初中数学最值系列之阿氏圆问题

初中数学最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们解决了“kPA+PB”最值问题。现在，我们将问题的P点轨迹变为圆，即通常所说的“阿氏圆”问题。阿氏圆是由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念。在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆。如下图所示，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆。首先，我们需要了解两个定理。第一个是角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB/BD=AC/DC。证明过程如下：第二个是外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则SABD/SCAD=SBD/SCD。证明过程如下：现在，我们来解决阿氏圆问题。如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点。作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点。又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆。另一种解决阿氏圆问题的方法是建系。不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：(x+m)^2+y^2=k^2(x-m)^2+k^2y^2化简后得到：(k^2-1)x^2+2(k^2m-m)x+(k^2-1)m^2-y^2=0这是圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线。现在，我们来解决一个例子。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AB于D、E两点。求点P到点A、B的距离之和的最小值。我们可以先根据题目描述，得到PA/PB的值为3/4。接着，根据阿氏圆的定义，可以得到点P在圆上。因此，我们只需要求出圆上距离点A、B的距离之和的最小值即可。根据三角不等式，可以得到PA+PB>=AB，即PA+PB>=5。因此，最小值为5，当且仅当P点为圆C与AB的交点D。AC、BC两点确定一个直角三角形ABC，以C点为圆心，6为半径的圆上有一个动点D。连接AD、BD、CD，求2AD+3BD的最小值。解法一：构造相似三角形注意到以C为圆心，6为半径的圆的直径为12，即BC=12。连接CP，其中P为圆上任意一点，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=PA。问题转化为PM+PB的最小值，直接连BM即可。解法二：阿氏圆模型由于D点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2，这可以用“阿氏圆”的条件与结论互换来解决。由于P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，不妨让P点与D点重合，此时DM=DA=1，即可确定M点位置。这样，问题转化为求PM+PB的最小值，直接连BM即可。练习题：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D。连接AD、BD、CD，求2AD+3BD的最小值。解法：同样可以用上述两种方法来解决这个问题。首先将2AD+3BD转化为3/2(AD+BD)的形式，然后考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造AD，条件已经足够明显。因此，可以构造包含线段AD的△ACD，使得CD=6，然后在AD边上取点M，使得AM:MD=2:1，即AM=2MD。这样，问题转化为求AM+BM的最小值，直接连BM即可。当点D运动到AC边时，有DA=3。在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终有DM=2DA/3。问题转化为求DM+DB的最小值。连接BM，BM长度的3倍即为本题答案。已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的动点。当P点运动到BC边上时，有PC=2。在BC上取点M使得