数学-02 复数-2023年高考数学母题题源解密（全国通用）（解析版）

专题02复数

考向一复数的概念及运算

【母题来源】2022年高考浙江卷

【母题题文】已知a,0eR,a+3i=S+i）i（i为虚数单位），则（）

A.a=\,b=-3B,a=—\,b=3C,a=~\,b=-3D.

a==3

【答案】B

【试题解析】a+3i=-l+bi，而a*为实数，故。=一1力=3,故选：B.

【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于较为简单题目.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度不大，多为低

档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力.

常见的命题角度有：

（1）求复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应

的点.

【得分要点】

解复数问题方法：

（1）理解复数的基本概念.

（2）解答中熟练应用复数的运算法则化简.

（3）复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项,

不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可.

一、单选题

1.（2022•青海•海东市第一中学模拟预测（理））设（1-1）%=2,贝旭=（）

A.也B.V2C.1D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的四则运算法则及模的运算即可求得答案.

【详解】

2i-15

由题意，（l-i）3=-2i（l-i）=-2（l+i）,—-^7=—,\z\=—.故选：A.

-2（1+1）22

2.（2022•全国•模拟预测）若复数z满足（2+i）z=|6-i[（i为虚数单位），则在复平面内z所对

应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的模长与乘法除法运算求解可得z=g-（i,再根据复数的几何意义分析即可

【详解】

因为（2+i）z=|G-i],即（2+i）z=|石+i|,故z=2=/2（：?（T，所以在复平面

内Z所对应的点为，位于第四象限.故选：D.

3.（2022•全国•南京外国语学校模拟预测）已知复数z==+占（i为虚数单位），则复数I在

复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的运算求解复数z,得到三，根据复数的几何意义即可求解.

【详解】

212(l+i)1-i,.11.31.

1-i1+i(l-i)(l+i)(l+i)(l-i)2222

则W=|-gi,在复平面上对应的点的坐标为(5，-£］，位于第四象限故选：D.

2

4.(2022•海南海口•二模)复数二=7的虚部为()

1+31

3113

A.-B.-C.——D.--

5555

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算法则即可求解.

【详解】

22(l-3i)2-6i13133

由已知得丁下=一=则复数彳一^i的虚部为・［故选：D.

1+31(71；+31)(1-31)1055555

5.(2022・江苏无锡・模拟预测)已知复数z满足「-i)i=4+3i,则目=()

A.275B.3C.2GD.3也

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算求出I,再利用共轨复数及模的意义求解作答.

【详解】

依题意，z—i=一则有z="笠4i=3-4i+i=3-3i,于是得z=3+3i,所以

i1-(-0

|z|=J32+3?=3>/2.

故选：D

6.(2022•全国•模拟预测)已知zi-3=2i,i为虚数单位，贝上=()

A.2+3iB.2-3iC.-2+3iD.-2-3i

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的代数运算法则即可解出.

【详解】

因为zi—3=2i,所以2=三&=丝也=3^=2-3i.故选：B.

ii2-1

r-2i

7.（2022・青海•模拟预测（理））若丁一=2y（%yeR,i为虚数单位），则复数l+yi在复平

14-1

面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用复数乘法结合复数相等求出x，），即可求解作答.

【详解】

因淖=2>,则有x-2i=2y+2yi,而x,yeR,有卜：？：，解得户_2,卜=-1,

所以复数x+M在复平面内所对应的点（-2,-1）位于第三象限.

故选:C

8.（2022・广东茂名•二模）已知复数z在复平面内对应的点为（1,1）,彳是z的共枕复数，则e=

Z

（）

A1L11.11.11.

A.1—1B.—I—1C.-----1D.------1

22222222

【答案】B

【解析】

【分析】

求出三，再由复数的除法运算可得答案.

【详解】

,、11+i1+i11.

•••复数z在复平面内对应的点为(1,1),z=l+i,z=l-i,7=(l-i)(l+i)=~=2+21，'!ife

选：B.

9.(2022•浙江湖州•模拟预测)已知aeR,若复数z=(a+i)(l-i),复数z的实部是4,则z的

虚部是()

A.-2iB.-2C.2iD.2

【答案】B

【解析】

【分析】

先化简复数z,再根据复数z的实部是4求解.

【详解】解：z=(a+i)(l-i)=a+l+(l-a)i,

因为复数z的实部是4,所以l+a=4,解得。=3,所以z=4-2i,则z的虚部是-2,故选：B

10.(2022•浙江绍兴•模拟预测)人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、

从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先

引进了尸=-1，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用a+「i(。、b『R)表示复数,并在

直角坐标系上建立了“复平面”.若复数z满足方程Z2+2Z+5=0,则2=()

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

【答案】C

【解析】

【分析】

设出复数z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.

【详解】

设2=。+砥a,bwR),HZ2+2Z+5=0,则(a+历)?+2(。+历)+5=0,

BP(a2-+2a+5)+2b(a+l)i=0,而a,〃eR,则1:U,5=°,解得[7二，所以

2b(a+\)=0[b=+2

z=-l±2i.

故选：C

二、填空题

m4-i

11.（2022・上海闵行•二模）若不一为纯虚数（i为虚数单位），则实数m=；

【答案】-1

【解析】

【分析】

+—i）〃2+1+（1—m+i

先利用复数的除法法则化简得到4-------根据"为纯虚数，得到方程,

求出，”=T,检验后得到答案.

【详解】

V■；=———-，因为鲁为纯虚数，

所以切+1=0,解得：m=-\,此时”=i,符合要求，

1+1

故答案为：-1

12.（2022.天津•静海一中模拟预测）已知复数z满足z（l+i）=3-4i（其中i为虚数单位），则

|z|=________

【答案】述

2

【解析】

【分析】

根据复数的乘除运算法则，化简得z,进而根据共趣复数得到I，根据模长公式即可求解.

【详解】

由z（l+i）=3-4i得z=曰=（3-41）（11）=3-3"41-4=__[_工力所以1=一4+；1,故

1+i222222

内乎故答案为当

13.（2022•江苏•扬中市第二高级中学模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足14|z+l+i区血,

贝”的最大值为.

【答案】3&

【解析】

【分析】

利用复数的几何意义知复数z对应的点Z到点C(-l,-l)的距离"满足1M44&,|z-l-i|表示复

数z对应的点Z到点P(U)的距离，数形结合可求得结果.

【详解】

复数z满足14|z+l+i|4五,E|Jl<|z-(-l-i)|<^

即复数z对应的点Z到点的距离d满足14d4近

设P(L1),|z-l-i|表示复数z对应的点Z到点尸(1，1)的距离

数形结合可知的最大值|"|=|(7尸|+及=方寿+及=3夜，故答案为：3五

14.(2022.浙江•三模)中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指

两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数a=5+3i,b=4+3i