2022-2023学年河南省南阳市唐河县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.函数中，自变量的取值范围是()

A.B.C.D.

2.据报道，可见光的平均波长约为纳米，已知纳米米，则纳米用科学记数法表示为()

A.米B.米C.米D.米

3.一组数据：，，，，若添加一个数据，则下列统计量中发生变化的是()

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

4.如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为()

A.

B.

C.

D.

5.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴正半轴上，则另一个顶点的坐标为()

A.B.C.D.

6.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是()

A.B.C.D.

7.如图，等边三角形是一块周长为的草坪，点是草坪内的任意一点，过点有三条小路，，，且满足，，，则三条小路的总长度为()

A.B.C.D.

8.若一次函数的自变量的取值范围是时，函数值的范围是，则此一次函数的解析式为()

A.B.

C.或D.或

9.如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交边于点，则点的坐标为()

A.B.C.D.

10.如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是()

A.水温从加热到，需要

B.水温下降过程中，与的函数关系式是

C.上午点接通电源，可以保证当天：能喝到不低于的水

D.在一个加热周期内水温不低于的时间为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.请添加一个条件，使得菱形为正方形，则此条件可以为______．

12.某企业决定招聘广告策划人员一人，某应聘者三项素质测试的成绩单位：分如下：

测试项目创新能力综合知识语言表达

测试成绩

如果将创新能力、综合知识和语言表达三项素质测试成绩按：：的比确定应聘者的最终成绩，则该应聘者的最终成绩为______分．

13.如图，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为如果关于的函数图象如图所示，则的面积是．

14.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，函数的图象经过菱形的顶点，若菱形的面积为，则的值为______．

15.如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则点到边的距离为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

化简：；

解方程：．

17.本小题分

八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：

将条形统计图补充完整；

被调查的学生周末阅读时间众数是______小时，中位数是______小时；

计算被调查学生阅读时间的平均数．

18.本小题分

如图，在菱形中，对角线，交于点，的延长线于点，交的延长线于点．

求证：四边形为矩形；

若，，求菱形的面积．

19.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，函数图象过点和矩形的顶点．

求反比例函数的表达式；

连结、，若的面积为，求直线的表达式．

20.本小题分

如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接．

尺规作图：在的右侧作等边三角形保留作图痕迹，不写作法；

在的条件下，且点在边上，，连接，，求证：．

21.本小题分

某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下表：

品种进价元斤售价元斤

甲

乙

已知乙种水果的进价比甲种水果高元斤，水果经销店花费元购进甲种水果的重量和花费元购进乙种水果的重量一样．

求的值；

水果经销店在“五一”这天购进两种水果共斤，其中甲种水果不少于斤且不超过斤，在当天的促销活动中，店家将甲种水果降价元斤进行销售，结果两种水果很快卖完．设销售甲种水果斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于元，求的最大值．

22.本小题分

【感知】如图，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且易证≌，进而证得．

【应用】如图，在正方形中，点、分别在边、上，且．

求证：．

【拓展】如图，在四边形中，，，点、分别在边、上，且若，，则四边形的周长为______．

23.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．

求一次函数的解析式；

若点在轴上，且满足，求点的坐标；

在坐标平面内，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据分式有意义的条件，得，

解得，

故选A．

根据分式有意义的条件，列不等式求解．

本题考查了函数自变量的取值范围．涉及的知识点为：分式有意义，分母不为．

2.【答案】

【解析】解：纳米米

米

米．

故选：．

绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

3.【答案】

【解析】解：原数据的、、、的平均数为，中位数为，众数为，方差为；

新数据、、、、的平均数为，中位数为，众数为，方差为；

添加一个数据，方差发生变化，

故选：．

依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．

本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：把代入得：，则的坐标是．

不等式即，

根据图象，得：不等式的解集是：．

故选：．

首先求得的坐标，不等式即，根据图象即可直接求得解集．

本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．

5.【答案】

【解析】解：连接交于，如图所示：

四边形是菱形，顶点在轴正半轴上，

，，

点的坐标为，

，，

，

点的坐标为，

故选：．

连接交于，由菱形的性质得，，再由点的坐标得，，则，即可得出结论．

本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．

根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．

【解答】

解：点、、在反比例函数的图象上，

，，，

又，

故选：．

7.【答案】

【解析】解：延长交于点，

是等边三角形，

，，

，

，，

，

，，

，

是等边三角形，

，

，

，

是等边三角形，

，

，，

四边形是平行四边形，

，

，

故选：．

延长交于点，根据等边三角形的性质可得，，然后利用平行线的性质证明是等边三角形，是等边三角形，四边形是平行四边形，最后利用等边三角形的判定与平行四边形的判定可得，即可解答．

本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：设一次函数解析式为，

当时，；时，；

代入解析式得：，

解得，，

函数解析式为；

当时，；时，；

代入解析式得，，

解得，

函数解析式为．

故选C．

分两种情况讨论：当时，；时，；当时，；时，；据此利用待定系数法求出一次函数解析式即可．

此题考查了一次函数的性质，根据函数的取值范围和函数值的取值范围确定函数图象上的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式．

9.【答案】

【解析】解：的顶点，，

，，

中，，

由题可得，平分，

，

又，

，

，

，

，

，

故选：．

依据勾股定理即可得到中，，依据，即可得到，进而得出，可得．

本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

10.【答案】

【解析】解：开机加热时每分钟上升，

水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意；

设水温下降过程中，与的函数关系式为，

由题意得，点在反比例函数的图象上，

，

解得：，

水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；

令，则，

，

从开机加热到水温降至需要，即一个循环为，

水温与通电时间的函数关系式为，

上午点到：共分钟，，

当时，，

即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意；

在加热过程中，水温为时，，

解得：，

在降温过程中，水温为时，，

解得：，

，

一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意．

故选：．

根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，与的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到摄氏度所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为摄氏度时的时间，再相减即可判断．

本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．

11.【答案】或

【解析】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：；

根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：；

故添加的条件为：或．

故答案为：或．

根据对角线相等的菱形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；即可得出结论．

本题是一道条件开放性试题，考查了菱形的性质的运用、正方形的判定，解答时熟悉正方形的判定方法是关键．

12.【答案】

【解析】解：该应聘者的最终成绩是：分．

故答案为：．

根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．

此题考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．

13.【答案】

【解析】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变，

函数图象上横轴表示点运动的路程，时，开始不变，说明，时，接着变化，说明，

，，

的面积是：．

故答案为：．

根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据三角形的面积公式得出的面积．

本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出三角形的面积是本题的关键．

14.【答案】

【解析】解：过点作轴，垂足为延长交轴于点．

，，

，

在中，，，

，

点在第四象限，

．

．

故答案为：．

延长交轴于点，利用菱形的面积求出点的纵坐标，根据勾股定理求出长，点的横坐标得出，利用的几何意义可得．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及的几何意义，数形结合是应对这类题目的好方法．

15.【答案】或

【解析】解：分两种情况：

当点在矩形内部时，如图：

点在的垂直平分线上，

；

，

由勾股定理得，

，

此时点到边的距离为；

当点在矩形外部时，如图：

同的方法可得，

，

此时点到边的距离为．

综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，点到边的距离为或；

故答案为：或．

分两种情况讨论：点在矩形内部；点在矩形外部，分别根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解，即可得答案．

本题以折叠问题为背景，主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用；解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．

16.【答案】解：原式

；

，

，

方程两边都乘，得，

解得：，

检验：当时，，

所以是原方程的解，

即原方程的解是．

【解析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后根据分式的减法法则进行计算即可；

方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．

本题考查了分式的混合运算和解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行化简是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．

17.【答案】

【解析】解：本次调查的学生有人，

阅读小时的学生有：人，

补全的条形统计图如图所示，

由补全的条形统计图可知，抽查的学生阅读时间的众数是小时，中位数是小时．

故答案为：；；

所有被调查同学的平均阅读时间为：小时，

即被调查学生阅读时间的平均数为小时．

根据阅读时间小时的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出阅读时间为小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

根据众数，中位数的定义解决问题即可．

根据平均数的定义求解即可．

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、众数，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

18.【答案】证明：四边形是菱形，

，

，

四边形是平行四边形，

，

平行四边形是矩形；

解：四边形是菱形，，，

设，则，

，

在中，

，

解得：，

，

．

【解析】根据矩形的性质先证明四边形是平行四边形，从而可证得四边形是矩形；

首先设，则，然后由勾股定理求得，求出的值，得出，再根据菱形面积计算方法即可求得答案．

此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．

19.【答案】解：反比例函数图象过点，

，

反比例函数的关系式为；

点在反比例函数的图象上，

，

如图，过点作轴，垂足为，

由题意得，，，，，

，

，而，

解得，，

点，

设直线的关系式为，过点，，

，

解得，

直线的关系式为．

【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入可求出的值，确定反比例函数关系式；

根据反比例函数系数的几何意义可得，再由图形中面积之间的关系，列方程求出、的值，确定点的坐标，再利用待定系数法求出直线的关系式即可．

本题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数、反比例函数关系式，掌握待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式是正确解答的前提，确定点的坐标是解决问题的关键．

20.【答案】解：如图，即为所求．

证明：连接．

，都是等边三角形，

，，，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

是等边三角形，

，，

，

四边形是平行四边形，

，

【解析】根据要求作出图形；

证明四边形是平行四边形即可．

本题考查作图复杂作图，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

21.【答案】解：乙种水果的进价比甲种水果高元斤，

．

依题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意．

答：的值为．

设销售甲种水果斤，则销售乙种水果斤，

依题意得：．

，

，

随的增大而增大，

又，，

，

．

答：的最大值为．

【解析】由乙种水果的进价比甲种水果高元斤，可得出，利用数量总价单价，结合花费元购进甲种水果的重量和花费元购进乙种水果的重量一样，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

利用总利润每斤的销售利润销售数量购进数量，即可得出关于的函数关系式，由，可得出，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合及的取值范围，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得