上海市南洋模范2023学年高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(x)=2cos®x+e)3>0,0<°W万)的图象如图所示，则下列说法错误的是()

A.函数/(x)在一石，一直上单调递减

B.函数/(X)在71,—上单调递增

C.函数“X)的对称中心是保q，0)(keZ)

D.函数/(x)的对称轴是x=^—1|(ZeZ)

2.设5={%|21+1>0},T={x|3x-5<0},则S?T(

A.0B.C.{x|x>g}D.{x|--<x<-}

23

22

3.已知双曲线A-2r=1(。>0,。>0)的左、右顶点分别是A8,双曲线的右焦点尸为(2,0),点P在过户且垂直

a~b~

于x轴的直线/上，当AA8P的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为()

22

A-r2_=]B.f—匕=i

223

22

4.过双曲线C:=-4=1（。>08>0）的右焦点尸作双曲线C的一条弦A8,S.FA+FB=O>若以A8为直径的圆经

a'b'

过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（）

A.近B.石C.2D.6

5.已知复数z=W,则I的虚部是（）

1-Z

A.iB.-iC.-1D.1

6.在长方体ABC。-A用G2中，AB=1,AT>=0,A&=6，则直线。2与平面ABC；所成角的余弦值为（）

A百n百「而V10

A.B・C・------n1）.------

2355

7.对于任意xeR,函数f（x）满足/（2-幻=一/（幻，且当x..l时，函数/（x）=GT.若

a===则。，仇c大小关系是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

8.已知AABC是边长为1的等边三角形，点。，E分别是边A8,8C的中点，连接OE并延长到点尸，使得

。石=2£F,则的值为（）

11511

A.—B.—C.—D.一

8448

9.已知复数z满足Z（l+i）=l—iQ•为虚数单位），则Z的虚部为（）

A.-iB.iC.1D.-1

10.某几何体的三视图如图所示（单位：C"?）,则该几何体的表面积是（）

侪视图

俯视图

A.Scm2B.Ucm2C.(475+2)cw2D.(4^+4)c/n2

11.下列判断错误的是()

A.若随机变量二服从正态分布N0,4),尸(JW4)=O.78,贝然偌<一2)=0.22

B.已知直线/人平面。，直线机//平面/，贝!]“a/R”是"/_L/n”的充分不必要条件

C.若随机变量4服从二项分布：百8(4,力，则E(»=l

D.。加是的充分不必要条件

12.已知函数f(x)=ln(x+1)-分，若曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x,则实数a的取值为()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若a=log231=log32，贝！|ab=,lga+\gb=.

14.函数/(x)=(a-一3(a>1,a/2)过定点.

15.如图，在正四棱柱A8CD-A4G。中，P是侧棱CG上一点，且£P=2PC.设三棱锥尸一DQ8的体积为匕，

正四棱柱ABCD-^B^D]的体积为V,则孑的值为.

16.已知函数/(x)=cosx-log2(2x+l)+tix(awR)为偶函数，贝1Ja=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=3+4/

17.(12分)在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为《一c.，。为参数).以坐标原点为极点，X轴的正半

y=-2+3/

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为0?+2。cos。-8=0.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若点。是直线/的一点，过点。作曲线。的切线，切点为。，求归。|的最小值.

18.(12分)设数列｛4｝是公差不为零的等差数列，其前〃项和为S“，q=l,若%,%，4成等比数列•

(1)求明及s“；

(2)设方“=丁二(〃wN*),设数列｛a｝的前〃项和7；,证明：Tn<\.

an+\~A4

x=-3+—

2

19.(12分)在直角坐标系中，直线/的参数方程为〈.a为参数).以坐标原点。为极点，x轴的正半

V3

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22-4pcos。+3=0.

(1)求/的普通方程及C的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点P至心距离的取值范围.

20.(12分)已知正实数a,人满足a+b=4.

14

(1)求一+一的最小值.

ab

(2)证明：(a+工］+(b+-25

\a)\b)T

x=1+cosa

21.(12分)在平面直角坐标系x。)中，曲线G的参数方程为：(a为参数)，以。为极点，元轴的正

y=sma

半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为：夕=2百sin6.

(1)求曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程；

(2)若直线/:y=h(Z>0)与曲线C交于。，A两点，与曲线G交于。，B两点，求|。山+|0网取得最大值时直

线/的直角坐标方程.

22£7

22.(10分)设椭圆C:\+==l(a>b>0)的离心率为半，圆O：/+y2=2与x轴正半轴交于点儿圆。在点

A处的切线被椭圆C截得的弦长为272.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设圆。上任意一点P处的切线交椭圆C于点M,N,试判断1PM卜|91是否为定值？若为定值，求出该定值；若

不是定值，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【解析】

根据图象求得函数y=/(x)的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.

【详解】

’5乃71

由图象可得，函数的周期T=2x="'所以0=彳=2.

方―5

将点(工代入/(x)=2cos(2x+°)中，得2x%+(p=2k兀一三(keZ),解得°=2版■—卫(％eZ),由

V3J326

0<(p<7r9可得夕=葛，所以/(X)=2COS12X+K；

令2Z乃<2x+—<2k7i+7i(kGZ),^kn--<x<kn+—(ke7j^

61212<9

S77JT

故函数y=f(x)在-,^+—(ZeZ)上单调递减，

「1711

当上=—1时，函数y=〃x)在一在肛一五"上单调递减，故A正确；

令2k兀一兀幺2x+^-<2keZ),得攵万一VxW一卷(左GZ),

11yr,4

故函数y=/'(x)在k兀―-^,1(九一五(左eZ)上单调递增.

134197r

当左=2时，函数y=/(x)在—上单调递增，故B错误；

令2》+葛=痴+多壮2),得》=写一看伏eZ),故函数y=/(x)的对称中心是住一在j(丘Z),故C

正确;

令2x+%=女乃(&wZ),得x=4—1|(ZwZ),故函数y=/(x)的对称轴是x=4—1|(&wZ),故D正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能

力，属于中等题.

【解析】

集合S,7是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可

【详解】

S={xH\2x+l)0\=

T={x|3x-5<0}=

则ScT=

故选O

【点睛】

本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题.

3.A

【解析】

点2的坐标为(2,利)(〃7>0),1211//47归=1311(/42尸一/8/平)，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线

计算得到答案.

【详解】

不妨设点P的坐标为(2,/%)(“>()),由于为定值，由正弦定理可知当sinNAPB取得最大值时，AAP3的外接

圆面积取得最小值，也等价于tanNAPB取得最大值，

因为tanNA尸尸二g一，tanZBPF=^-9

mm

2+。2—a

2a

所以tan/APB=tan(ZAPF-NBPF)=mm

2

2+Q2—ab

14--------m-\---

mmm

当且仅当加=幺（加＞0）,即当m=b时，等号成立，

m

此时NAP5最大，此时的外接圆面积取最小值，

丫22_________

点P的坐标为（2,勾，代入3一2=1可得.=&，匕=后=7=0.

ab

22

所以双曲线的方程为土-匕=1.

22

故选：A

【点睛】

本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

4.C

【解析】

由E4+EB=0得?是弦A3的中点.进而得A5垂直于x轴，得生=。+。，再结合a*,c关系求解即可

a

【详解】

因为必+所=0,所以F是弦A3的中点.且A3垂直于工轴.因为以A3为直径的圆经过双曲线。的左顶点，所以

扇「22

—=a+c9即^~—=4Z+C,则。一。=。，故e=—=2.

aaa

故选：c

【点睛】

本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题.

5.C

【解析】

化简复数，分子分母同时乘以1+7,进而求得复数2,再求出之，由此得到虚部.

【详解】

z=---=i,z=—i，所以z的虚部为—1.

1-z

故选：C

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共挽复数的虚部，属于基础题.

6.C

【解析】

在长方体中A5//£A，得。。与平面ABC；交于2,过。做。OJLA2于。，可证DO_L平面ABGA，可得

NORA为所求解的角，解RtAADR,即可求出结论.

【详解】

在长方体中AB//CR,平面ABC,即为平面ABCR,

过。做。O_LAR于。，QA8_L平面44,。。，

AD^D,

：.DOJ_平面ABC^,NDD]A为。。与平面ABC,所成角,

在Rt^ADD[,DD]-A4t=百,AD-V2,AD,=也>

DD]G岳

cosZDDA-

}砺一石一丁

•••直线DD\与平面ABC,所成角的余弦值为半.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.

7.A

【解析】

由已知可得工〜)的单调性，再由/(2-幻=-/。)可得/。)对称性，可求出/(x)在(HO,1)单调性，即可求出结论.

【详解】

对于任意xeR,函数满足了(2-x)=—/(x),

因为函数f(x)关于点(1,0)对称，

当XN1时，/(x)=J7万是单调增函数，

所以/(x)在定义域R上是单调增函数.

因为所以

b<c<a.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..

8.D

【解析】

设氏4=a，BC=b，作为一个基底，表示向量说=gAC=g,-a),DF=^DE=^(b-a],

AF=AD+DF=--a+-(b-a]=--a+-b,然后再用数量积公式求解.

24、>44

【详解】

设8A=。，BC=b，

11/--\33/■\13/-\53-

所以OE=—AC=-(b-a),DF=-DE=-(b-a],AF=AD+DF=--a+-{b-a]=--a+-b,

22^>24、124V/44

531

所以AFBC=——a-b+-b-b=~.

448

故选：D

【点睛】

本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9.D

【解析】

根据复数z满足z(l+i)=l-i,利用复数的除法求得二，再根据复数的概念求解.

【详解】

因为复数Z满足z(l+i)=l—i,

所以Z的虚部为—1.

故选：D,

【点睛】

本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.

【详解】

根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2x2=4.侧面的高为疗手=石，所以侧面积为

4xgx2x石=46.所以该几何体的表面积是（475+4）

故选：D

【点睛】

本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.

11.D

【解析】

根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四

个选项加以分析判断，进而可求解.

【详解】

对于A选项，若随机变量4服从正态分布N（L〃）,尸偌44）=0.78,根据正态分布曲线的对称性，有

P（JV-2）=P（J24）=1—P（JW4）=1—0.78=0.22,故A选项正确，不符合题意；

对于3选项，已知直线/，平面a,直线机//平面夕，则当a//£时一定有/，加，充分性成立，而当/_Lm时，不

一定有故必要性不成立，所以“a//£”是的充分不必要条件，故3选项正确，不符合题意；

对于C选项，若随机变量J服从二项分布：J则E（J）=〃p=4x；=l,故C选项正确，不符合题意;

对于。选项，am＞bm,仅当加＞0时有。＞6,当机＜0时，不成立，故充分性不成立；若。＞6,仅当加＞0

时有〃利＞加当机＜0时，约口＞力篦不成立，故必要性不成立.

因而的＞物72是4＞人的既不充分也不必要条件，故D选项不正确，符合题意.

故选：D

【点睛】

本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查

理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.

12.B

【解析】

求出函数的导数，利用切线方程通过/(0),求解即可；

【详解】

/(x)的定义域为(-1,+oo),

因为/(X)=—1---a,曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,

x+1

可得l-a=2,解得a=-L

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.10

【解析】

①根据换底公式计算即可得解；

②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.

【详解】

①由题：a=log23,&^log32,

贝ijah=log23log32=log23=1.

log23

②由①可得：lga+lg"=lgab=lgl=O.

故答案为：①L②0

【点睛】

此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.

14.(0,-2)

【解析】

令x=0,/(0)=1-3=-2,与参数无关，即可得到定点.

【详解】

由指数函数的性质，可得x=(),函数值与参数无关，

所有/(%)=(。一以-3过定点(0,-2).

故答案为：(0,-2)

【点睛】

此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.

1

15.-

6

【解析】

设正四棱柱ABC。-44GA的底面边长==高A4,=b,再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.

【详解】

解：设正四棱柱A6CO—AgG2的底面边长AB=8C=a,高明=b,

则=SABCDx例=a'b,

Vp.“DB=VB-DDP=叫DP.BC=a=

,耳功」即竺」

VABCD-A禺G46V6

故答案为：—

6

【点睛】

本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.

1

16.-

2

【解析】

根据偶函数的定义列方程，化简求得”的值.

【详解】

由于“X)为偶函数，所以/(—x)=/(x),

gpcos(-x)-log2(2-"+1)-OT=COSX-k)g2(2*+1)+3

-x

gpcosx-log,(2+l)-ar=cosx-log2(2"+l)+or,

即log?(2'+1)-log,(2-x+1)-2ax=0,

即log2自8—2以=0,即log?百力又一2依=0,即log2V——26=0,即

log2T-2ax=x-2cLx=(l-2a)x=0,所以1-2。=0,〃=；.

故答案为：7

2

【点睛】

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)3x—4y—17=0,(x+l)2+/=9；(2)见解析

【解析】

(1)消去t,得直线/的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线C的直角坐标方程；(2)判断/与圆A相离,

连接AQ,AP,在放AAP。中，|「。|2=|四2一|%。『242-32=7,即可求解

【详解】

x=3+4/

(1)将/的参数方程cc(，为参数)消去参数，得3x—4y—17=0.

[y=-2+3t

x=pcosd、

因为《八，夕~+2夕cos6-8=0,

y-psinO

所以曲线。的直角坐标方程为(x+l)2+y2=9.

(2)由(1)知曲线。是以(一1,0)为圆心，3为半径的圆，设圆心为A,

则圆心A到直线I的距离d=上上U1=4>3,

5

所以/与圆A相离，且1P4".

连接AQ,AP,在R/A4PQ中，怛Q『=|PA|2—|AQ|2"2—32=7,

所以，|PQ|NJ7,即归0的最小值为近.

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程，极坐标与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题

2

18.(1)an=2n-l,5„=/?；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据题中条件求出等差数列｛%｝的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列｛%｝的通项和前〃项和;

(2)根据裂项求和求出，，根据的表达式即可证明

【详解】

(1)设｛%｝的公差为d,

ci,—1q=l

由题意有｛2

。2=4•。5(q+办=q•(4+4d)

a=1

且,

d=2

所以%=1+2(〃-1)=2〃一1,

〃(％+%)

=n2；

“一2

4=1邛

(2)因为“

a；+i—14”(〃+1)n+\)

T=-\1———=--------<-

"4(n+l)44(/?+1)4

【点睛】

本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.

19.(1)百x-y+36=0,*+/-4%+3=0.(2)号

【解析】

*=-3+展

(1)根据直线/的参数方程为〈(/为参数)，消去参数L即可求得的/的普通方程，曲线C的极坐标方

V3

x=pcos0

程为22-4pcos6+3=0,利用极坐标化直角坐标的公式：，,八，即可求得答案;

y="sin"

(2)C的标准方程为(x-2)2+V=I,圆心为C(2,0),半径为1,根据点到直线距离公式，即可求得答案.

【详解】

x=-3+—,

(1)直线/的参数方程为1厂2。为参数)，消去参数f

2

；./的普通方程为Gx—y+3G=0.

曲线C的极坐标方程为"_"cos6+3=0,

X-OCOS0

利用极坐标化直角坐标的公式:.八

y=psin3

C的直角坐标方程为f+y2-4x+3=0.

(2)C的标准方程为(x—2)2+y2=i,圆心为C(2,0),半径为1

二圆心C到,的距离为八咯产考

5百,5百

二点P到/的距离的取值范围是

22

【点睛】

本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

9

20.(1)-；(2)见解析

4

【解析】

(1)利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.

(2)直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.

【详解】

14

（1）因为。+/?=4，所以一+7=

ab

因为a>0,h>0,所以2+%..4(当且仅当？=网，即a=&力=§时等号成立),

abab33

所以口5+3+与）…3（5+4）=?

Q+Z?H--1—4H--1—

(2)证明:Q。J_Iab

F—2~

...；x(2+2)=1

因为q+b=4，所以—b—=—(a+b)

ab4

故[a+4]+^+-1...—(当且仅当。=8=2时，等号成立)

Ia)Ib)2

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理论证能力，属于中档题.

21.(1)曲线C[:0=2cos。，曲线。2：x?+｝一6)=3.(2)y=6x.

【解析】

x=1+cosax-pees6

(1)用《和.消去参数a即得G的极坐标方程；将夕=26sin。两边同时乘以「，然后由

y=sincey-psin0

222

p=x+y,y=psmO解得直角坐标方程.

(2)过极点的直线的参数方程为。=以,代入到G：o=2cos，和C2：0=28sin。中，表示出

|。4|+|。8|即可求解.

【详解】

x=1+cosafx=pcosOfpcos^-1=coscif

解：由〈和《"，得《尸八

y=sina[y=psinO[夕sin6=sina

(pcos^-1)2+(夕sin9)2=1,化简得夕=2cos9

故G：夕=2cos8

将°=26sin。两边同时乘以夕，得夕2=2Gpsin，

因为夕*=x2+y2,y=psinO,所以f9一2月y二()

得C2的直角坐标方程。2：/+()，—0丁=3.

(2)设直线/的极坐标方程6=@[0<e<],0€7?)

\0=(P

由《c八,得|OA|=2cos夕，

p=2cos^

但=9,r

由土厂，得|03|二26sin*

p=2yJ3cos。

故|。4|+10却=2cos（p+20sin夕=4sin［夕+

当9=?时，|。4|+|。8|取得最大值

此时直线的极坐标方程为：e

其直角坐标方程为：y=&.

【点睛】

考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中。的几何意义求距离的的最大值方

法；中档题.

22

22.（1）—+21=1；（2）见解析.

63

【解析】

（I）结合离心率，得至！Ia,b,c的关系，计算A