基于复变函数的圆形衬砌动内力解析解

基于复变函数的圆形衬砌动内力解析解

1国内外地下结构抗震设计的相关研究目前，中国的地铁建设正在快速发展。阪神地震表明地下结构可能遭受严重震害，且破坏后修复的难度和代价较大。但迄今为止，我国尚无地下结构抗震方面的设计规范，因而适时开展地下结构抗震设计计算方法研究具有重要的现实意义。国外地下结构抗震研究较早。20世纪70年代初，日本土木工程师协会建议对采用明挖法建造的矩形隧道采用Mononobe-Okabe动土压力方法进行抗震设计。这种方法最初用于地面挡土结构，它假定地震时挡土结构产生足够大的侧向位移以致其背后形成“屈服主动土楔”国内这方面的研究兴起于阪神地震以后，多集中于数值分析，而缺乏简便、实用的设计计算方法研究2土体及地下结构特点复变函数法以其在解决孔口问题方面的优势，在地下工程领域得到了广泛的应用(1)土体为均匀各向同性介质；(2)地下结构的埋深较大；(3)拟静力假定，即假定地下结构在无限远处受常剪应力或常剪应变作用。2.1结构间不稳定时，结构运动的内部空间分析2.1.1单位圆映射采用变换式z=ω(ς)=R/ς可将z平面内带圆形孔口的无限介质映射为ς平面内单位圆。复变势函数及变换后应力边界条件分别为土体无限远处受剪应力τ作用，边界条件为土体孔口受相互作用的剪应力τ由式(1)～(4)应用Cauthy积分公式可解得由复变函数位移公式2.1.2弹性中心法图2所示结构受力等效于法向、切线分布力：由结构力学的弹性中心法可解得(1)p(2)p(3)p内力及角度正负号规定见图2。将上述公式中θ用θ+π/4替换即得结构处于纯剪切状态时内力。2.1.3内容分析土–结构间力和位移协调条件分别为由式(9)，(16)，(17)可解得结构的径向位移和内力：2.2土–结构间完全滑移时结构动内力的确定土–结构间完全滑移时，土体孔口的面力分量及其在坐标轴上的投影和为由单位圆边界处的保角关系可求得按节2.1中同样步骤可推得土–结构间完全滑移时的复变势函数和孔口径向位移：用∆D3结构内力演化以上海市地铁2号线某盾构区间隧道为例。隧道衬砌外径6.5m，内径5.9m，管片厚0.3m。两孔中心距为13m。平均埋深12m，最小埋深8m。首先进行静力分析，然后在此基础上进行动力分析，包括自由场及土–结构体系相互作用分析。结构两侧各取6倍双孔隧道总宽度，计算宽度共计254m。计算深度取为70m。采用黏弹性人工边界。计算模型见图3。土体静力计算采用Mohr-Coulomb模型，参数见表1。动力计算采用Davidenkov模型：参数依据室内动三轴试验结果结构用梁单元离散，采用弹性模型，参数按混凝土标号选取。土–结构间不滑移时，不设置接触面。完全滑移时，设置Coulomb型接触面。其中，法向刚度由MuirWood公式确定：式中：E切向刚度K由数值分析得到的自由场中结构埋深处的最大剪应变，依据上述解析解可求得结构动内力，叠加上静内力后与结构合内力数值解进行对比。其中数值解为结构上、下端点(点1,2)水平向相对位移最大时刻t埋深12m时，土–结构间不滑移和完全滑移两种条件下结构内力图分别如图6,7所示。弯矩图中虚线为弯矩包络值。埋深12和8m时，土–结构间不滑移条件下，结构内力解析解与数值解的比较分别如图8,9所示。不滑移时结构内力最大值见表2。埋深12m时，弯矩解析解与数值解的相对误差小于3.2%，剪力的相对误差小于6.8%。埋深8m时，弯矩的相对误差小于9.6%，剪力的相对误差小于10%。两种情况下解析解均低估了结构中的轴力，相对误差略大于10%。4数法上的动内力问题(1)本文采用复变函数法推导了地震时土–结构间不滑移和完全滑移两种接触条件下结构动内力的解答，为将复变函数法进一步应用于解决矩形、双圆型等其他更加复杂结构的动内力问题奠定了基础。(2)推导公式时作了带圆孔无限弹性介质的假定，而实际结构的埋深有限。算例表明，