2015年高考数学(江苏)模拟试题

2015年高考数学(江苏)模拟试题2015年江苏高考数学模拟试题数学Ⅰ注意事项：本试卷共4页，共20道非选择题，满分160分，考试时间120分钟。考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。在答题之前，请认真阅读本注意事项和各题答题要求。请使用0.5毫米黑色墨水签字笔将您的姓名和考试证号填写在试卷和答题卡上的规定位置。请核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。请在答题卡的指定位置使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，其它位置作答一律无效。如需作图，请使用2B铅笔绘图和写字，并清晰地加黑和加粗线条和符号。参考公式：圆柱的侧面积公式：S圆柱侧=cl，其中c是圆柱底面的周长，l为母线长。圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请将答案填写在答题卡相应位置上。1.已知集合A={-2,-1,3,4}，B={-1,2,3}，则A∩B={-1,3}。2.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为21。3.右图是一个算法流程图，则输出的n的值是10。4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是1/2。5.已知函数y=cosx和y=sin(2x+θ)(0≤θ<π)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则θ的值是π/4。6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有24株树木的底部周长小于100cm。7.在各项均为正数的等比数列{an}中，a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是1/2。8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且VS1/S2=4/9，则V1的值是2/3V2。9.在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-3=0被圆(x-2)²+(y+1)²=4截得的弦长为2√2。已知函数$f(x)=x^2+mx-1$，对于任意$x\in[m,m+1]$，都有$f(x)<0$，则实数$m$的取值范围是什么？解析：由于$f(x)<0$，则$f(m)<0$，即$m^2+m-1<0$，解得$m\in\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2},-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$。同时，由于$f(x)$是一个开口向上的抛物线，其顶点横坐标为$x=-\frac{m}{2}$，则要使得$f(x)<0$在$[m,m+1]$上成立，必须有$-\frac{m}{2}\in[m,m+1]$，即$m\in[-2,-1)$。综合两个条件，得到$m\in\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2},-1\right)$。在平面直角坐标系$xOy$中，若曲线$y=ax^2+b$（$a,b$为常数）过点$P(2,-5)$，且该曲线在点$P$处的切线与直线$7x+2y+3=0$平行，则$a+b$的值是多少？解析：由题意可知，曲线$y=ax^2+b$在点$P(2,-5)$处的切线斜率为$-7/2a$，与直线$7x+2y+3=0$平行，则$-7/2a=-7/2$，解得$a=1$。同时，点$P$在曲线上，代入得$b=-9$。因此，$a+b=1-9=-8$。如图，在平行四边形$ABCD$中，已知$AB=8$，$AD=5$，$\frac{CP}{PD}=3$，$AP\cdotBP=2$，则$AB\cdotAD$的值是多少？解析：由题意可知，$\frac{CP}{PD}=3$，则$AP\cdotPD=CP\cdotAD=15$。又因为$AP\cdotBP=2$，则$(AP+BP)^2=AP^2+2AP\cdotBP+BP^2=4$，即$AP^2+BP^2=0$，因此$AP=BP=1$。则$AB\cdotAD=8\cdot5=40$。已知$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上且周期为$3$的函数，当$x\in[1,3)$时，$f(x)=|x-2x^2|$。若函数$y=f(x)-a/2$在区间$[-3,4]$上有$10$个零点（互不相同），则实数$a$的取值范围是什么？解析：首先考虑函数$f(x)$在$[1,3)$上的取值范围。当$x\in[1,2/\sqrt{2})$时，$|x-2x^2|=2x^2-x$，$f(x)=2x^2-x$；当$x\in[2/\sqrt{2},\sqrt{2})$时，$|x-2x^2|=2x-2x^2$，$f(x)=2x-2x^2$；当$x\in[\sqrt{2},3)$时，$|x-2x^2|=2x^2-x$，$f(x)=x-2x^2$。因此，$f(x)$在$[1,3)$上的取值范围为$[-2,1]$。又因为$f(x)$的周期为$3$，则$f(x+3)=f(x)$。因此，$y=f(x)-a/2$在区间$[-3,4]$上有$10$个零点，当且仅当$y=f(x)-a/2$在区间$[1,4]$上有$10$个零点。而$f(x)$在$[1,3)$上的取值范围为$[-2,1]$，因此$y=f(x)-a/2$在区间$[1,4]$上的取值范围为$[-2-a/2,1-a/2]$。由于$y=f(x)-a/2$在区间$[1,4]$上有$10$个零点，因此$[-2-a/2,1-a/2]$中必须有$10$个数为$0$。因此，$-2-a/2\leq0$且$1-a/2\geq0$，解得$a\in(-4,2)$。若$\triangleABC$的内角满足$\sinA+2\sinB=2\sinC$，则$\cosC$的最小值是多少？解析：根据正弦定理可得：$a/\sinA=b/\sinB=c/\sinC$。代入$\sinA+2\sinB=2\sinC$中，整理得$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\geq\frac{1}{2}$。当且仅当$a=b$时，取等号。因此，$\cosC$的最小值为$1/2$。已知$\alpha\in(0,\pi)$，$\sin\alpha=\frac{5\pi}{25}$。(1)求$\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})$的值；(2)求$\cos(-2\alpha)$的值。解析：(1)根据正弦和余弦的和差公式，有$\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2}(2\sin\alpha-1)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{5\pi}{5}-1)=\frac{\sqrt{2}}{2}(5\pi-5)$。(2)根据余弦的奇偶性和反函数的关系，有$\cos(-2\alpha)=\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1=2(1-\sin^2\alpha)-1=2(1-\frac{25\pi^2}{625})-1=-\frac{25\pi^2}{625}-1$。为了保护河上的古桥OA，规划建造一座新桥BC，并设立一个圆形保护区。规划要求新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m。经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），且$\tan\angleBCO=\frac{3}{4}$。(1)求新桥BC的长度。解：设BC=x，则OC=170-x。由$\tan\angleBCO=\frac{3}{4}$可得$\frac{OC}{OB}=\frac{4}{3}$，即$\frac{170-x}{OA}=\frac{4}{3}$。又由题意可得$OA^2=60^2+(170-x)^2$。解得$x=90$，即新桥BC的长度为90米。(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：设圆心为O，半径为r，则OM=r。由题意可得，圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，即OM+80=OA，即$r+80=\sqrt{60^2+(170-90)^2}=10\sqrt{433}$。故$r=10\sqrt{433}-80$，圆形保护区的面积为$\pir^2=\pi(10\sqrt{433}-80)^2$。由于$\pi$为正数，故$r$越大，圆形保护区的面积越大。因此，当OM的长度为$10\sqrt{433}-80$时，圆形保护区的面积最大。已知函数$f(x)=e^x+e^{-x}$，其中$e$是自然对数的底数。(1)证明：$f(x)$是$\mathbb{R}$上的偶函数。证明：对于任意$x\in\mathbb{R}$，有$f(-x)=e^{-x}+e^{x}=f(x)$，故$f(x)$是$\mathbb{R}$上的偶函数。(2)若关于$x$的不等式$mf(x)\leqe^{-x}+m-1$在$(0,+\infty)$上恒成立，求实数$m$的取值范围。解：由题意可得$mf(x)-m+1\leqe^{-x}$，即$me^x-m+1\leq1$。又因为$e^x>0$，故$m\leq1$。又由$f(x)$是偶函数可知，只需考虑$x>0$的情况。当$x>0$时，$f(x)>0$，故$m>0$。因此，$m$的取值范围为$0<m\leq1$。(3)已知正数$a$满足：存在$x\in[1,+\infty)$，使得$f(x)<a(-x+3x)$成立。试比较$e^{a-1}$和$ae^{-1}$的大小，并证明你的结论。解：由已知可得$e^x+e^{-x}<a(2-x)$，即$e^{2x}+1<ae^x(2-x)$。令$t=e^x$，则$t>1$，原不等式变为$t^2+1<a(2\lnt-t)$。令$g(t)=t^2+1-a(2\lnt-t)$，则$g'(t)=2t-\frac{a}{t}-2a<0$，即$2t-2a<\frac{a}{t}$。当$t=\sqrt{2a}$时，左右两边相等，故$t>\sqrt{2a}$时，$2t-2a<\frac{a}{t}$仍然成立。当$t>\sqrt{2a}$时，$g(t)<g(\sqrt{2a})=-a\sqrt{2a}<0$，即$t^2+1<a(2\lnt-t)<0$。因此，$e^{a-1}=\frac{1}{e^{1-a}}<\frac{1}{2a}$，$ae^{-1}>\frac{a}{e}>\frac{1}{2e}$。故$e^{a-1}<ae^{-1}$。设数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$。若对任意正整数$n$，总存在正整数$m$，使得$S_n=a_m$，则称$\{a_n\}$是“H数列”。(1)若数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=2n(n\in\mathbb{N^*})$，证明：$\{a_n\}$是“H数列”。证明：对于任意正整数$n$，令$m=n+1$，则$S_n=2n=n+(n+1)-1=a_{n+1}-1$。故$\{a_n\}$是“H数列”。(2)设$\{a_n\}$是等差数列，其首项$a_1=1$，公差$d<0$。若$\{a_n\}$是“H数列”，求$d$的值。解：设$\{a_n\}$的公差为$d$，则$a_n=1+(n-1)d$，$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(1+(n-1)d)$。由于$\{a_n\}$是“H数列”，故存在正整数$m$，使得$S_n=a_m$，即$\frac{n}{2}(1+(n-1)d)=a_m$。令$n=2m$，则$(2m-1)d=2a_m-1$，即$d=\frac{2a_m-1}{2m-1}$。因为$d<0$，故$2a_m-1<0$，即$a_m<\frac{1}{2}$。又因为$\{a_n\}$是等差数列，故$a_2=a_1+d=1+d>1>\frac{1}{2}$，故$a_m>a_2$。因此，$m>2$。当$m=3$时，$d=\frac{2a_3-1}{5}$。因为$\{a_n\}$是等差数列，故$a_3=a_1+2d=1+2d$。又因为$\{a_n\}$是“H数列”，故存在正整数$k$，使得$S_2=a_k$，即$a_1+a_2=2=a_k$。代入$a_2=a_1+d$，可得$a_1+a_1+d=2$，即$d=1-a_1$。因此，$2a_3-1=5d=5-5a_1$，代入$a_3=1+2d$，可得$a_1=\frac{3}{4}$。因此，$d=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。综上所述，当$d=\frac{1}{4}$时，$\{a_n\}$是等差数列且是“H数列”。(3)证明：对任意的等差数列$\{a_n\}$，总存在两个“H数列”$\{b_n\}$和$\{c_n\}$，使得$a_n=b_n+c_n(n\in\mathbb{N^*})$成立。证明：设$\{a_n\}$的公差为$d$，则$a_n=a_1+(n-1)d$。令$b_n=\frac{1}{2}(a_n+a_{n+1}-a_1)$，$c_n=a_n-b_n$，则$b_1=\frac{1}{2}(a_1+a_2-a_1)=a_1$，$c_1=a_1-b_1=0$。对于任意正整数$n$，有$b_n=\frac{1}{2}(a_n+a_{n+1}-a_1)=\frac{1}{2}(a_1+(n+1)d)+(n-1)d-a_1=(n-\frac{1}{2})d$，$c_n=a_n-b_n=(a_1+(n-1)d)-(n-\frac{1}{2})d=a_1-\frac{1}{2}d$。因此，$a_n=b_n+c_n=(n-\frac{1}{2})d+a_1-\frac{1}{2}d=(n-1)d+a_1$。故$\{b_n\}$和$\{c_n\}$都是“H数列”，且$a_n=b_n+c_n$。因此，对任意的等差数列$\{a_n\}$，总存在两个“H数列”$\{b_n\}$和$\{c_n\}$，使得$a_n=b_n+c_n(n\in\mathbb{N^*})$成立。已知抛物线$y=4x$与直线$y=2$相交于$A$，$B$两点，求线段$AB$的长度。解析：首先确定交点坐标，将$y=4x$代入$y=2$得到$x=\frac{1}{2}$，进而得到$A(\frac{1}{2},2)$，$B(-\frac{1}{2},2)$，因此线段$AB$的长度为$\sqrt{(\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2}))^2+(2-2)^2}=1$。已知$x>0$，$y>0$，证明：$(1+x+y)^2\geq9xy$。证明：$(1+x+y)^2=1+2x+2y+x^2+y^2+2xy\geq9xy$，化简得$x^2-2xy+y^2+2x+2y+1=(x-y)^2+2(x+y)+1\geq0$，显然成立。盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同。$(1)$从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率$P$；$(2)$从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为$x_1$，$x_2$，$x_3$，随机变量$X$表示$x_1$，$x_2$，$x_3$中的最大数，求$X$的概率分布和数学期望$E(X)$。解析：$(1)$共有$\binom{9}{2}=36$种取法，其中红球、黄球、绿球分别有$\binom{4}{2}=6$，$\binom{3}{2}=3$，$\binom{2}{2}=1$种取法，因此颜色相同的取法数为$6+3+1=10$，概率为$\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$。$(2)$共有$\binom{9}{4}=126$种取法，分别考虑红球、黄球、绿球的个数。当$x_1=4$时，$x_2$，$x_3$中必须有一个为红球，共有$\binom{5}{2}=10$种取法。当$x_1=3$时，$x_2$，$x_3$中必须有两个为红球或一个为红球一个为黄球，共有$\binom{4}{2}+\binom{4}{1}\binom{3}{1}=13$种取法。当$x_1=2$时，$x_2$，$x_3$中必须有两个为红球或一个为红球一个为黄球或一个为红球一个为绿球，共有$\binom{3}{2}\binom{4}{2}+\binom{4}{1}\binom{3}{1}+\binom{4}{1}\binom{2}{1}=26$种取法。当$x_1=1$时，$x_2$，$x_3$中必须有两个为红球或一个为红球一个为黄球和一个为红球一个为绿球，共有$\binom{2}{2}\binom{4}{2}+\binom{4}{1}\binom{3}{1}+\binom{4}{1}\binom{2}{1}=19$种取法。因此$X$的概率分布为$P(X=4)=\frac{10}{126}$，$P(X=3)=\frac{13}{126}$，$P(X=2)=\frac{26}{126}$，$P(X=1)=\frac{19}{126}$，数学期望为$E(X)=4\times\frac{10}{126}+3\times\frac{13}{126}+2\times\frac{26}{126}+1\times\frac{19}{126}=\frac{56}{21}=2.\bar{6}$。已知函数$f(x)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\pi}+\pi\right)+f_2(x)$，其中$f_2(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\left(\frac{x}{\pi}-\frac{x^2}{\pi^2}\right)+f_3(x)$，$f_3(x)$为$f_2(x)$的导数，$n\in\mathbb{N}^*$。$(1)$求$2f_1\left(\frac{\pi}{2}\right)+f_2\left(\frac{\pi}{2}\right)$的值；$(2)$证明：对任意的$n\in\mathbb{N}^*$，等式$n\left(f_{n-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)+f_n\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=\frac{\pi^n}{2}$成立。解析：$(1)$计算得$f_1(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\left(\frac{x}{\pi}-\frac{x^2}{\pi^2}\right)$，代入得$2f_1\left(\frac{\pi}{2}\right)+f_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$。$(2)$当$n=1$时，$f_1(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\left(\frac{x}{\pi}-\frac{x^2}{\pi^2}\right)$，$f_2(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\left(\frac{1}{\pi}-\frac{2x}{\pi^2}\right)$，代入得$2f_1\left(\frac{\pi}{2}\right)+f_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$，因此等式成立。假设对任意的$n\in\mathbb{N}^*$，等式$n\left(f_{n-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)+f_n\left(\frac{\pi}{