2021年山西省晋中市鸣谦中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021年山西省晋中市鸣谦中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设为

（）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A，同理向量还可以表示为，对应相等可得，所以，故选A。2.在△ABC中，A=60°，BC=，D是AB边上的一点，CD=，△CBD的面积为1，则BD的长为（）A． B．4 C．2 D．1参考答案：C【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】根据三角形的面积求出sin∠BCD和cos∠BCD，结合余弦定理进行求解即可．【解答】解：∵△CBD的面积为1，∴S=CD?BCsin∠BCD=×sin∠BCD=1，即sin∠BCD=，∵A=60°，∴cos∠BCD=，在三角形BCD中，BD2=CD2+BC2﹣2CD?BCcos∠BCD=2+10﹣2??=12﹣8=4，则BD=2，故选：C．3.在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：在复平面内，复数==对应的点位于第一象限．故选：A．4.已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B． C．或 D．或7参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由实数4，m，9构成一个等比数列，得m=±=±6，由此能求出圆锥曲线的离心率．【解答】解：∵实数4，m，9构成一个等比数列，∴m=±=±6，当m=6时，圆锥曲线为，a=，c=，其离心率e=；当m=﹣6时，圆锥曲线为﹣，a=1，c=，其离心率e==．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比中项公式的应用．5.集合=(

）A．

B．{1}

C．{0,1,2}

D．{-1,0,1,2}参考答案：C6.若幂函数的图像不过原点，则实数m的取值范围为（

）A. B.或

C.

D.参考答案：B7.下列函数中在区间上单调递增的是A. B. C. D.参考答案：B8.某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24这24个整数中等可能随机产生．则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为A． B．C． D．参考答案：C由程序框图知，输出y的值为3时x为3的倍数的偶数，即，概率为，选C.

9.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A）24对

（B）30对

（C）48对

（D）60对参考答案：C10.已知六个相同的盒子里各放了一本书，其中三本是语文书，三本是数学书，现在一次打开一个盒子，直到弄清哪三个盒子里放了语文书，则打开的盒子为4个的概率为（

）

(A)0.15

(B)0.4

(C)0.3

(D)0.6参考答案：C命题意图：考查学生理解能力，计算概率中的分类的思想，做到考虑问题要全面。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，已知点为抛物线的焦点，则点到双曲线的渐进线的距离为

.参考答案： 12.已知函数对于任意实数x都有，且当时，，若实数a满足，则a的取值范围是________．参考答案：【分析】先证明函数在[0,+∞上单调递增，在上单调递减，再利用函数的图像和性质解不等式||＜1得解.【详解】由题得，当x≥0时，，因为x≥0，所以，所以函数在[0,+∞上单调递增，因为，所以函数是偶函数，所以函数在上单调递减，因为，所以||＜1，所以-1＜＜1，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为．参考答案：（﹣1，0）【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令x+1=0，得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．于是f（x）恒过点（﹣1，0）．【解答】解：令x+1=0，解得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．∴f（x）恒过点（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）．【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题．14.设实数满足约束条件则的最大值为

。

参考答案：2略15.若集合，，则

.参考答案：略16.已知不等式对取一切负数恒成立，则a的取值范围是__________．参考答案：a≤2.略17.设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是________.参考答案：.考点：1.导数的运用；2.转化的数学思想.【名师点睛】高考中一些不等式的证明或求解需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分16分）已知二次函数，若不等式的解集为，且方程有两个相等的实数根.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）解不等式参考答案：（Ⅰ）由题意，1,4是方程的两根，且由韦达定理得，……………2分因为方程有两个相等的实数根，所以消去得或（舍去），……………4分所以

……………5分（Ⅱ）由题意，不等式在上恒成立，设其图像的对称轴方程为…………6分当即时，有得………8分当即时，有得 综上，

………10分（Ⅲ）方程的判别式当即时，不等式的解集为R;

………12分当时：时，不等式的解集为

………13分

时，不等式的解集为

………14分当即时，不等式的解集为

………16分19.如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且（1）在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明；（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.参考答案：（1）当时，有//平面AMD.证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，所以，又，所以，所以在中，OP//AM.又面AMD，AM面AMD，∴//面AMD.（2）锐二面角的余弦值为.试题分析：（1）设Q为AB上的一点，满足.由线面平行的性质证出MD//NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到，从而在中得到OP//AM.最后利用线面平行判定定理，证出//面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点；（2）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标.利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出平面CMN的法向量.根据线面垂直的判定定理证出DC平面BNC，从而得到即是BNC的法向量，最后利用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面CMN与平面BNC所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1）当时，有//平面AMD.证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，所以，又，所以，所以在中，OP//AM.又面AMD，AM面AMD，∴//面AMD.（2）以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2）N（2，2，1），所以=（0，-2，2），=（2，0，1），=（0，2，0），设平面CMN的法向量为=（x，y，z）则，所以，所以=（1，-2，-2）.又NB平面ABCD，∴NBDC，BCDC，∴DC平面BNC，∴平面BNC的法向量为==（0，2，0），设所求锐二面角为，则.考点：利用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定.20.（12分）如图所示，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2ED=2a，F是BC的中点．（1）求证：DF∥平面EAB；（2）设动点P从F出发，沿棱BC，CD按照F→C→D的线路运动到点D，求这一运动过程中形成的三棱锥P﹣EAB体积的最小值．参考答案：【考点】：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN∥AC，NF=AC，取AC的中点M，连接EM、EC，由已知得四边形EMCD为矩形，四边形ENFD是平行四边形，由此能证明DF∥平面EAB．（2）当P在CD上时，VP﹣EAB=VE﹣PAB=≥，当P在FC上时，VP﹣EAB=VE﹣PAB=≥．由此能求出三棱锥P﹣EAB体积的最小值．（1）证明：取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN∥AC，NF=AC，取AC的中点M，连接EM、EC，∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=AC．又∵ED∥AC，∴ED∥NF且ED=NF，四边形ENFD是平行四边形．∴DF∥EN，而EN?平面EAB，DF?平面EAB，∴DF∥平面EAB．（2）解：过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，又∵l?平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，当P在CD上时，VP﹣EAB=VE﹣PAB=≥=，当P在FC上时，VP﹣EAB=VE﹣PAB==≥=．∴三棱锥P﹣EAB体积的最小值为．【点评】：本题考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21.（本小题满分14分）己知多面体ABCDE中，DE平面ACD，，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，O为CD的中点。(I)求证：AO平面CDE；(II)求直线BD与平面CBE所成角的正弦值参考答案：22.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足b2+c2﹣a2=bc．（1）求