山西省忻州市代县聂营中学高三数学文上学期摸底试题含解析

山西省忻州市代县聂营中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则的表达式为（）

B．

C．

D．参考答案：A2.已知抛物线与圆只有唯一的公共点，则抛物线C的准线与圆C相交的弦长为

A.

B.2

C.

D.4参考答案：C3.已知函数，给出下列四个命题：①若则;

②的最小正周期是2;③f（x）在区间[—]上是增函数；

④f（x）的图象关于直线对称，其中正确的命题是（

）

A．①②④

B．①③

C．②③

D．③④参考答案：

D4.设偶函数f(x)在R上对任意的，都有且当时，f(x)=2x，则f(113.5)的值是

A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知非零向量，且为垂足，若，则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：6.在等差数列中，为其前n项和，若，则A.60

B.75

C.90

D.

105参考答案：B7.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②。则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（A）分层抽样法，系统抽样法

（B）分层抽样法，简单随机抽样法（C）系统抽样法，分层抽样法

（D）简单随机抽样法，分层抽样法

参考答案：答案：B8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为(

) A．﹣1050 B．5050 C．﹣5050 D．﹣4950参考答案：C考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答： 解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002的值，∵S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002=（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+…+（99﹣100）（99+100）=﹣（1+2+3+4+…+99+100）=﹣=﹣5050，故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．9.若，则

A、

B、

C、

D、

参考答案：答案:C10.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和.若，且，则等于（

）A.－2021 B.－2020 C.－2019 D.－2018参考答案：D【分析】先证明数列是以为首项以为公差的等差数列，再求出的值，再利用等差数列的通项即可求出的值.【详解】∵是等差数列，为其前项和，设公差为，∴，∴，所以数列是以为首项以为公差的等差数列，则，解得.又∵，∴，∴.故选：【点睛】本题主要考查等差数列的通项和前项和的应用，考查等差数列通项的基本量的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在如图所示的程序框图中，若输出的，则输入的的最大值为

.参考答案：108当输出的时，，设输入的值为,,且,解得.最大值为.12.（2015?天门模拟）在等比数列{an}中，对于任意n∈N*都有an+1a2n=3n，则a1a2…a6=．参考答案：729考点： 数列递推式．专题： 等差数列与等比数列．分析： 通过等比数列的定义及an+1a2n=3n可得公比及a2，利用等比中项的性质计算即可．解答： 解：∵an+1a2n=3n，∴an+2a2（n+1）=3n+1，∴q3===3，即q=，∵a2a2=31，∴a2=，∴a5==3，∴a2?a5==9，∴a1a2…a6=（a1?a6）（a2?a5）（a3?a4）=93=729，故答案为：729．点评： 本题考查求数列前几项的乘积，注意解题方法的积累，属于中档题．13.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为

▲

．参考答案：14.已知数列{an}的首项a1=t，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn+1=n2+2n，若对?n∈N*，an＜an+1恒成立，则实数t的取值范围是．参考答案：（，）【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】n=1时，S1+S2=12+2×1，得到a2=3﹣2t，当n≥2时，推导出an+an+1=2n+1，n≥2，由a2+a3=5，得到a3=2t+2，由a3+a4=7，得到a4=5﹣2t，再由对?n∈N*，an＜an+1恒成立，列出不等式组，能求出实数t的取值范围．【解答】解：∵数列{an}的首项a1=t，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn+1=n2+2n，∴n=1时，S1+S2=12+2×1，即a1+a1+a2=3，∴a2=3﹣2t，∵Sn+Sn+1=n2+2n，①当n≥2时，Sn﹣1+Sn=（n﹣1）2+2（n﹣1），②①﹣②，得：an+an+1=2n+1，n≥2．∴a2+a3=5，∴a3=5﹣a2=5﹣（3﹣2t）=2t+2，a3+a4=7，∴a4=7﹣a3=7﹣（2t+2）=5﹣2t，∵对?n∈N*，an＜an+1恒成立，∴，即，解得，∴实数t的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查数列的通项与前n项和的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．15.已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则a+b的值为

．参考答案：3【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】方程思想；分析法；导数的综合应用．【分析】求得函数的导数，由题意可得f（1）=10，且f′（1）=0，解a，b的方程可得a，b的值，分别检验a，b，由极大值的定义，即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，由在x=1处取得极大值10，可得f（1）=10，且f′（1）=0，即为1+a+b﹣a2﹣7a=10，3+2a+b=0，将b=﹣3﹣2a，代入第一式可得a2+8a+12=0，解得a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（x﹣1）（3x﹣1），可得f（x）在x=1处取得极小值10；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=（x﹣1）（3x﹣9），可得f（x）在x=1处取得极大值10．综上可得，a=﹣6，b=9满足题意．则a+b=3．故答案为：3．【点评】本题考查导数的运用：求极值，注意运用极值的定义，考查化简整理的运算能力，注意检验，属于基础题和易错题．16.下列说法不正确的是．（1）命题“若x＞0且y＞0，则x+y＞0”的否命题是真命题（2）命题“”的否定是“?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”（3）a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减（4）若，向量与向量的夹角为120°，则在向量上的投影为1．参考答案：（1）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）根据否命题的定义进行判断即可．（2）根据含有量词的命题的否定进行判断．（3）根据幂函数的定义和性质进行判断即可．（4）根据向量的投影的定义进行判断即可．【解答】解：（1）命题“若x＞0且y＞0，则x+y＞0”的逆命题是若x+y＞0，则x＞0且y＞0，当x=3，y=﹣1时，满足x+y＞0，但x＞0且y＞0不成立，即命题的逆命题为假命题，则命题的否命题是假命题，故（1）错误．（2）命题“”的否定是“?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，故（2）正确，（3）a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减，正确，故（3）正确，（4）若，向量与向量的夹角为120°，则在向量上的投影为||cos120°=2×（﹣）=﹣1，故（4）错误，故答案为：（1）（4）【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．17.已知抛物线：的焦点为，准线l与x轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为2，则实数的值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数 （Ⅰ）求的解析式及减区间；（Ⅱ）若的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）令得，

——————————1 ，所以，————————————2，

，————————————5由得，的减区间为（）.——————————————7分（Ⅱ）由题意

，

，————————————8

设，.

当时，恒成立，无最大值；——————10当时，由得，得.在上为增函数，在上为减函数.，，——13，

设，，由得，得，，所以的最小值为.

———1519.（本小题满分12分）

某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：0000（1）请写出上表的，并直接写出函数的解析式；（2）设，当时，求的单调增区间。参考答案：20.如图，已知平行四边形中，四边形为正方形，平面平面分别是的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面（Ⅱ）记表示四棱锥的体积.(ⅰ)求的表达式；（ⅱ）当取得最大值时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）证法１：∵,

∴且∴四边形EFBC是平行四边形∴H为FC的中点-------------2分又∵G是FD的中点∴---------------------------------------3分∵平面CDE，平面CDE∴GH∥平面CDE

---------------------------------4分证法２：连结EA，∵ADEF是正方形∴G是AE的中点-------1分∴在⊿EAB中，

------------------------------------------------------------------2分又∵AB∥CD，∴GH∥CD，-----------------------------------------------------------------3分∵平面CDE，平面CDE∴GH∥平面CDE

---------------------------------------------------4分

（Ⅱ）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.--------------------------------------------------6分∵BD⊥CD,，

∴FA=2,（）∴＝

∴（）----------------8分（Ⅲ）要使取得最大值，只须＝（）取得最大值，∵，当且仅当即时取得最大值-----------------------------------------------------------------------9分解法１：在平面DBC内过点D作于M，连结EM∵∴平面EMD∴∴是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-------12分∵当取得最大值时，,∴,∴即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的余弦值为.------------------------------13分解法２：以点D为坐标原点，DC所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示，------9分则,∴,,-------10分设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为，平面ECF的法向量由得令得

------11分

又∵平面ABCD的法向量为∴.------------------------13分略21.(本小题满分10分)已知函数]。（I）求函数的最小值和最小正周期；（II）设的内角的对边分别为且,角满足，若，求的值．参考答案：解（Ⅰ）原式可化为：，…3分

的最小值是，

最小正周期是；

………………5分(Ⅱ)由，得，，，

………………7分，由正弦定理得……①，

又由余弦定理，得，即…②，联立①、②解得．

………………10分略22.某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数．东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．（I）求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；（Ⅱ）设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求ξ的分布列及数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D．则P（A）==，P（B）==，P（C）==，P（D）==．设一天恰有三个入口