新教材高考数学第九章平面解析几何5考点3直线和椭圆综合问题1练习（含解析）（选修2）

考点3直线和椭圆综合问题（2018·浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2＋y24＝1（x＜0）上的动点，求△【解析】（1）设P（x0，y0），A14y12因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程y+y022即y2－2y0y＋8x0－y0所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴．（2）由（1）可知y所以|PM|＝18（y12＋y22）－x0＝|y1－y2|＝22y所以△PAB的面积S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝3因为x02＋y02所以y02－4x0＝－4x02－4x所以△PAB面积的取值范围是62【答案】见解析（2018·江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点3,12，焦点为F1（－3，0），F2（3，0），圆O的直径为F1（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为267，求直线【解析】（1）因为椭圆C的焦点为F1（－3，0），F2（3，0），可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b又点3,12所以3a2因此，椭圆C的方程为x24＋y因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2＋y2＝3.（2）①设直线l与圆O相切于点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则x02＋所以直线l的方程为y＝－x0y0（x－x0）＋即y＝－x0y0x由x24+（4x02＋y02）x2－24x0因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝（－24x0）2－4（4x02＋y0＝48y02（因为x0＞0，y0＞0，所以x0＝2，y0＝1.因此，点P的坐标为（2，1）．②因为△OAB的面积为26所以12AB·OP＝267，从而AB设A（x1，y1），B（x2，y2），由（*）得x1,2＝24x所以AB2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1+x02因为x02＋所以AB2＝16(x02-2)(x0解得x02＝52（x02代入Δ＝48y02（因此点P的坐标为102所以直线l的方程为y＝－5x＋32，即5x＋y－32＝0.【答案】见解析（2018·天津卷（文））设椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知有c2a2＝59，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3B．又|AB|＝a2+b2＝13，从而（2）设点P的坐标为（x1，y1），点M的坐标为（x2，y2），由题意知，x2＞x1＞0，点Q的坐标为（－x1，－y1）．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－（－x1）]，即x2＝5x1.由题意求得直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组2x＋3y＝6,y＝kx,由方程组x29＋y24=1,y=kx,由x2＝5x1，可得9k2+4＝5（3k＋2），两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－k＝－12当k＝－89时，x2当k＝－12时，x2＝12，x1＝12所以k的值为－12【答案】见解析（2018·全国卷Ⅲ（文））已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24＋y23＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，（1）证明：k＜－12（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：2|FP|＝|FA|＋|FB|.【解析】证明（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x124＋y12两式相减，并由y1-y2x1-x2由题设知x1+x22＝1，y1+y由题设得0＜m＜32，故k＜－1（2）由题意得F（1,0）．设P（x3，y3），则（x3－1，y3）＋（x1－1，y1）＋（x2－1，y2）＝（0,0）．由（1）及题设得x3＝3－（x1＋x2）＝1，y3＝－（y1＋y2）＝－2m＜0.又点P在C上，所以m＝34，从而P1,-|FP|＝32于是|FA|＝(x1-1)2+同理|FB|＝2－x2所以|FA|＋|FB|＝4－12（x1＋x2故2|FP|＝|FA|＋|FB|.【答案】见解析（2018·北京卷（文））已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线（1）求椭圆M的方程；（2）若k＝1，求|AB|的最大值；（3）设P（－2,0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q-74,【解析】（1）由题意得a解得a＝3，b＝1.所以椭圆M的方程为x23＋y（2）设直线l的方程为y＝x＋m，A（x1，y1），B（x2，y2）．由y=x+m,得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，Δ＝36m2－16（3m2－3）＝－12m2＋48＞0，即－2＜m＜2.所以x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3所以|AB|＝(＝2＝2＝12-3m所以当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为6.（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x12＋3y12＝3，直线PA的方程为y＝y1x1由y=y[（x1＋2）2＋3y12]x2＋12y12x＋12y12设C（xC，yC），所以xC＋x1＝-12y12所以xC＝4x12-124x1所以yC＝y1x1+2（设D（xD，yD）