数学1卷-2023高考数学基础强化训练（七）

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2023高考数学基础强化专题训练（七）

解析几何

基础知识

椭圆的基本量

1.如图（1）,过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦N8=，称为通径.

2.如图（2）,尸为椭圆上的点，吊，出为椭圆的两个焦点，且/吊尸&=仇则的

面积为.

3.椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.

4.设P,A,8是椭圆上不同的三点，其中48关于原点对称，则直线PN与P8的斜

率之积为定值________.

2b26b2

1.—2.b2,tan-3.a+ca~c4.—;

a2a2

直线与椭圆

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x（或力的一元方程ax2+bx+

c=0（或/+如+c=0）.

（1）若。云0,可考虑一元二次方程的判别式」,有：

①/>0冗直线与圆锥曲线；

②/=0亢直线与圆锥曲线;

③/V0冗直线与圆锥曲线.

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为网上W0）的直线/与圆锥曲线C相交于/（X|,刈），8（必，V2）两点，则48=

1.(1)①相交②相切③相离

2.41+户仅2—X||=+)/2一%|

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双曲线的基本量运算

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.

2.如图，P为双曲线上的点，F1，尸2为双曲线的两个焦点，且/尸1尸尸2=仇则△分尸尸2

的面积为.

3.焦点到渐近线的距离为.

4.设P,A,8是双曲线上的三个不同的点，其中48关于原点对称，则直线尸4与尸8

的斜率之积为.

2〃b2b2

1.—2.-------3.b4."

a0a2

tanT

抛物线

设是过抛物线y=2px(p>0)焦点下的弦，若/(xi，%),B(X2,y2),则:

p2

(1)XIX2=I，y\yi--p2i

（2）"E=1—：a'"=l+cta*弦长"8=片+应+°=a为弦AB的倾斜

角);

I12

(3)-+—=-；

FAFBp

(4)以弦N8为直径的圆与准线相切：

(5)以/尸或8尸为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.

直线与圆锥曲线

1.已知椭圆C：%。1(4*0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点从，殳的

连线分别与x轴交于尸，。两点，。为椭圆的中心，则0p。0=次

2.已知椭圆C：5+}=im>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点与，&的

b2

连线的斜率分别为左，k2,则我芯=一7.

3.过抛物线俨=2/仍>0)的焦点尸作直线交抛物线于/,8两点，且Z(xi，力)，8(X2，

02

y2)>则X]X2=i'y\y2~~p2-

4.过抛物线y=2.g>0)的顶点O作两条互相垂直的直线交抛物线于4,B两点,则直

线过定点(2p,0).

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1.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）

已知抛物线产=4x的焦点为R直线/过点尸且与抛物线交于Z,8两点，过点N作抛物线

准线的垂线，垂足为"，NM/尸的角平分线与抛物线的准线交于点尸，线段48的中点为

Q.若必8|=16,则『0|=

A.2B.4C.6D.8

2.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）

（多选题）已知为，尸2分别为椭圆C：]+产=1的左、右焦，不过原点。且斜率为1的直

线/与椭圆C交于P,。两点，则下列结论正确的有

也

A.椭圆C的离心率为B.椭圆C的长轴长为2

C.若点A1是线段P0的中点，则的斜率为一gD.△OP。的面积的最大值为?

3.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）

XV

己知Q,&分别为双曲线C：--7-l（a>0,6>0）的左，右焦点，过点且且斜率为1的直

ah

线/与双曲线C的右支交于P,0两点，若是等腰三角形，则双曲线C的离心率

为.

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4.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

已知椭圆c：捺+/=1(。”>0)经过点尸(-6,斗，2(1.|).

(1)求椭圆c的方程；

(2)过椭圆C右焦点的直线/交椭圆于/,B两点,交直线x=4于点。.设直线小，QD,

3的斜率分别为即与，刍，若用#0,证明：空■为定值.

比2

5.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)

已知抛物线八尸;x2的焦点为足

(1)求抛物线r的准线方程：

(2)若过点F的直线/与抛物线「交于4,B两点,线段的中垂线与抛物线F的准线交于

4

点C,请问是否存在直线/，使得tan//C8=不若存在，求出直线/的方程；若不存在，

请说明理由.

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函数与导数

1.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

当把一个任意正实数N表示成N=axlO"(lWa<l()/eZ)的时候，就可以得出正实数N的位

数是〃+1,如：235=2.35xlO2,则235是一个3位数.利用上述方法，判断185°的位数是

(参考数据：lg2«0.3010,Ig3«0.4771)

A.61B.62C.63D.64

2.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

已知a=sin,b=c=lnl.l,则

A.a<b<cB,a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

3.(盐城市2023届高三年级第一学期期中考试)

(多选题)对于函数人X),若在区间/上存在刖，使得y(xo)=xo，则称是区间/上的“0

函数”.下列函数中，是区间/上的“0函数”的有

A.J(x)=e^',/=(0,4-00)B./(x)=ln(x+l),7=(-1,+(»)

C.y(x)=sirtr,1=(0,+oo)D.y(x)=lg(sinx),1=(—2n,—it)

4.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)(多选题)

已知曲线〃x)=；x3+x2-ax在点尸(知/&))处的切线为4,贝IJ

4

A.当a=0时，/(x)的极大值为]

B.若玉=1,《的斜率为2,贝Ua=l

C.若/(x)在R上单调递增，则

D.若存在过点P的直线乙与曲线f{x)相切于点Q(X2,/(X2)),则玉+=3

5.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)

(多选题)已知函数/(x)=lnx—aN,则下列结论正确的有

A.当时，y=/(x)有2个零点

B.当a〉,时，Hx)W0恒成立

2e

C.当。=g时，x=l是y=/a)的极值点

D.若％],M是关于x的方程次工)=0的2不等实数根，则xi%2>e

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6.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)

已知函数y=/(x)的定义域为R,当x>0时，/(x)=2,—1,且函数y=/(x+l)

关于点7(—1,0)对称，则满足负入-3)+/2)W0的取值范围

是.

7.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)

设函数7(x)=sinx—x+丁3

⑴若加=；,求函数/(x)在[0,+oo)上的最小值；

(2)若对任意的xe[0,+oo),有兀0，0,求,"的取值范围

三角函数

1.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

已知sin(2a-仞=-3sin/，且a-夕/3+五，a#—,其中％GZ,则巴蚂二2

22tana

A.1B.2C.3D,4

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2.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)

点。为△/8C边上一点，满足/。=2,05=8,记N/8C=a,NBAC=p.

(1)当且£=2a时，求CD的值；

71

(2)若a+£=］求△ZC£>的面积的最大值.

排列组合

1.(常州市教育学会学业水平检测2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

若(1-ax+N)(i-x)8的展开式中含N的项的系数为21,则a=

A.-3B.-2C.-1D.1

统计概率

1.(江苏省南京市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题)

某收费站统计了2022年中秋节前后车辆通行数量，发现该站中秋节前后车辆通行数量

J〜N(1000,〃)，若P(J>1200)=*P(800<&<1200)=6,则当8ah..6+2a时下列说法正

确的是()

1131

A.a=—B.b=—C.ci+b=­D.a—b=—

2442

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2.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）

史明理，学史增信，学史崇德，学史力行.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的

活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中

抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分,满分100分）得到如下

频数分布表：

成绩/分[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

频数40902004001598040

（1）求这1000份试卷成绩的平均数?（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

（2）假设此次测试的成绩X服从正态分布N3,〃），其中〃近似为样本平均数，〃近似为样

本方差s2,已知s的近似值为6.61,以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高

于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？

（3）该市教育局准备从成绩在［90,100］内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从

这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记丫为抽取的3份试卷中测试成绩在［95,100］

内的份数，求丫的分布列和数学期望.

参考数据：若X〜N"a2）,则尸〃/一0<XW〃+a户0.6827,〃+2。尸0.9545,

pa-3o<XW"+3a）Q0.9973.

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立体几何

1.（2022-2023苏州市高三上学期期中调研试卷）（多选题）

在棱长为2的正方体中，M,N分别是棱AB,AD的中点，线段MN上有动点P.棱Cq

上点E满足GC=3GE.以下说法中，正确的有

A.直线GP与是异面直线

B.直线GP〃平面

C.三棱锥C-GA/N的体积是1

D.三棱锥C-GMV的体积是3

2.（江苏省南京市南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷）

如图，在等腰梯形N8CZ）中，AB=BC=CD=2,NO=4,点£为线段NQ的中点，将4

CDE沿着C£折起到△CPE位置，M为EC的中点.

（1）求证：平面平面/8CE；

（2）当平面CPEL平面ABCE时，求二面角B-PC-E的余弦值.

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3.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

如图，在四棱锥P-ABCD中，4JL平面ABCD.PB与底面ABCD所成角为45。，四边形ABCD

是梯形，ADLAB.BC//AD.AD=2,PA=BC=\.

(D证明：平面E1CJ■平面PC。；

(2)若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点尸到平面/5M的距离.

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数列

1.(盐城市2023届高三年级第一学期期中考试)

首项为4的等比数列｛%｝的前"项和记为S”其中兴、&、S6成等差数列.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

]100

(2)令瓦,=------------------，求工》.

22

log|a2«i|-log|a2»+i|&

2.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

已知数列｛4｝和也｝满足的2…4=(0》，饱｝为等比数列，且。2=4，d-4=8.

(1)求。“与5”；

(2)设4=也，求数列£｝的前"项和S”.

3.(盐城市2023届高三年级第一学期期中考试)

数列｛%｝中,型=2,a“+a”+i=2"+l,"WN*.

(1)求｛斯｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足与=d-「2"2〃，“GN*,求｛瓦｝的前〃项和.

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圆锥曲线

——2023高考数学复习专题

出题背景

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(1)阿基米德三角形

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形这个三角形又常被称为

阿基米德三角形。因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了抛物线的弦与抛

物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3.

近年全国以及各地高考以此为背景的颇多。

V-2]

(2019年III卷理科21)己知曲线C：,”为直线尸-不上的动点，过作C的两条

切线，切点分别为8.

(1)证明：直线月8过定点：

(2)若以E(0,£)为圆心的圆与直线相切，且切点为线段48的中点，求四边形

ADBE的面积.

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(2)阿波罗尼斯圆

平面内的一个动点到两个定点的距离之比为常数(不为1)的点的轨迹为圆。

1994年全国高考题

(24)(本小题满分12分)y*

已知H角坐标平面上点。(2,0)和1Mle：x%2=|,动点M到网

C的切线长与IMQI的比等于常数1(4>0).求动点M的轨迹方程，说(0)—

明它表示什么1加线.

对条件的讨论

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2以数学名题或经典结论为背景的试题

（2）阿波罗尼斯圆

（2008年江苏理科题）满足条件的aABC的面积的最大值是

（2013江苏虑考-17）（本小融清分14分）

如图1•在平面直角坐徐系

rOy中•点A<0.3）.直线Z«>=2.r

-4.

设0flC的半径为1•圆心在I

上.

（1）若圆心C•也在直线、=工

一】上•过点A作08C的切线•求

切线的方程，ffi1

（2）若圆C上存在点使

MA-2MO.求回心C的横坐标。的取值范围.

2以数学名题或经典结论为背景的试题

（2）阿波罗尼斯圆

平面内的一个动点到两个定点的距离

之比为常数（不为1）的点的轨迹为圆.

阿波罗尼斯圆可以向圆锥曲线中推广

定理设r为一非退化的二次曲线，尸是一

个不在，上的定点（当，是有心二次曲线时，尸

不是中心）•过产任作直线交「于A、B.则存在另

一定点Q，使得端翁恒成立.

从圆到椭圆的推广

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(2015四川理第20题)如图，椭圆E：「+g=

l(a>6>0)的离心率是过点P(0,l)的动直线I

与椭圆相交于A.8两点,当直线/平行于“轴时，

直线I被椭圆E裁得的线段长为272.

(I)求椭圆E的方程；

(n)在平面直角坐标系/Oy中，是否存在与

点P不同的定点Q，使得幽'=周｛■恒成立？

若存在,求出色》若不存在，请说明

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(3)“垂径定理”在圆锥曲线中推广

椭圆或双曲/任意一条弦所在直线的斜率与该弦中点与椭圆(或双曲线)中心

连线的斜率之积为常数.

设点M是有心圆锥曲线C:mx2+〃产=1(九〃同正或异号)上异于

直径的两个端点的任意一点，则自〃

n

逆命题就是所谓的第三定义(轨迹不包的端点)

设而不求

点差法

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(3)“垂径定理”在圆锥曲线中推广

(2018年全国卷皿)已知斜率为尢的直线/与椭圆C：号+<=1交于A,8两点.线段一18的中点为

43

M(L砌桁>0).

(1)证明：k<-g>

(2)设尸为C的右焦点，P为C上一点，目而+百+丽=0.证明：2|乔用百卜快司.

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2以数学名题或经典结论为背景的试题

(3)“垂径定理”在圆锥曲线中推广

(2019全国II卷)已源.4(20)/(2,0),动点Mxj)满是直线4U和BM的斜率之积为-g,

记"懒迹为曲线C

国求C断遭，并说明C是什么曲缭

0过坐标原点的直线交C于2，。两点，点P在第一象限，PE_x轴，垂足为E,连结。E并延

长交C于点G

①证明：△HJG是直角三角形

②求△PgG的面积的最大值

第响和第(2)问

的(1)

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(4)“张直角弦”问题

圆中“张直角弦”是圆的直径；过圆的中心即圆心；

椭圆、双曲线、抛物线有类似性质吗？两斜率之积为其他常数如何？

直角弦定理

设点？(X。,坊)在圆锥曲线上，旦为直角的顶点.

X2V2a2-b2

(1)椭圆=+47=1(。>6>0)张角为直角的弦所在的直线过定点(区),-%),其中/=一7；

aba+b

(2)双曲线=一彳=1(。>0)>0,aWb)张角为直角的弦所在的立线过定点(生，一以)

ab

其中f=r_r；

a2-b2

(3)抛物线丁=2px(p>0)张角为直角弦所在的直线过定点(22+%._%)。

(4)“张直角弦”问题

2020年新高考I卷第22题

22后

22.已知椭圆G餐+方=1(〃>6>0)的离心率为上，且过点4(2,1).

(1)求嵌方程：

(2)点M死EC上，且皿4儿AD1MN,〃为垂足.证明：存在定点0,使得|困|为定值.

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若不是张直角，而是斜率之乘积为常数，也有类似结论

定理2设是给定有心圆锥曲线。：切一

+〃y2=i上的定点，点力，4是曲线C上的动点，若

与A/6的斜率之积为义，贝I」：

①当义工竺时，动直线48过定点

n

((力7+(2〃+〃?)_%)

An-mAn-m

②当义=”时，动直线工〃的斜率为定值

n

(4)“张直角弦”问题

若不是张直角，而是斜率之和为常数，也有类似结论

—2017年高考数学全国卷I理科第20题为：

已知椭圆C：4+m=l(a>6>0),四点PJ1,

ab

l),P2(0,l),P3(-l,^),P4(1将)中恰有三点在

椭圆c上。

(I)求。的方程；

(n)设直线2不经过P2点且与C相交于A,B

两点。若直线PzA与直线PzB的斜率之和为一1,证

明：Z过定点。

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定理设直线z不经过椭圆C：m+4=1

a0

点PG。，”)，且与椭圆C相交于两点A,3,若直

PA与直线尸B的斜率之和为人，则

62z

当;1=0时，若直线/的斜率为定值？

若％=0,直线/的斜率不存在；

当入H0时，直线I过定点(一争+工0,3^一»0：

圆中"张直角弦”是圆的直径；过圆的中心即圆心；

椭圆、双曲线、抛物线有类似性质吗？两斜率之积为其他常数如何？

直角弦定理

设点尸(X。,为)在圆锥曲线匕旦为直角的顶点.

222_L2

(1)椭圆二+彳=1(。>6>0)张角为直角的弦所在的直线过定点(%,-%),其中，=一^

aba+b

(、，一仇)

(2)双曲线/一瓦=l(a>0*b>0,a*6)张角为直角的弦所在的直线过定点

其中r=

(3)抛物线V=2px(p>0)张角为直角弦所在的直线过定点Qp+x0,_%)。

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(5)圆锥曲线“等角”定理

过椭圆5+*=1(。＞b＞0)长轴上任意一点N©0)的一条弦端点与对应点G：：,0；的连线

(5)圆锥曲线“等角”定理

2018全国1卷文科20

设抛物线C：yZ=2x,点/(2,0),B(-2,0),过点N的直线/与C

交于A/,N两点.

(1)当/与X轴垂直时，求直线6A4的方程：

(2)证明：NABM=NABN.

2018全国1卷理科19

设椭圆C：L+/=1的右焦点为尸，过尸的直线,与C

2

交于N,B两点,点A/坐标为(2,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线AM的方程：

(2)设。为坐标原点，证明：NOMA=NOMB.

2015年新课标标I卷20题

2

在直角坐标中，曲线C：y=土r-与直线卜=履+。(。＞0)交于M,N两点，

4

(1)当4=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(II)在y轴上是否存在点P,使得当〃变动时，总行NOPM=NOPN?说明理由.

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(6)彭赛列(Poncelet)闭合定理

平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条

圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样(切、内外接)

性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.

E

(2009年江西卷)如图1,已知圆C:(%-2)2+/=

2

产是椭圆的内接的内切圆，其中4为

16

椭圆的左顶点.

(1)求圆的半径r；

(2)过点作圆G的两条切线交椭圆于£,

产两点，证明直线右厂与圆G相切.

(6)彭赛列(Poncelet)闭合定理

2021年全国甲卷理科20题

20.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在T轴上.直线/:工=1交C于尸.Q两点，且

OPWQ.已知点M(2,0),且与/相切.

(1)求C,0八/的方程；

(2)设4,42,4是C上的三个点，直线小力2,4退3均与。刀相切.判断直线

4243与QM的位置关系，并说明理由.

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（7）蒙日圆问题

r2v2

2

椭圆二+二=1的两条相互垂直的切线的交点轨迹方程/=a（蒙日圆）

au

X2v2

双曲线三—二=1的两条相互垂直的切线的交点轨迹方程为

a2b2

当a>6>0时，两条相互垂直的切线的交点轨迹方程x2+y2=a2-b2（蒙日圆）

当a=6时，两条相互垂直的切线的交点轨迹为原点；

当0<a<6时，两条相互垂直的切线的交点轨迹不存在

抛物线y2=2px的两条相互垂直的切线的交点轨迹为x=-2

2014年广东高考卷理科20题

22公

已知椭圆C：「+5=1（4>6>0）的一个焦点（右,0）,离心率为学.

b3

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵若动点P（X。,比）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两切线相互垂直，求点

P的轨迹方程.

2022年广州市调研测试21题

21.（12分）

已知桶圆c：1+5=im>b>o）的离心率为立.6.凡分别为桶同c的左.右焦点，

Zr2

历为桶1M1C上一点，△儿"；5!的周长为4+26.

（1）求确网C的方程：

（2）F为圈*2+/=5上任意一点.过P作椭帆C的两条切线,切点分别为4.B,

判断可•方是否为定值？若是.求出定值：后不是，说明理由.

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3.以高等几何中极点、极线为背景

（1）极点与极线的定义

如图，P为不在圆锥曲线上的点，过点户

引两条割线一次交圆锥曲线于四点E、F、G

H,连接/，力、FG交于N,连接笈G、IH交

于M,则MV为点尸对应的极线.。

若尸为圆锥曲线上的点，过点P的切线

即为极线。

由上作图可知，同理/必为点N对应的

极线，PN为点”对应极线，MNP称为自极

三点形。若连接交圆锥曲线于Z、8两点，则/X、/>8恰为圆锥

曲线的两条切线。任何一点关于一般的代数曲线都有一条极线，每一

条直线都有•个极点.标准方程下圆锥曲线极

点与相应极线的方程与有关性质.

命题1椭圆［+仁=1,则点P（x。,打）对应的极线方程为：

aD

芷+配_1.

a2b2~,

双曲线匚-《=1,则点P（x/。）对应的极线方程为：

卫.迎=1.

a2b2'

抛物线=2py,则点P（Xo,y°）对应的极线方程为：

x（）x-p（y+汽）=0;

抛物线/=2px,则点P（x°,y。）对应的极线方程为：

VoN-p（x+x。）=0.

命题2若圆锥曲线中极线共点于P,则这些极线相

应的极点共线于点P相应的极线。反之亦然。称为极

点与相应极线对偶性。（配极原则）

命题3：已知点P和直线/是圆锥曲线。的•对极点与极线.

⑴若极点P在曲线上，则极线/与曲线。相切于点P;

（2）（2）若极点P在曲线。内，则极线/与曲线。相离；

（3）（3）若极点P在曲线。外，则极线/与曲线。相交.

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命题4：（1）圆锥曲线的过定点（极点）弦的端点之切线交点

的轨迹为直线（极线）；

（2）圆锥曲线过定点（极点）的弦AB的中点向极线作

垂线交点为尸，则与圆锥曲线相切.

反之亦然.

（3）圆锥曲线极线上的任意一点M与极点P的连线

\PA\\MA\

交圆锥曲线于43两点，则.用=।.训；

（4）过圆锥曲线特定直线（极线）上任意一点引圆锥

曲线的切线，则切点弦直线恒过定点（极点）.

上述证明可参考《高等几何》.

《2020年（新课标D）已知4B分别为椭圆E：J+『=l（a>D的左、右顶

点，G为E的上顶点，JGGB=8,P为直线E上的动点，物与E的另一交点为C,

所与E的另一交点为D.

焦点为乃（-隹,0）.

（I）求椭圆c的方程；

（II）当过点P（4.1）的动直线/与椭圆C相交于不同的点

A、B时，在线段AB上取点Q,满足|万卜瓯|=|而||可，

证明：点Q总在某定直线上.

2020年北京卷第20题

已知椭圆。：、+£=1过点“（-2,-1）,且a=2人

6rb-

（1）求椭圆。的方程.北京卷多年

（2）过点8（-4,0）的直线/交椭圆，于点M,N,直线以此为背景

MA,AU分别交直线x=-4于点,Q.求索号的值.

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2013年广东卷理科第20题

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(0,c)(c>0)到直线/:x-y-2=0的距离为节•.

设P为直线I的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.

(I)求抛物线C的方程：

(II)当点P(x°,%)为直线/上的定点时，求直线力8的方程：

.(III)当点P在直线/上移动时，求卜尸|忸尸|的最小值.

2019年全国卷理科21题

已知曲线C：尸?，。为直线尸-g上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为人B.

(1)证明：直线儿?过定点：

(2)若以£(0,：)为圆心的圆与直线4?相切，且切点为线段18的中点，求四边形

的面积._____________________

4高考题改编

2018年今:国理科1卷19题源自2015年北京卷或2015年全国卷

2018年全国理科1卷19题

设椭圆。：/+/=1的右焦点为尸，过F的宜线/与C交于力，B两点，点”的坐标为(2,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线加/的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：NOMA=2OMB.

2015年北京市高考数学试卷(理科)19题

已知椭圆C：二+}=1<a>b>0)的离心率为它.点P(0,1>和点A(m.n)<m*0>都在椭网CI.."线PA

a26*2

轴于点M.

(I)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m,n表示)；

<II)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，M线PB交x轴干点N,问：y轴上是否存在点Q,使得NOQM-NON

若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由.

2015年全国理科1卷20题

2

在直角坐标系xoy中，曲线C：y=工与直线'=履+。(a>0)交与M,N两点，

4

(1)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(II)y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有N0PM=N0PN?说明理由.

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高考真题训练

一、单选题

1.（2022•全国•高考真题（理））双曲线C的两个焦点为耳，鸟，以C的实轴为直径的圆记

3

为D,过耳作。的切线与C的两支交于“，N两点，且cos/耳则C的离心率为

（）

A.BB.-C.—D.—

2222

2.（2022•全国•高考真题（理））椭圆+£=的左顶点为N