整个电路是在电容421R由图求得:1R由图求得:43所以得:所以得:44零输入响应的形式零输入响应的形式45(2)零状态响应:此时对应的电路形式如下图所示它满足微分方程(2)零状态响应:此时对应的电路形式如下图所示它满足微分方程46由前求得:由前求得:47利用冲激函数匹配法,得:所以得:利用冲激函数匹配法,得:所以得:48通过上面分析,系统响应的分解可以表示为通过上面分析,系统响应的分解可以表示为49自由响应自由响应50【例】已知系统的输入输出方程为

起始状态为 。求自由响应、强迫响应和零输入响应、零状态响应。【解】首先求自由响应和强迫响应。由特征方程

λ+3=0得特征根

λ=-3【例】已知系统的输入输出方程为起始状态为 。求自51所以，齐次解为

设特解yp(t)=A，代入微分方程，得A=1。

所以

全解为

（#）

由冲激函数平衡法，得

所以，齐次解为设特解yp(t)=A，代入微分方程，得A=52将式(#)代入初始条件，得

由此，系统自由响应和强迫响应分别为

将式(#)代入初始条件，得由此，系统自由响应和强迫响应分别53下面，求零输入响应和零状态响应。由上述求解过程可设零输入响应、零状态响应分别为

因为 ，可分别解得

下面，求零输入响应和零状态响应。由上述求解过程可设零54所以，系统零输入响应和零状态响应分别为

所以，系统零输入响应和零状态响应分别为552.4冲激响应和阶跃响应1.冲激响应

定义：系统在单位冲激信号δ(t)的激励下产生的零状态响应称为冲激响应，记为h(t)。我们把系统模型中的y(t)和f(t)分别用h(t)和δ(t)代替，即

2.4冲激响应和阶跃响应1.冲激响应56由于δ(t)及其各阶导数在时等于零，因此，冲激响应h(t)形式与微分方程齐次解的形式相同。且冲激响应h(t)的形式与n和m有关。下面通过比较方程两端（激励和响应）最高阶数m和n的关系分三种情况讨论。1)n>m此时h(t)中不包含冲激信号项,即当n>m时，h(t)中不包含冲激信号项，其表达式为由于δ(t)及其各阶导数在时等于零，因此57

2)n=m

此时h(t)中包含项，而无的导数项，即3)n<m

此时h(t)中包含有及其相应阶的导数等项。2)n=m3)n<m等项。58【例】某二阶连续系统的微分方程为

求该系统的冲激响应h(t)。

【解】令f(t)=δ(t)并考虑零状态条件，则y(t)=h(t)。这样有

h″(t)+4h’(t)+3h(t)=δ′(t)+2δ(t)(#)【例】某二阶连续系统的微分方程为求该系统的冲激响应h(t)59特征方程为

λ2+4λ+3=0特征根为

λ1=-1,λ2=-3因为n>m,所以冲激响应为

h(t)=(c1e-t+c2e-3t)ε(t)对上式求导，得

h′(t)=(c1+c2)δ(t)-(c1e-t+3c2e-3t)ε(t)(2)(1)特征方程为λ2+4λ+3=0特征根为λ1=-1,60对（2）式再求导，得

(3)将式(1)、

式(2)和式(3)代入式(#)，

得

比较等式两端系数可得

对（2）式再求导，得(3)将式(1)、式(2)和式(361解得

所以，冲激响应为

解得所以，冲激响应为622阶跃响应系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状态响应称为阶跃响应，记为g(t)。考虑到冲激信号与单位阶跃信号间存在微分与积分关系,因而对LTI系统,h(t)和g(t)间也同样存在微分积分关系,即:2阶跃响应考虑到冲激信号与单位阶跃信号间存63【例】某线性时不变系统的输入输出方程为

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=3f′(t)+f(t)求系统的阶跃响应和冲激响应。【解】令f(t)=ε(t)，并考虑零状态条件，则方程可改写为

g″(t)+5g′(t)+6g(t)=3ε′(t)+ε(t)（1）

由特征方程

λ2+5λ+6=0得特征根

λ1=-2,λ2=-3【例】某线性时不变系统的输入输出方程为y″(t)+5y′(64阶跃响应中的齐次解部分为

gc(t)=(c1e-2t+c2e-3t)ε(t)阶跃响应中的特解为

又因为n>m，所以阶跃响应为

阶跃响应中的齐次解部分为gc(t)=(c1e-2t+c265其一阶导函数为

二阶导函数为

将以上三式代入式(1)，

整理得

其一阶导函数为二阶导函数为将以上三式代入式(1)，66比较上式两端系数，

得

解得

阶跃响应为

比较上式两端系数，得解得阶跃响应为67对g(t)求导即得h(t)为

对g(t)求导即得h(t)为68【例】电路如图1所示，i(t)为响应，试求阶跃响应和冲激响应。

图1【例】电路如图1所示，i(t)为响应，试求阶跃响应和冲激69【解】根据KCL、KVL，有

联立以上四式消去i1(t)、us(t)、iC(t)，并代入元件值，得微分方程【解】根据KCL、KVL，有联立以上四式消去i1(t)、u70设us(t)=ε(t)，系统为零状态，则

根据冲激函数平衡法，可得初始条件

解微分方程，可得阶跃响应

设us(t)=ε(t)，系统为零状态，则根据冲激函数平衡法71代入初始条件，求得 。所以，系统阶跃响应为

对阶跃响应求导，得

代入初始条件，求得 。所以，系统阶跃响应为对阶跃响应求722.5卷积积分及其应用

一、卷积积分的概念卷积积分（简称卷积）是一种特殊运算。其定义为：设有函数f1(t)和f2(t)，f1(t)和f2(t)的卷积运算为则（#）

式中，“*”号为卷积运算符号；积分限定为-∞到+∞是为了适应存在于-∞到+∞整个时间域内的一般函数（信号）。

2.5卷积积分及其应用一、卷积积分的概念（#）式73式（#）是一个高度抽象的数学表达式，为了对其有一个更深刻、更形象地了解，我们通过作图来诠释卷积的意义。根据卷积积分的表达式，卷积运算可分为5个步骤，即换元—折叠—位移—相乘—积分。下面通过图形变换完成这5个步骤，

我们从中可以体会卷积的意义。

二、卷积的图解

能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定更为一般的卷积积分的上下限。

进一步加深对其物理意义的理解。式（#）是一个高度抽象的数学表达式，为了对其有一个更深刻744.相乘5.积分求函数的面积。求响应，必须：1.换元（t)4.相乘5.积分求函数7511t0130.5t0110130.50解：11t0130.5t0110130.50解：76-1-30.50-1+t-3+t0.50(1)当-1+t<0即t<1时，-1+t-3+t011y(t)=0移动距离t前沿坐标-1+t两函数无公共的非零区域-1-30.50-1+t-3+t0.50(1)当-1+t<077011-3+t-1+t-3+t-1+t011011-3+t-1+t-3+t-1+t01178-3+t-1+t-3+t-1+t011011-3+t-1+t-3+t-1+t011011790.512340.512348021t0250.5t0421t0250.5t0481结果:0369t３结果:0369t３82讨论：（１）两个时限信号卷积结果的左边界和右边界分别是两个时限信号左边界之和及右边界之和。（２）两个时限信号卷积结果的宽度是卷积的两个时限信号的宽度之和．（３）若两个矩形函数宽度相等，则卷积将产生一个等腰三角形，而不同宽度的矩形函数卷积将产生一梯形。讨论：8310t解：(1)当t<0时1t010ty(t)=010t解：(1)当t<0时1t01840101tt0101tt85三、卷积的其它计算方法

（1）解析法：直接利用定义式计算。（2）分段法：此法仅限于时限信号的卷积运算。（3）利用卷积的性质计算：三、卷积的其它计算方法（1）解析法：86【例】已知f1(t)=(3e-2t-1)u(t)和f2(t)=etu(t),试求卷积f1(t)*f2(t)。【解】【例】已知f1(t)=(3e-2t-1)u(t)和f2(872.6卷积积分的性质一.卷积代数1.交换律

证明：

2.6卷积积分的性质证明：882.分配律

证明：

2.分配律证明：89两个子系统并联表明:两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等于各个子系统的单位冲激响应之和。两个子系统并联表明:两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等903.结合律

证明：

3.结合律证明：91而

比较两式，

结论成立。

而比较两式，结论成立。92两个子系统级联表明:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响应等于各个子系统单位冲激响应的卷积。两个子系统级联表明:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响93二、卷积的微分与积分设y(t)=f1(t)*f2(t)，则有

推广：二、卷积的微分与积分推广：94i，j均为整数，当其为正整数时，表示求导数的阶数，当为负整数时，表示求重积分的次数。i，j均为整数，当其为正整数时，表示