《微积分》教学讲解课件

§9.2二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结§9.2二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分二、1一、利用直角坐标计算二重积分1、积分区域的类型设积分区域D可以用不等式

来表示,其中函数

1(x)、则称D为

X－型区域,

2(x)在区间[a,b]上连续.一、利用直角坐标计算二重积分1、积分区域的类型设积分区域D2则称D为

Y－型区域,类似地,设积分区域D可以用不等式

来表示,其中函数ψ1(y)、ψ2(y)在区间[c,d]上连续.则称D为Y－型区域,类似地,设积分区域D可以用3X－

型区域的特点:穿过区域D内部且平行于y轴的直线与区域D的边界相交不多于两点.Y－

型区域的特点:穿过区域D内部且平行于x轴的直线与区域D的边界相交不多于两点.X－型区域的特点:穿过区域D内部且平行于y轴的直线4下面应用第六章中计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法,来求此二重积分.2、二重积分化为二次积分的公式设函数f(x,y)≥0,则由二重积分的几何意义知,的值等于以D为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积.以积分区域D为

X－型区域为例.下面应用第六章中计算“平行截面面积为已知的5在[a,b]上任意取定一点x0,作平行于yOz面的平面x=x0,则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间[

1(x0),

2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形.在[a,b]上任意取定一点x0,作平行于yOz6∴该截面的面积为一般地,过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为由计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法,得曲顶柱体的体积为∴该截面的面积为一般地,过区间[a,b7就是说,先把x看作常数,把f(x,y)只看作y的函数,并对y计算从

1(x)到

2(x)的定积分;这个体积也就是所求二重积分的值,从而有等式上式右端的积分称为先对y、后对x的二次积分.然后把所得的结果(是x的函数)再对x计算在区间[a,b]上的定积分.这个先对y、后对x的二次积分也常记作这就是把二重积分化为先对y、后对x的二次积分的公式.就是说,先把x看作常数,把f(x,y)只看作8类似地,若积分区域D为Y－型区域,则有上式右端的积分称为先对x、后对y的二次积分,这个积分也常记作这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式.类似地,若积分区域D为Y－型区域,则有上式右端的9说明:

①使用公式(1)必须是X－型域,使用公式(2)必须是Y－型域.

②若积分区域既是X－型区域又是Y－型区域,则有说明:①使用公式(1)必须是X－10

③若积分区域既不是X－型区域又不是Y

－型区域,则必须将其分割成若干个X－型区域或若干个Y

－型区域.如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,可得③若积分区域既不是X－型区域113、交换二次积分次序的步骤为计算方便,可选择积分次序,必要时还可以交换积分次序.①对于给定的二次积分可先根据其积分限画出积分区域D;②根据积分区域D的形状,按新的积分次序确定积分限③写出结果3、交换二次积分次序的步骤为计算方便,可选12解例1改变积分的次序.由所给二次积分知,原二重积分的积分区域D为X－型区域,即若改变该二次积分的次序,则积分区域D变为Y－型区域,即解例1改变积分13解例2改变积分的次序.由所给二次积分知,原二重积分的积分区域D可看作两个X－型区域之和(如图),即若改变该二次积分的次序,则D变为Y－型区域,解例2改变积分由所给二次积分知,原14即即15例3改变积分的次序.解原二重积分的积分区域为若将积分区域D分成D1,D2

及D3三部分,则有例3改变积分解原二重积分的积分区域为16《微积分》PPT教学讲解课件17解例4求,其中D是由抛物线y=x2和x=y2所围成的平面闭区域.

积分区域D如右图所示.由方程组可求得两曲线的交点为(0,0),(1,1),解例4求18解例5计算二重积分,其中D是以(0,0)、(1,1)和(0,1)为顶点的三角形闭区域.积分区域D如右图所示.无法用初等函数表示,∴积分时必须考虑次序,解例5计算二重积分19解例6计算二重积分积分区域D如右图所示.无法用初等函数表示,∴先改变积分次序,解例6计算二重积分积分区域D如右图所示.无法用初等20说明:①计算二重积分时,选择积分次序是比较重要的一步,积分次序选择不当,可能会使计算繁琐,甚至无法计算.一般地,既要考虑积分区域D的形状,又要考虑被积函数f(x,y)的特性.②应遵循“能积分,少分快,计算简”的原则.说明:①计算二重积分时,选择积分次序是比21例7求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.解设两个直圆柱方程为由立体关于坐标平面的对称性可知,所求体积为第一卦限部分体积的8倍.∵所求立体在第一卦限部分可看成是一个曲顶柱体,它的顶为柱面它的底为例7求两个底圆半径都等于R的直交圆22∴所求体积为∴所求体积为23解例8求由下列曲面所围成的立体的体积:曲面围成的立体如图.解例8求由下列曲面所围成的立体的体积:曲面围成的立体24由所给曲面消去z,得∴所围立体在面上的投影是∴所求体积为由所给曲面消去z,得∴所围立体在面上的投影是∴所求体积为254、利用对称性化简二重积分的计算利用对称性来简化二重积分的计算是十分有效的,它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的.不过二重积分的情况比较复杂,因此,在运用对称性时,要兼顾被积函数和积分区域两个方面,

不可误用.归纳起来主要有下面几种情形.4、利用对称性化简二重积分的计算利用对称性来26①设D关于y

轴对称,对任意点(x,y)∈D,(i)若f(-

x,y)=-

f(x,y),即f(x,y)是关于x的奇函数,

则

(ii)若f(-

x,y)=f(x,y),即f(x,y)是关于x的偶函数,

则

其中D1是D中x≥0的部分.

①设D关于y轴对称,对任意点(x,y)∈D,27②设D关于x

轴对称,对任意点(x,y)∈D,(i)若f(x,-y)=-

f(x,y),即f(x,y)是关于y的奇函数,

则

(ii)若f(x,-y)=f(x,y),即f(x,y)是关于y的偶函数,

则

其中D2是D中y≥0的部分.

②设D关于x轴对称,对任意点(x,y)∈D,28③设D关于原点对称,对任意点(x,y)∈D,(i)若f(-x,-y)=-

f(x,y),则

(ii)若f(-x,-y)=f(x,y),则

其中D3是D中x≥0,y≥0的部分.③设D关于原点对称,对任意点(x,y)∈D,(i29④若D关于直线y=x对称,则

这是二重积分所独有的性质.上式称为二重积分关于积分变量的轮换对称性.

④若D关于直线y=x对称,则这是二重积分所独30①、②、③简单地说就是奇函数关于对称域的二重积分等于0,偶函数关于对称域的二重积分等于对称的部分区域上二重积分的两倍,完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质.简述为“你对称,我奇偶”.

①、②、③简单地说就是奇函数关于对称域的二31

例9计算二重积分,其中积分区域D由曲线y=x2与y=1所围成.解令

∵D关于y轴对称,

且例9计算二重积分32∴所求二重积分等于在区域D1上二重积分的4倍,

例10计算二重积分,其中积分区域D:|

x|

+|y|≤1.解f(x,y)=x2

y2关于或均为偶函数,∵D关于x轴和y轴对称,即∴所求二重积分等于在区域D1上二重积分的33二、利用极坐标计算二重积分则除包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积为1、极坐标系下二重积分的表达式在极坐标系下,用同心圆ρ=常数及射线

=常数,将区域D划分为二、利用极坐标计算二重积分则除包含边界点的一些1、极坐标系下34在内取点则有在内取点则有35这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式,

即或其中就是极坐标系中的面积元素.这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标即362、极坐标系下二重积分化为二次积分的公式(1)若极点O在积分区域D外,且D由射线

=α,

=β和连续曲线ρ=

1(

),ρ=

2(

)

所围成,则∴在极坐标系下,二重积分可化为2、极坐标系下二重积分化为二次积分的公式(137特别地,若积分区域为则在极坐标系下,二重积分可化为特别地,若积分区域为则在极坐标系下,二38∴在极坐标系下,二重积分可化为(2)若极点O在积分区域D的边界上,且D由射线

=α,

=β和连续曲线ρ=

(

)所围成,则∴在极坐标系下,二重(2)若极点O在39(3)若极点O在积分区域D内,且D的边界曲线为连续封闭曲线ρ=

(

),则∴在极坐标系下,二重积分可化为(3)若极点O在积分区域D内,且D的边界曲线40极坐标系下闭区域D的面积若闭区域则特别地,若闭区域则极坐标系下闭区域D的面积若闭区域则特别地,若闭区域则41解例11写出二重积分的极坐标二次积分形式,其中积分区域

∵在极坐标系下∴圆的方程为直线的方程为解例11写出二重积分42解例12计算,其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.

∵在极坐标系下解例12计算43解例13求反常积分设则有解例13求反常积分设则有44《微积分》PPT教学讲解课件45即即46及直线所围成的平面闭区域.

解例14计算其中D是由圆积分区域D如右图所示.

47∴在极坐标系下∴在极坐标系下48解例15计算二重积分,其中积分区域为

积分区域D如右图所示.由对称性可知解例15计算二重积分49例16求曲线和所围成的图形的面积.

解积分区域D如右图所示.由对称性可知∵在极坐标系下∴由得两曲线的交点为例16求曲线50∴所求面积为

∴所求面积为51

例17求球体被圆柱面=2ax(a