国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案

国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案本文介绍了数学在历史上的发展和重要成就。巴比伦人最早将数学应用于商业，而古埃及数学的最大成就则是四棱锥台体积公式的发现。古希腊的欧几里得创作了《几何原本》，成为近代西方数学的主要源泉。中国的数学发展也有着悠久的历史，至少在六七千年前已经形成了一些几何与数目概念。同时，文章还介绍了一些数学概念和定理，如《九章算术》和欧几里得的平行公设等。这些都是数学领域的重要里程碑，对后世的数学研究产生了深远的影响。《几何原本》的理论体系存在缺陷，例如对直线的定义使用了一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这种定义无法在逻辑推理中发挥作用。《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成书于公元前一世纪左右。全书采用问题形式，与生产、生活实践密切相关，内容十分丰富。《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以开放的、算法化的、模型化的特点为特点，不仅影响了我国数学成就的建立，而且在培养和造就我国数学家方面起到了促进作用。然而，它也有不容忽视的缺点，例如没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理已知数据，然后依据问题的条件列出用已知数据表示所求数量的算式，最后通过四则运算求得算式的结果。数学思想方法经历了几次重要突破，例如从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定数学到随机数学等。代数形成解决了具有复杂数量关系的问题，变量数学创立勾勒了运动与变化的事物与现象，随机数学出现揭示了随机现象背后所蕴涵的规律。代数不仅讨论正整数、正分数和零，而且讨论负数、虚数和复数。其特点是用字母符号来表示各种数。代数学形成经历了文字代数、简写代数和符号代数等漫长过程。初等数学的研究对象是不变的数量和固定的图形，它们可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。而变量数学产生的数学基础应该是解析几何和微积分，标志是使用符号表示变量。罗素悖论引发了数学的第三次危机。一个通俗的解释是理发师悖论：在某个城市中有一位自称技艺高超的理发师，他只为那些不给自己刮脸的人刮脸。那么问题来了：如果这位理发师的胡子长了，他能给自己刮脸吗？为了避免数学再次出现类似的问题，数学家对集合论的严格性以及数学中的概念构成法和数学论证方法进行了逻辑和哲学上的思考。这样做的目的是为整个数学奠定一个坚实的基础。随着对数学基础的深入研究，数学界产生了三大学派：逻辑主义、直觉主义和形式主义。哥德尔不完备性定理是哥德尔在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上的重要里程碑。它证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。它告诉我们：真和可证是两个概念，可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。因此，数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构：代数结构、序结构和拓扑结构。然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构。可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。例如，菱形→等边四边形→平行四边形→四边形，这是一个强抽象过程。人们在思维中，抽象过程是通过一系列的比较、区分、舍弃和收括的思维操作实现的。弱抽象又称概念扩张式抽象，是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。这时，原型成为新的概念或理论的特例。强抽象指的是通过把一些新特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象过程。概括是一种思维方法，即将同类事物的共同属性联系起来，或将个别事物的某些属性推广到同类事物中。这个过程包括比较、区分、扩张和分析等主要环节。抽象是一种思维过程，即舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性，得到新概念。抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。概括是从认识个别事物的本质属性开始，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。例如，等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→三角形，这是一个弱抽象的过程。归纳法是一种推理方法，通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论。归纳猜想的思维步骤为特例—归纳—猜想。不完全归纳法是根据对某类事物中的部分对象的分析，作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。完全归纳法是根据对某类事物中的每一对象的情况分析，进而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。猜想就是根据事物的现象，对其本质属性进行推测，或者是根据一类事物中的个别事物的属性对该类事物的共同属性进行推测。归纳猜想法是人们运用归纳法得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断。类比猜想是人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断。反驳反例的理论依据是形式逻辑的矛盾律，即用特殊否定一般的思维形式。数学猜想具有科学性和推测性两个明显的特点。演绎推理是一种推理形式，以一个个别的或特殊的一般性判断（或再加上一个特殊的判断）为前提，推出一个作为结论的判断。数学公理发展有三个阶段：欧氏空间、各种几何空间、一般意义上的空间。古希腊欧几里得的《几何原本》是建立的第一个公理体系，其公理以人们的直观经验为基础，反映为具体的公理。因此，人们认为公理是自明的，所以称其为具体的公理体系。一个三段论的例子是：偶数能被2整除，α是偶数，所以α能被2整除。另一个三段论的例子是：因为3258的各位数字之和能被3整除，所以3258能被3整除。省略的大前提是各位数字之和能被3整除的数都能被3整除。演绎推理的根本特点是前提为真，结论必真。化归方法是指数学家们把待解决的问题通过某种转化过程，归结到已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。化归方法包括三个要素：化归对象、化归目标和化归途径。在化归过程中应遵循以下几个原则：简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。化归的途径包括分解、组合、恒等变形。计算是指根据已知数量通过数学方法求得未知数。计算是一种重要的数学方法，任何一门科学所采用的定量分析都离不开计算。算术与代数的解题方法基本思想的区别：算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。算法是由一组有限规则组成的一个过程。一个算法实质上就是解决一类问题的一个处方。在计算机时代，计算方法已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。概率思想在古代的游戏与赌博活动中就有雏形，但是作为一门学科则产生于17世纪中期前后，它的起源与一个所谓的点数问题有关。算法大致可以分为多项式算法和指数型算法。算法具有下列特点：有限性、确定性、有效性。学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段：潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段。代数解题方法的基本思想是，首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。计算工具的发展经历了机械式计算工具如手摇计算机、对数计算尺，电动式计算机，机电式计算机，以及集成电路计算机、大规模集成电路计算机等几个主要阶段。数学建模是指根据具体问题，在一定假设下将问题化简，建立起适合该问题的数学模型，求出模型的解，并对其进行检验的全过程。根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、初步理解阶段和简单应用阶段等三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。数学模型可以分为三类：概念型数学模型，方法型数学模型，结构型数学模型。数学模型具有抽象性、准确性、演绎性、预测性特性。数学学科的新发展——分形几何，其分形的思想就是将某一对象的细微部分放大后，其结构与原先一样。英国的牛顿和德国的莱布尼兹分别以物理学和几何学为背景用无穷小量方法建立了微积分。数学建模的基本步骤：弄清实际问题、化简问题、建模、求解、检验。在建立数学模型的过程中，数学抽象这一环节是很重要的。已知某物体在运动过程中，其路程函数S(t)是二次函数，当时间t=0、1、2时，S(t)的值分别是0、3、8。求路程函数为S(t)=t^2+2t。鸽笼原理可叙述为：若n+1只鸽子飞进n个笼子里，则至少有一个笼子里至少飞进2只鸽子。所谓数形结合方法是指在研究数学问题时，由数思形、见形思数，数形结合考虑问题的一种思想方法。数学思想方法，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想方法是对数学事实和理论经过概括后产生的本质认识。一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，进行不重复、无遗漏的划分。所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。我国长期以来一直在应试教育的轨道上运行，这导致了在思想观念、政策导向、管理体制以及教育内容和方法等方面形成了一整套固定的模式。因此，实现从应试教育向素质教育的转变并不是一件轻而易举的事情。随着社会的进步和发展，以及教育体制的不断改进，人们开始认识到素质教育的重要性。素质教育旨在谋求学生身心发展，承认差异，重视个性，确认学生主体，根据社会需要，给学生的素质发展以价值导向与限定，同时又重知识，又不唯知识，以提高民族素质为最终目的。素质教育是数学教学改革的主旋律。在实施素质教育的过程中，数学教学改革应该注重以下几个方面。首先，应该重视非智力因素，培养学生的个性品质。非智力因素可以转化为学习动机，成为学生学习的内驱力，并对学生的学习起到调节、强化作用。其次，应该注重学法指导，培养学习能力。学法指导是现代教学发展趋势之一，学法即学习方法，是学生为了完成学习任务，在学习过程中所采取的学习程序、学习途径、学习手段和学习技能等等。作为数学教师，任务不仅仅是教数学，更重要的是指导学生去学数学。第三，应该注重过程教学，发展学生思维。传统教学的弊端之一就是重结论，轻过程，从而使学生的思维能力得不到提高。改革数学教学，应该放在引导学生通过自己的思维活动，掌握学习方法上。最后，应该注重因材施教，让每一个学生的数学素质都得到发展。实施素质教育的目标是通过科学的教育途径，充分挖掘和发挥人的天赋条件，提高人的各种素质水平，使受教育者得到全面、充分和谐发展的教育。在我的多年教学经验中，我认为以下几个方面是实现这一目标的关键。首先，教学应以学生为主体，引导学生参与教学过程。学生是教学过程的主体，教师应该起到组织和引导的作用。我们应该注重师生互动，以学生为主体，引导学生动起来并主动参与到课堂教学过程中，从而激发其学习情感、提高学习兴趣。其次，注重自主探究，让学生体验如何再创造。教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。在日常的学习过程中，教师要引导学生主动参与学习过程，在参与过程中通过思考体验来锻炼思维能力，在思考中创造、培养、发展创新思维和实践能力。第三，教师要联系生活，重视从学生的生活经验和已有知识出发学习和理解数学。教师应该创造一个愉悦的学习氛围以减少学生对学习数学的畏惧感、枯燥感，从而激起学生强烈的求知欲望。同时，教师还应该善于引导学生把所学的数学知识和方法应用于生活实际中，使学生既加深对知识的理解，又体验到生活中处处有数学，体验到学数学的价值所在。最后，加强学习方法的指导。学习方法的指导不能仅仅停留在给学生介绍几种学习方法的理论上，而应该站在实施素质教育的高度，认真开展、落到实处。教师还必须传授学生一些基本的学习方法，比如教学生如何预习、如何听课、如何做作业。只有学会这些方法，才能在学习过程中有目的的学习，有的放矢，提高学习效率，掌握学习方法，学会解题技巧。可以根据学生的实际情况，分层次配题，充分发挥习题的功能，培养学生的能力和知识。例如，在教学“实际问题与二元一次方程组”时，应该采用探究学习的方式，让学生在探究过程中积极参与、克服困难，体验探究的过程。在教学过程中，教师应该鼓励学生探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，不要过早给出答案，让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力。作业案例设计要求学生结合自己的工作，设计一则小学数学教学案例，并对其进行方法提炼和再应用。案例分析必须包括案例描述、方法探究、方法再应用和教学小结。这样的教学案例可以更好地满足学生的需求，提高教学效果。下面是一份《认识物体和图形》教案及评析，该教案包括教学目标、教学过程、教学方法和教学评析。通过这份教案，可以更好地指导学生认识物体和图形，提高他们的数学能力和知识水平。［评：采用小组合作学习的方式，让学生在活动中感知物体的形状，并进行分类，培养了学生的动手操作能力和观察能力，初步建立了空间观念。］2.认识物体的特征师：现在我们来看看这些物体的特征，你们能说出来吗？生：长方体有六个面，正方体也有六个面，圆柱有一个底面和一个侧面，球没有面。师：非常好！现在我们来看看这些物体的图形。［评：通过引导学生观察物体的特征，让学生初步认识长方体、正方体、圆柱和球的实物和图形，培养了学生的观察能力和想象能力。］三、巩固练习，深化认识1.图形配对师：现在，我们来玩一个游戏，看看谁能把这些图形配对成功。［评：采用游戏形式，让学生巩固所学知识，深化对物体和图形的认识。］2.物体分类师：现在，我们来进行一次物体分类的活动，看看谁能把这些物体分好类。［评：通过物体分类的活动，让学生进一步巩固所学知识，培养了学生的合作、探究和想象、创新的意识。］四、评价方式改变，学生民主参与师：现在，我们来评价一下这次活动，你们觉得哪个小组做得最好？为什么？［评：通过改变评价方式，让学生参与到评价过程中，转变了学生头脑中“师严”的看法，培养了学生的民主意识。］结语：本节课通过采用小组合作学习、游戏形式、物体分类等多种教学方法，让学生在活动中感知物体的形状和特征，初步建立了空间观念，深化了对物体和图形的认识，培养了学生的合作、探究和想象、创新的意识，发展了学生的空间观念和想象能力。同时，通过改变评价方式，让学生参与到评价过程中，培养了学生的民主意识。学生汇报：我们把肥皂、药盒、牛奶盒、小积木放在一起；把魔方、骰子、化妆品盒子放在一起；把茶叶盒、易拉罐、小木棒放在一起；还把乒乓球、皮球、玻璃珠放在一起。老师：这个小组分得真好，他们把相同的物品放在一起！其他小组也是这样分的吗？学生：是的。老师：现在我们来看看小叮铛是怎样分的。(展示课件)——大家和他分得一样吗？评：这是一个大胆的尝试，让学生按照自己的标准进行分组，然后在学生完成分组的基础上，提出质疑，既发散了学生的思维，又使学生对这几种形状的物品的外观有了初步的认识。调动了学生的多种感官能力，使学生在实践中学习数学。2.揭示概念(展示课件)小朋友们，为了能够区分它们，谁来给它们取个好听又好记的名字呢？老师提问：你们能为这些物品取个名字吗？学生：长方体。老师：为什么这么取名？(边问边板书)学生进行解释。老师依次展示每种物品，让学生为其取名，老师进行板书。老师拿起一个球，问：这是什么？学生：球！老师：(1)、请从桌上拿一个球(放进盒里)；(2)、请你高高举起一个正方体；(3)、请你拿起一个圆柱；(4)、请你拿出一个长方体。3.初步感知，形成表象大家都拿对了，现在请小朋友们认真看一看手中的长方体，再摸一摸，把你看到的、摸到的长方体的样子告诉小组同学。学生进行汇报。老师：谁来大声地告诉大家，你现在觉得长方体是什么样的？你是怎样感觉到的？学生：长方体是长长方方的——我是看出来的；长方体有平平的面——我是摸出来的；老师：你是怎样摸的？可以给大家看一下吗？老师引导学生数一数长方体有几个平平的面，指名学生进行数数。学生：长方体有6个平平的面。老师：现在我们已经了解了长方体的样子，请小朋友们再仔细看一看，摸一摸正方体、圆柱和球，把你感觉到的告诉小组朋友。(学生边摸边说)学生进行汇报。老师：谁来说一