北京市新高三入学定位考试数学试卷

2022-2023学年北京市新高三入学定位考试数学本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A） （B） （C） （D）（2）在复平面内，下列复数中对应的点在第四象限的是（A） （B） （C） （D）（3）已知，则（A） （B） （C） （D）（4）在的展开式中，的系数为（A）1 （B）3 （C）6 （D）9（5）函数的一条对称轴为（A） （B） （C） （D）（6）等差数列的前项和为，已知.则的最小值为（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（7）抛物线的焦点为.对于上一点，若到直线的距离是到点距离的2倍，则点的横坐标为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（8）已知向量不共线，则“”是“夹角为锐角”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）已知直线与圆相交于两点，则下面结论中正确的是（A）线段长度的最小值为1 （B）线段长度的最大值为2（C）的面积最小值为 （D）的面积最大值为（10）在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为线段上的动点.则下面结论中错误的是（A） （B）平面D（C） （D）是锐角第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数为偶函数，则.（12）已知双曲线（其中）的两条渐近线互相垂直，则.的离心率为.（13）已知平面向量，则（.（14）已知函数，则f____；函数的最大值为.（15）已知函数，给出下列四个结论：①存在，使得函数可能没有零点；②存在，使得函数恰好有1个零点③存在，使得函数恰好有2个零点；④存在，使得函数恰好有3个零点.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在三棱柱中，侧面都是正方形，为直角，分别为的中点.（I）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.（17）（本小题13分）已知的面积为12.再从条件①、条件②这两个条件中选择-一个作为已知，使存在.（I）求与的值；（II）求的值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.（18）（本小题14分）某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[60,85][68,76][76,84][84,92][92,100]元件甲12840337元件乙81740287（I）试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；（II）生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（I）的前提下：（i）求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；（ii）记分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较和E的大小（结论不要求证明）.（19）（本小题15分）已知函数.（I）当时，求函数的单调区间和极值；（I）若曲线不存在斜率为-2的切线，求的取值范围；（I）当时，恒成立，求的取值范围.（只需直接写出结论）（20）（本小题15分）已知椭圆（其中）的离心率为，左右焦点分别为.（I）求椭圆的方程；（I）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，过原点作的垂线，垂足为.若点恰好是与的中点，求线段的长度.（21）（本小题15分）已知无穷数列满足，其中.对于数列中的一项，若包含的连续项满足或，则称为包含的长度为的“单调片段”（I）若，写出