向量代数与空间解析几何讲义课件

第六章向量代数与空间解析几何(二)典型例题主要内容堂上练习题小结1第六章向量代数与空间解析几何(二)典型例题主要内容堂上一、主要内容第4节平面的方程一、平面的点法式方程经过点法向量为的平面的点法式方程为:关键确定平面的法向量2一、主要内容第4节平面的方程一、平面的点法式方程经过点法一般地,过不在同一直线上的三点的平面方程为:----称为平面的三点式方程3一般地,过不在同一直线上的三点的平面方程为:----称为平面平面的点法式方程

平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程

任意一个形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.熟记平面的几种特殊位置4平面的点法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程平面一般方程的几种特殊情况平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于xOy坐标面；类似地可讨论类似地可讨论轴轴xOz面yOz面(由法向量可知)平面的一般方程缺谁//谁5平面一般方程的几种特殊情况平面通过坐标原点；平面通过轴今后,由截距式方程作平面的图形特别方便!当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.并作图.?化为截距式方程,平面的截距式方程6今后,由截距式方程作平面的图形特别方便!定义（通常取锐角）两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角两平面的夹角.7定义（通常取锐角）两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角两平按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//两平面垂直、平行的充要条件取锐角8按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：/点到平面的垂直距离外一点,四、点到平面的距离并作向量即由于9点到平面的垂直距离外一点,四、点到平面的距离并作向量即由于9的距离公式为10的距离公式为10点到平面距离公式结论:两平行平面之间的距离:11点到平面距离公式结论:两平行平面之间的距离:11第5节直线的方程定义空间直线可看成两平面的交线.空间直线的一般方程一、空间直线的一般式方程L注(2)直线L的一般方程形式不是唯一的.12第5节直线的方程定义空间直线可看成两平面的交线.空间直线方向向量的定义如果一非零向量平行于//二、空间直线的点向式方程与参数方程1.点向式方程

一条直线可以有许多方向向量.求此直线的方程一条已知直线,这个向量称为这条直线的方向向量.方向数.向量的方向余弦称为直线的方向余弦.13方向向量的定义如果一非零向量平行于//二、空间直线的点向式方直线的对称式方程令直线的参数方程因为故//故直线方程的几种形式可以互相转换.(点向式、标准式）14直线的对称式方程令直线的参数方程因为故//故直线方程的几种形则直线的一个方向向量为:

于是对称式方程可写成:一般,如直线过两点----直线的两点式方程15则直线的一个方向向量为:于是对称式方程可写成2.直线的一般方程化为对称式方程

怎样将直线的一般方程(1)用代数的消元法化为比例式;有两种方法?(2)在直线上找一定点,再求出方向向量,(重要)化为对称式方程即写出对称式方程.162.直线的一般方程化为对称式方程怎样将直线的一般方程(13.直线的参数方程上式何时有用如求直线的参数方程故?答:直线与平面的交点.173.直线的参数方程上式何时有用如求直线的参数方程故?答:定义直线直线^两直线的方向向量的夹角称之.两直线的夹角公式三、两直线的夹角（锐角）18定义直线直线^两直线的方向向量的夹角称之.两直线的夹角公式三两直线的位置关系://直线直线例(两直线垂直、平行的条件)19两直线的位置关系://直线直线例(两直线垂直、平行的条件)1直线和它在平面上的投影直线的定义^^四、直线与平面的夹角夹角称之.20直线和它在平面上的投影直线的定义^^四、直线与平面的夹角夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的//(直线与平面垂直、平行的充要条件)位置关系：21直线与平面的夹角公式直线与平面的//(直线与平面垂直、平行的设有两块不平行的平面其中系数不互相成比例交成一条直线L过直线L的所求全体平面平面束(3)表示过直线L的平面?五、过直线的平面束22设有两块不平行的平面其中系数不互相成比例交成一条直线L过直线第6节曲面及其方程掌握几种特殊的曲面方程与图形1.球面23第6节曲面及其方程掌握几种特殊的曲面方程与图形1.球柱面方程（其他类推）直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,在空间为xOy面上的曲线C.其准线2.圆柱面24柱面方程（其他类推）直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,在空间

曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,

总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的一个坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到:而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、负号)替代曲线方程中另一个变量即可.旋转曲面方程25曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,旋转曲面方程:旋转一周的如绕z轴同理,绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为26旋转曲面方程:旋转一周的如绕z轴同理,绕y轴旋转一周的旋转曲3.圆锥面4.旋转抛物面273.圆锥面4.旋转抛物面275.椭球面6.单叶双曲面7.双叶双曲面285.椭球面6.单叶双曲面7.双叶双曲面288.双曲抛物面(马鞍面)方程z=xy表示什么曲面？马鞍面298.双曲抛物面(马鞍面)方程z=xy表示什么曲面？第7节空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线C可看作特点：一、空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间两曲面的交线.30第7节空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到曲线上的就得到曲线上的一个点全部点.31空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到消去变量z后得：曲线关于xOy的设空间曲线C的一般方程：投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、

C投影柱面.母线垂直于所投影的坐标面.32消去变量z后得：曲线关于xOy的设空间曲线C的一般方程：投影类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.yOz面上的投影曲线xOz面上的投影曲线空间曲线在xOy面上的投影曲线(或称投影)(即为曲线关于xOy面的投影柱面)(即为xOy

面)

C(即为投影柱面与xOy面的交线)33类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.yOz面上的投二、典型例题例1求平行于轴且过点的平面方程.解:设所求平面方程为:则解得于是所求平面方程为:问:能否设所求平面方程为?考虑:求平行于轴且过点的平面方程.34二、典型例题例1求平行于轴且过点的平面方程.解:设所求平例2求过轴且与平面的平面方程.提示:设所求平面方程为利用平面的夹角公式得到所求平面为35例2求过轴且与平面的平面方程.提示:设设所求平面为由所求平面与已知平面平行得(向量平行的充要条件)解例3所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.求平行于平面而与三个坐标面36设所求平面为由所求平面与已知平面平行得(向量平行的充要条件)代入体积式所求平面方程为所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.求平行于平面而与三个坐标面37代入体积式所求平面方程为所围成的四面体体积为一个单位的平面方解例4求这平面方程.设所求平面为在已知平面上任取一点或故所求平面为或38解例4求这平面方程.设所求平面为在已知平面上任取一点或故所求解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令.

M垂直相交的直线方程.例539解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平交点取所求直线的方向向量为直线方程为代入得将.

M40交点取所求直线的方向向量为直线方程为代入得将.M40解设所求直线的方向向量为取所求直线的方程例6的交线平行的直线方程.过已知直线外一点作直线与已知直线平行41解设所求直线的方向向量为取所求直线的方程例6的交线平行的直线解设平面束方程由即由例7.42解设平面束方程由即由例7.42例8求通过直线L:且垂直于平面的平面方程,并求直线L在平面上的投影直线的方程.43例8求通过直线L:且垂直于平面的平面方程,并求直线L在方程表示()(A)双曲柱面;(D)锥面.(C)双叶双曲面;(B)旋转双曲面;B椭圆抛物面双曲抛物面(马鞍面）填空设有曲面方程则方程表示的曲面为方程表示的曲面为??选择44方程表示()(A)双曲柱面;(D)锥面.(双叶双曲面,它的对称轴在轴上.y椭圆锥练习45双叶双曲面,它的对称轴在轴上.y椭圆锥练习45例9求锥面与柱面所围成得立体在三个坐标面上的投影.解:交线为在xoy面上:在xoz面上:在yoz面上:包含46例9求锥面与柱面所围成得立体在三个坐标面上的投影.解:例10将曲线化为参数方程解:消去z得令则于是所求参数方程为47例10将曲线化为参数方程解:消去z得令则于是所求参数方

选择题1.曲线在xOy面上的投影柱面方程是().A三、堂上练习48选择题1.曲线在xOy面上的投影柱面方程是(

2.

球面与交线在xOy面上投影曲线方程是()．D492.球面表示().(A)双曲柱面与平面x=2交线;(B)双曲柱面;(C)双叶双曲面;(D)单叶双曲面.A3.50表示().(A)双曲柱面与平面x=2填空题4.母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程是5.双曲抛物面(马鞍面)与xOy面的交线是相交于