2011-2020年高考数学真题分类汇编 专题19 数列的求和问题（教师版含解析）

专题19数列的求和问题十年大数据*全景展示年份题号考点考查内容2011理17拆项消去求和法等比数列的通项公式、性质、等差数列的前项和公式及拆项相消求和法，运算求解能力2012理16公式法与分组求和法灵活运用数列知识求数列问题能力2013卷2理16数列综合问题等差数列的前项和公式及数列最值问题，函数与方程思想卷1文17拆项消去求和法等差数列的通项公式、前项和公式及列项求和法，方程思想卷1理12数列综合问题递推数列、数列单调性、余弦定理、基本不等式应用等基础知识，综合利用数学知识分析解决问题能力2014卷1文17错位相减法等差数列的通项公式及错位相减法，方程思想、转化与化归思想2015卷1理17拆项消去求和法利用数列利用前项和与关系求通项公式、等差数列定义及通项公式、利用拆项消去法数列求和2016卷3理12数列综合问题对新概念的理解和应用新定义列出满足条件的数列卷1理17公式法与分组求和法等差数列通项公式与前项和公式、对新概念的理解与应用，分组求和法2017卷3文17拆项消去求和法利用数列利用前项和与关系求通项公式及利用拆项消去法数列求和卷2理15拆项消去求和法等差数列基本量的运算等差数列通项公式、前项和公式及拆项消去求和法，方程思想卷1理12数列综合问题等比数列的前项和公式、等差数列前项和公式，逻辑推理能力2020卷2文12等差数列等差数列通项公式、前项和公式卷3理17数列综合问题数学归纳法，错位相减法求数列的和文17等差数列与等比数列等比数列通项公式，等差数列前项和公式大数据分析*预测高考考点出现频率2021年预测考点61公式法与分组求和法1/132021年高考数列求和部分仍将重点拆线消去法和错位相减法及与不等式恒成立等相关的数列综合问题，求和问题多为解答题第二问，难度为中档，数列综合问题为小题压轴题，为难题考点62裂项相消法求和5/13考点63错位相减法2/13考点64并项法与倒序求和法1/13考点65数列综合问题4/13十年试题分类*探求规律考点61公式法与分组求和法1．(2020全国Ⅱ文14)记为等差数列的前项和，若，则．【答案】【思路导引】∵是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案．【解析】是等差数列，且．设等差数列的公差，根据等差数列通项公式：，可得，即：，整理可得：，解得：．根据等差数列前项和公式：，可得：，．故答案为：．2．(2020浙江11)已知数列满足，则．【答案】10【思路导引】根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．【解析】由题意可知，，，，故答案为：10．3．(2020山东14)将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为．【答案】【思路导引】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：．4．(2012新课标，理16)数列{}满足，则{}的前60项和为．【答案】1830【解析】由题设知，=1，①=3②=5③=7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，，……，∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，∴{}的前60项和为=1830．5．(2020山东18)已知公比大于的等比数列满足，．(1)求的通项公式；(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)．【思路导引】(1)利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式；(2)通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和．【解析】(1)由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得，所以，所以数列的通项公式为．(2)由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个．所以．6．(2016•新课标Ⅱ，理17)为等差数列的前项和，且，，记，其中表示不超过的最大整数，如，．(Ⅰ)求，，；(Ⅱ)求数列的前1000项和．【解析】(Ⅰ)为等差数列的前项和，且，，．可得，则公差．，，则，，．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，．，．数列的前1000项和为：．7．(2015湖南)设数列的前项和为，已知，且．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求．【解析】(Ⅰ)由条件，对任意，有，因而对任意，有，两式相减，得，即，又，所以，故对一切，．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，于是．从而，综上所述，8．(2013安徽)设数列满足，，且对任意，函数，满足(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若，求数列的前项和．【解析】(Ⅰ)由，所以，∴是等差数列．而，，，，(Ⅱ)考点62裂项相消法求和1．(2020浙江20)已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．【答案】(I)；(II)证明见解析【思路导引】(I)根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式．(II)利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立．【解析】(I)依题意，而，即，由于，∴解得，∴．∴，故，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．∴．∴，故()．∴．(II)依题意设，由于，∴，故．∴．由于，∴，∴，即．2．(2017•新课标Ⅱ，理15)等差数列的前项和为，，，则．【答案】【解析】等差数列的前项和为，，，，可得，数列的首项为1，公差为1，∴，∴，则．3．(2017•新课标Ⅲ，文17)设数列满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【解析】(1)数列满足．时，．．．当时，，上式也成立．．(2)．数列的前项和．4．(2015新课标Ⅰ，理17)为数列{}的前n项和．已知＞0，=QUOTE．(Ⅰ)求{}的通项公式：(Ⅱ)设QUOTE,求数列QUOTE}的前n项和【解析】(Ⅰ)当时，，因为，所以=3，当时，==，即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，=，所以数列{}前n项和为==．5．(2013新课标Ⅰ，文17)已知等差数列｛｝的前n项和满足=0，=-5．(Ⅰ)求｛｝的通项公式；(Ⅱ)求数列{}的前n项和．【解析】(Ⅰ)由=0，=-5得，，，解得=1，=-1，∴=；(Ⅱ)由已知=，∴==，∴数列{}的前n项和为===．6．(2011新课标，理17)等比数列{}的各项均为整数，且=1，=，(Ⅰ)求数列{}的通项公式；(Ⅱ)设=，求数列{}的前项和．【解析】(Ⅰ)设数列{}的公比为，由=得=，所以=，由条件可知＞0，故=．由=1得=1，所以=，故数列{}的通项公式为=．(Ⅱ)===故==，==所以数列{}的前项和为．7．(2016年天津高考)已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等差中项．(Ⅰ)设，求证：数列是等差数列；(Ⅱ)设，求证：【解析】(Ⅰ)由题意得，有，因此，所以数列是等差数列．(Ⅱ) ．所以．8．(2011安徽)在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设求数列的前项和．【解析】(Ⅰ)设构成等比数列，其中则①②①×②并利用(Ⅱ)由题意和(Ⅰ)中计算结果，知另一方面，利用得所以9．(2014山东)已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)令=求数列的前项和．【解析】(Ⅰ)解得(Ⅱ)，当为偶数时．10．(2013广东)设各项均为正数的数列的前项和为，满足，，且构成等比数列．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)证明：对一切正整数，有．【解析】(Ⅰ)当时，，(Ⅱ)当时，，,当时，是公差的等差数列．构成等比数列，，，解得,由(Ⅰ)可知，是首项,公差的等差数列．数列的通项公式为．(Ⅲ)考点63错位相减法1．(2020全国Ⅲ理17)设等差数列满足．(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；(2)求数列的前项和．【答案】(1)；(2)．【思路导引】(1)利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；(2)由错位相减法求解即可．【解析】(1)由，，，，…猜想的通项公式为．证明如下：(数学归纳法)当时，显然成立；(1)假设时，即成立；其中，由(2)故假设成立，综上(1)(2)，∴(2)解法一：令，则前项和(1)由(1)两边同乘以2得：(2)由(1)(2)的，化简得．解法二：由(1)可知，，①，②由①②得：，即．2．(2014新课标I，文17)已知{}是递增的等差数列，，是方程的根。(=1\*ROMANI)求{}的通项公式；(=2\*ROMANII)求数列{}的前项和．【解析】(=1\*ROMANI)设数列{}的公差为，方程两根为2,3，由题得=2，=3，在-=2，故=，∴=，∴数列{}的通项公式为=．……6分(=2\*ROMANII)设数列{}的前项和为，由(=1\*ROMANI)知，=，则=，①=，②①-②得===，∴=．……12分3．(2015浙江)已知数列和满足，，，，．(Ⅰ)求与；(Ⅱ)记数列的前项和为，求．【解析】(Ⅰ)由，，得．当时，故．当时，整理得所以．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，故，，所以．4．(2013湖南)设为数列{}的前项和，已知，2，N(Ⅰ)求，，并求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列｛｝的前项和．【解析】(Ⅰ)-(Ⅱ)上式左右错位相减：。5．(2016年山东高考)已知数列的前n项和，是等差数列，且(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)令求数列的前n项和Tn．【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和，所以，当时，，又对也成立，所以．又因为是等差数列，设公差为，则．当时，；当时，，解得，所以数列的通项公式为．(Ⅱ)由，于是，两边同乘以２，得，两式相减，得．6．(2015湖北)设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)当时，记，求数列的前项和．【解析】(Ⅰ)由题意有，，即．解得或，故或．(Ⅱ)由，知，，故，于是，①．②①-②可得，故．7．(2013山东)设等差数列的前项和为，且，．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和,且(λ为常数)，令()．求数列的前项和．【解析】(Ⅰ)设等差数列的首项为，公差为，由，得，解得，，．因此．(Ⅱ)由题意知：所以时，故，所以，则两式相减得整理得，所以数列的前项和．8．(2017山东)已知是各项均为正数的等比数列，且，．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系中，依次连接点，，…，得到折线…，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积．【解析】(Ⅰ)设数列的公比为，由已知．由题意得，所以，因为,所以，因此数列的通项公式为(Ⅱ)过…，向轴作垂线，垂足分别为…，,由(Ⅰ)得记梯形的面积为．由题意，所以…+=…+①又…+②①②得=所以9．(2017天津)已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，．(Ⅰ)求和的通项公式；(Ⅱ)求数列的前n项和．【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以，．由，可得①．由，可得②，联立①②，解得，，由此可得．所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．(Ⅱ)设数列的前项和为，由，，有，故，，上述两式相减，得得．所以，数列的前项和为．10．(2015湖北)设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)当时，记，求数列的前n项和．【解析】(Ⅰ)由题意有，，即．解得或，故或．(Ⅱ)由，知，，故，于是，①．②①-②可得，故．11．(2014四川)设等差数列的公差为，点在函数的图象上()．(Ⅰ)若，点在函数的图象上，求数列的前项和；(Ⅱ)若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和．【解析】(Ⅰ)点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以．因为点在函数的图象上，所以，所以．又，所以．(Ⅱ)由，函数的图象在点处的切线方程为所以切线在轴上的截距为，从而，故从而，，所以故．12．(2012浙江)已知数列的前项和为，且=，n∈N﹡，数列满足，．(Ⅰ)求；(Ⅱ)求数列的前项和．【解析】(Ⅰ)由=，得当=1时，；当2时，，．由，得，．(Ⅱ)由(1)知，所以，，，．考点64并项法与倒序求和法1．(2011安徽)若数列的通项公式是,则=A．15B．12C．－12D．－15【答案】A【解析】．考点65数列综合问题1．(2017•新课标Ⅰ，理12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是A．440 B．330 C．220 D．110【解析】设该数列为，设，，则，由题意可设数列的前项和为，数列的前项和为，则，可知当为时，数列的前项和为数列的前项和，即为，容易得到时，，项，由，，可知，故项符合题意．项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意．项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意．项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意．故选．2．(2016•新课标Ⅲ，理12)定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，，，，中0的个数不少于1的个数，若，则不同的“规范01数列”共有A．18个 B．16个 C．14个 D．12个【答案】C【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶数项项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个，故选．3．(2013新课标Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝eq\f(cn＋an,2)，cn＋1＝eq\f(bn＋an,2)，则( )A．{Sn}为递减数列 B。{Sn}为递增数列QUOTE C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【答案】B【解析】∵=，∴=，∵=，=，∴+=，∴+-=，∵，∴=，由余弦定理得===，∴==，∴==，∵===＞(∵)，∴＞，故为递增数列，故选B．4．(2019浙江10)设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b，,则A．当b=时，a10＞10 B．当b=时，a10＞10 C．当b=-2时，a10＞10 D．当b=-4时，a10＞10【答案】A【解析】对于B，令QUOTEx2-λ+14=0，得QUOTEλ=12，

取QUOTEa1=12，所以QUOTE∴a2=12,…,an=12<10，

所以QUOTE∴当QUOTEb=14时，QUOTEa10<10，故B错误；

对于C，令QUOTEx2-λ-2=0，得QUOTEλ=2或QUOTEλ=-1，

取QUOTEa1=2，所以QUOTE∴a2=2，所以QUOTE∴当QUOTEb=-2时，QUOTEa10<10，故C错误；

对于D，令QUOTEx2-λ-4=0，得QUOTEλ=1±172，取QUOTEa1=1+172，所以QUOTE∴a2=1+172，QUOTE……，QUOTEan=1+172<10，

所以当QUOTEb=-4时，QUOTEa10<10，故D错误；

对于A，QUOTEa2=a2+12≥12，QUOTEa3=(a2+12)2+12≥34，QUOTEa4=(a4+a2+34)2+12≥916+12=1716>1，

QUOTEan+1-an>0，QUOTE{an}递增，当QUOTEn≥4时，QUOTEan+1an=an+12an>1+12=32，所以QUOTE∴a5a4>32a4a5>32⋅⋅⋅a10a9>32，所以QUOTE∴a10a4>(32)6，所以QUOTE∴a10>72964>10.故A正确．故选A．5．(2015湖北)设，．若p：成等比数列；q：，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；对命题，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件．6．(2020全国Ⅲ文17)设等比数列满足．(1)求的通项公式；(2)设为数列的前项和．若，求．【答案】(1)；(2)．【思路导引】(1)设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；(2)由(1)求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果．【解析】(1)设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以．(2)令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以．7(2014浙江)设函数，，，，记，则A．B．C．D．【答案】B【解析】∵在上单调递增，可得，，…，，∴=∵在上单调递增，在单调递减∴，…，，，，…，∴===∵在，上单调递增，在，上单调递减，可得因此．8．(2013新课标Ⅱ，理16)等差数列{}前n项和为，=0，=25，则的最小值为．【答案】-49【解析】由题知，，解得，∴=，∴=，设=，∴==，当0≤≤6时，＜0，当≥7时，＞0，=-49＞=－24，故的最小值为-49．9.(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为．【答案】27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，=441+62=503<，不符合题意；当时，=484+62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．10．(2015陕西)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】5【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为．11．(2019江苏20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”．(1)已知等比数列{an}满足：，求证：数列{an}为“M－数列”；(2)已知数列{bn}满足：，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0．由，得，解得．因此数列为“M—数列”．(2)①因为，所以．由，得，则．由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{bn}的通项公式为bn=n．②由①知，bk=k，．因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0．因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m．当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有．设f(x)=，则．令，得x=e．列表如下：xe(e，+∞)+0–f(x)极大值因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6．综上，所求m的最大值为5．12．(2014广东)设各项均为正数的数列的前项和为，且满足．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)证明：对一切正整数，有【解析】(Ⅰ)，所以(Ⅱ)(Ⅲ)当时，13．(2019江苏20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”．(1)已知等比数列{an}满足：，求证：数列{an}为“M－数列”；(2)已知数列{bn}满足：，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0．由，得，解得．因此数列为“M—数列”．(2)①因为，所以．由，得，则．由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{bn}的通项公式为bn=n．②由①知，bk=k，．因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0．因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m．当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有．设f(x)=，则．令，得x=e．列表如下：xe(e，+∞)+0–f(x)极大值因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6．综上，所求m的最大值为5．14．(2018江苏)设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．(1)设，若对均成立，求的取值范围；(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围(用表示)．【解析】(1)由条件知：,．因为对=1，2，3，4均成立，即对=1，2，3，4均成立，即11，13，35，79，得．因此，的取值范围为．(2)由条件知：,．若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，即(=2，3，···，+1)，即当时，满足．因为，则，从而，，对均成立．因此，取=0时，对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值()．①当时，，当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为．②设，当时，，所以单调递减，从而．当时，，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为．因此，的取值范围为．15．(2016年四川高考)已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，．(I)若成等差数列，求的通项公式；(Ⅱ)设双曲线的离心率为，且，证明：．【解析】(Ⅰ)由已知，两式相减得到．又由得到，故对所有都成立．所以