云南省大理市市第二职业中学高三数学文测试题含解析

云南省大理市市第二职业中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量满足,若向量与共线,则的最小值为(

)

A.

B.1

C.

D.参考答案：A2.复数的值是A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

（

）

A．

B.

C．

D.参考答案：D4.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A．

B．

C． D．参考答案：A略5.对于定义域为R的函数，给出下列命题：①若函数满足条件，则函数的图象关于点（0，1）对称；②若函数满足条件，则函数的图象关于轴对称；③在同一坐标系中，函数与其图象关于直线对称；④在同一坐标系中，函数与其图象关于轴对称.其中，真命题的个数是

(

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D6.已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（）A． B． C．π D．2π参考答案：B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；导数的几何意义．【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】根据条件求出a，b的值以及函数f（x）的表达式，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．则f（x）=x3﹣x2+ax，函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，因为原点处的切线斜率是﹣3，即f′（0）=﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，故a=﹣3，b=2，所以不等式组为则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，如图阴影部分表示，所以圆内的阴影部分扇形即为所求．∵kOB=﹣，kOA=，∴tan∠BOA==1，∴∠BOA=，∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，故选：B【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．7.已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为

（

）

A．

B．

C．

D．－参考答案：答案：C8.函数在区间［0，］上的零点个数为（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B略9.设集合P{x|x＞9}，Q={x|x2＞4}，则下列结论正确的是（）A．P=Q B．P∪Q=R C．P?Q D．Q?P参考答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】求出集合Q={x|x＞2或x＜﹣2}，由集合的性质，利用数轴表示可知答案为C【解答】解：Q={x|x2＞4}，∴Q={x|x＞2或x＜﹣2}∴P?Q故选C【点评】考察了集合的关系，属于常规题型，应熟练掌握．10.设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A． B．C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数，则__________。参考答案：略12.在三棱锥中，已知，则的取值范围是

．参考答案：

13.执行右下程序框图，其输出结果为___

__。参考答案：14.如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，，∠OAP＝30°，则CP的长为__________．参考答案：解析：因为圆O的半径为a，，，而．15.已知抛物线C：y2=ax（a＞0）的焦点为F，过焦点F和点P（0，1）的射线FP与抛物线相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：3，则a=．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的抛物线的焦点坐标，由丨MF丨=丨MK丨，则丨KN丨：丨KM丨=2：1，根据直线的斜率公式，即可求得a的值．【解答】解：由抛物线抛物线C：y2=ax，焦点F（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义丨MF丨=丨MK丨，由|FM|：|MN|=1：3，则|KM|：|MN|=1：3，∴丨KN丨：丨KM丨=2：1，则kFN==，kFN=﹣=﹣2，∴=﹣2，解得：a=，∴a的值．故答案为：．16.长方体的8个顶点都在球的球面上，为的中点，，异面直线与所成角的余弦值为，且四边形为正方形，则球的直径为

.参考答案：4或试题分析：由于，因此就是异面直线与所成的角，即，设，则，，由余弦定理得，解得或．，所以或，此即为球的直径．考点：长方体与外接球．【名师点睛】在长方体或正方体中其对角线就是外接球的直径，因此本题实质就是求长方体的对角线长，从而只要求得三棱长即可．对其他的组合体的外接球要注意应用公式求解．17.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则_____参考答案：{2，4，5}【分析】根据补集的定义直接求解：?UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．【详解】因为全集，，所以根据补集的定义得故答案为：{2，4，5}【点睛】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数是偶函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数x成立，求实数m的取值范围；（3）设函数，若在上有零点，求实数n的取值范围.参考答案：（1）；（2）(－∞,3)；（3）[4,+∞)【分析】（1）由f（﹣x）＝f（x），可求得k＝2．由，即，即可求得不等式的解集；（2）由得，结合对勾函数的图象与性质求最值即可．（3）原题意可转化在上有解，即等价于在上有解.【详解】（1）因为是偶函数，所以恒成立，即恒成立，也即恒成立，所以.由得，解得或，即或，所以不等式的解集为.（2）不等式即为，即，因为，当且仅当时，取等号.所以，由函数在上是增函数知的最小值为3，所以，故实数的取值范围是.（3）在上有零点，即为在上有解，因为，所以，所以条件等价于在上有解.令，则，令，则在上单调递增，因此，，.设，任取，则，.若，则，所以，即在上单调递增；若，则，所以，即在上单调递减.所以函数时取得最小值，且最小值，所以，从而，满足条件的实数的取值范围是.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．19.如图，在四边形中，，，，，，是上的点，，为的中点，将沿折起到的位置，使得，如图2.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）连结．在四边形中，，，，，，，∴，，四边形为菱形，且为等边三角形．又∵为的中点，∴.∵，，，满足，∴，又∵，∴平面.∵平面，∴平面平面．（2）以为原点，向量的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），则，，，所以，，设是平面的一个法向量，则即取，得．取平面的一个法向量．∵，又二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．20.（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：（1）证明：设为的中点，连接，则∵，，，∴四边形为正方形，∵为的中点，∴为的交点，∵，

∴，

…………………2分∵，∴，，在三角形中，，∴，

………………4分∵，∴平面；

………………5分(2)方法1：连接，∵为的中点，为中点，∴，∵平面，平面，∴平面.

……………9分方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，，，，，，则，，，.∴

∴∵平面，平面，∴平面；

……………9分(3)设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，

………………11分解得，令，则平面的一个法向量为，

…12分又则，∴直线与平面所成角的正弦值为.

……………14分21.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|?|MB|的值．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；综合题．分析：（1）将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再化成直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，最后再化成普通方程即可；（2）将直线的参数方程代入y=x2得关于t的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得|MA|?|MB|=|t1t2|=2．解答： 解（1）将直线l的参数方程消去参数t得：x=﹣1+y，∴直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，其普通方程是：y=x2（2）将代入y=x2得，3分∵点M（﹣1，0）在直线上，∴|MA|?|MB|=|t1t2|=2．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化、直线的参数方程，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．22.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足