统计物理学讲稿

统计物理号饼称

（云南师范大学物理与电子信息学院）

伍林

第六章近独立粒子的最概然分布

6.1粒子运动状态的经典描述

粒子是指组成物质系统的基本单元。

粒子的运动状态是指它的力学运动状态。

如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。

如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。

设粒子的自由度为r,粒子在任-时刻的力学运动状态由粒子的厂个广义坐标

%,外,…，名和相应的厂个广义动量P”P2,…，Pr在该时刻的数值确定，粒子能量£是其广

义坐标和广义动量的函数，即

£=£（/必，…，/，…,凡）

更一般表述为E=£（%,0）（i=1,2…,力

在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成H（哈密顿）函

数，即

£=（i=1,2…,r）

粒子的运动满足正则运动方程q；=——，A,（i=l,2…/）

池西

当某一初始时刻》0,给定了小,P,的初值％0,00之后，由正则运动方程可确定在任何

相继时刻/,小,P,的数值，因而这个力学系统的运动状态就完全确定了。所以一组外,Pi数

值完全确定了这个系统的个运动状态，这就是微观运动状态。

使用粒子的坐标和动量的描述方法叫做微观描述法,也可以借助几何表示法讨论力学体

系运动状态，用4,42,…,外，…，Pr为直角坐标构成一个2r维空间，这个空间称为

〃空间。〃空间任何一点代表力学体系一个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状

态随时间改变时，代表点相应地在口空间中移动，描画出一条轨迹称为相迹。

（一）自由粒子

自由粒子是不受力的作用而作自由运动的粒子。

自由度：r=3,〃空间维数：6

广义坐标：q]=x,q2=y,qy=z

广义动量：0=px=mx,p2=py=my,p3=pz=mz

动能：£=+P：+P；）

2m

相迹：以一维自由粒子为例，以X,P,为直角坐标，构成二维的〃空间，设一维容器的长度

为L。粒子的一个运动状态（X,P*）可以用〃空间在一定范围内的一点代表。

（-）一维线性谐振子

质量为m的粒子在弹性力f=-Ax作用下，将在原点附近作圆频率为3=J砺的

简谐振动，称为线性谐振子。

自由度：r=l,〃空间维数：2

广义坐标：q=x

广义动量：p=px=mx

动能：£=/+曰/=/+!机］/

相迹：以X和P为直角坐标，可构成二维的“空间，振子在任一时刻运动状态由〃空间中的

一点表示。如果给定振子的能量£,对应点的轨迹就由如下的椭圆方程决定：

2mslehnco2

椭圆的长轴和短轴分别为a=41ms和b=yjls/mco2,面积为S=IKS/co.

（三）转子

考虑质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点。时所作的运动。

用球坐标表示，x=rsin6cos*,y=rsin6sin0,z-rcosd

x=rsin6cos°+rsin6sin°J-rsinOsine。

y=rsin6cos°+rcosOsin(pO+rsin9cos(p@

i=>cos。-rsin"

8-g〃z（产+r2O2+r2sin20（p2）

考虑质点和原点的距离保持不变，r=0,于是

£=^tn（r232+r2sin20（p~}

转子是这样一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴的空间方位角仇°确定。

自由度：r=2,4空间维数：4

广义坐标：％=6（0〜万），42=°（0~2乃）

广义动量：Pi=P@=mr20,p2=Pe=inr2sin20（p

1919

动能：£——（p®H----；-p电）

21°sin2^

双原子分子的力学模型：

将双原子分子看作一根细棒的两端联结着质量为叫和m2的两个质点绕其质心的转动。

»17172

然后将两体问题转化为单体问题，即将公式中的机换成约化质量〃=—根据经典

机］+m2

力学，在没有外力作用的情形下，转子的总角动量而=尸、万是一个守恒量，其大小和时间

都不随时间改变。由于r垂直于〃,质点的运动是在垂直于行的平面内运动。如果选择z

轴平行于而，质点的运动必在孙平面上，这时。=万/2,々=0,能量简化为

6.2粒子运动状态的量子描述

微观粒子普遍具有波粒二象性。

20世纪当不少物理学家为光的波粒二象性感到困惑时，德国物理学家德布罗意于1924

年提出一个假说，认为一切微观粒子都具有波粒二象性，并把标志波动性质的量口和女通

过一个普适常数用标志粒子性质的£和p联系起来，即德布罗意关系

£-tlCt)

p=tik

其中方=〃/2%，力和方都称为普朗克常数。

普朗克常数是物理中的基本常数，它的量纲是［时间M能量产［长度H动量上［角动量］

这样一个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本的作用量子。在什么情况

下使用经典描述,什么情况下使用量子描述？如何来判别呢？这个作用量子成为判别采用经

典描述或量子描述的判据。当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与普朗克常数

相比拟的数值时，这个物质系统就是量子系统。反之，如果物质系统的每一个具有作用量纲

的物理量用普朗克常数来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力学来研究。

叶企孙小传

叶企孙，男，汉族，教授。著名物理学家、教育家。上海人。1918年6月清华学校毕

业留美，1923年获哈佛大学博士学位。1925年后历任清华大学教授、物理学系主任、理学

院院长，西南联合大学教授、理学院院长，清华大学校务委员会主任委员。1952年院系调

整时调入北京大学。他还是中国科学院数学物理学部委员、常委。

他在30年代创建了颇负盛名的清华物理学系和理学院，聘请名教授来校，实行”理论与

实验并重，重质而不重量”的办学方针，培养出一批高质量的人才，对我国科学事业发展和

清华大学在短期内跻身于名大学之林作出重要贡献。他在主持清华大学校务委员会期间，和

校党委密切配合，贯彻党和政府对高等教育有步骤的进行改造的方针和院系调整的措施。

在长久的沉寂之后，叶企孙的名字又重新被人提起。说他是中国科技基石，一点也不

为过，他是杨振宁、李政道等国际知名学者的老师；在23位“两弹一星”功勋奖章获得者

中，半数以上是他的学生；他创建了清华大学物理系，并培养出50多位院士；早在读博士

时.，他就以论文《普朗克(Planck)常数的测定》而名声大噪。

叶企孙在哈佛大学时，在W.杜安(Duane)教授指导下，与H.H.帕尔默(P

a1men)合作，利用X射线连续谱短波限(人力与电子加速电压(V)的关系式

Vc=hc/。测定普朗克常数(h)的值。他们用电位差计测V,用方解石谱仪测Am,

采取一系列措施提高V和Am的测量精度和准确度，获得精度很高的V和短波限布拉格反

射角的数据，其相对误差比标准电池电动势的相对误差还小。用这些实验数据和国际上当时

采用的电子电量（e）、光速（c）和方解石晶格常数（d）的数值得出h=（6556±

0.009）X10I，尔格•秒。这篇论文于1921年4月在美国物理学会年会上宣读,

并在美国光学会月刊及全国科学院汇刊上发表。h这一基本常数的精确测定始终是物理学家

十分关注的实验研究工作，叶企孙对此做出了重要贡献。1929年，专门研究基本常数的

伯奇（Birge）用叶企孙等的实验数据和e、c、d的新数值算出h=（6.559±

0.008）X10々7尔格•秒，并说误差主要来自e值的误差。这表明叶企孙等的实验

数据是当时用这种方法测h的最佳数据，曾长期在国际上沿用。

然而，这样一位大师级的人物，却因受一桩冤案的牵连而在很长一段时间里销声匿迹。

抗战初期，吕正操（国民党五十三军一三。师六九一团任团长）率部北上抗日。辅仁大

学化学系教师共产党员张珍为吕正操部寻找抗日知识分子，从事军队的技术后勤工作。他找

到叶企孙的学生熊大缜。熊很快就奔赴吕正操部，利用专业知识为部队制造炸药、无线电等

军用器材。当时党内由于革命斗争的异常复杂，易受极左思想的影响，对知识分子产生怀疑，

组织了所谓的“锄奸队”。熊大缜被“锄奸队”当作特务关押，未经审理就被处死，并定案

为特务。

由于熊大缜是叶企孙的学生，从军后又与叶颇多联络，文革中，叶企孙便被诬为特务头

子。1977年1月叶企孙含冤去世。

1987年，叶企孙得到平反。1992年，海内外127位知名学者联名向清华大学呼吁为叶

企孙建立铜像。1995年，清华大学举行了隆重的铜像落成仪式。2001年，叶企孙的传记《中

国科技的基石》问世。至此，这位中国当代科技的奠基人，终于得到了他应有的荣光。《中

国科技的基石》作者之一、叶企孙的学生虞昊回忆说，叶企孙不善言辞，给人一种很严厉的

印象，而接触过他的学生都对他非常敬爱。虞昊记得刚入学不久，全班30多个学生就被叶

师请到自己的宿舍小聚，在聚会上叶师逐个和学生谈话，了解学生的学业和家庭状况。有个

高个子同学家境不好，衣衫破旧，叶师对他说：“以后有困难就来找我。”后来，“找叶先

生去”成了学生们遇到困难常说的话。

有一年暑假，王遂昌手头拮据没钱回家，叶师知道后便说：“我给你钱，回家去吧。”

叶老从监狱放出后，住在斗室中，从无一句怨言。朋友来看他，想听他诉说遭遇，他

从书架上取出《宋书•范晔传》读了一段范晔在逆境中的自述，以表白自己的心境：“吾狂

衅覆灭，岂复可言，汝等皆当以罪人弃之，然吾平生行己任怀，应犹可■寻。至于能不，意中

所解，汝等或不细知。”从中可见叶老的情怀和风范。

23位两弹一星功勋奖章获得者中有位是他的学生，两位是他的学生的学生。121运动负

责与政府交涉开追悼会；破格提拔华罗庚；邀请朗之万、狄拉克和玻尔访华；中国物理学会

设立叶企孙物理学奖（固体物理）。

前排右起依次为叶企孙、张奚若、陈毅、吴啥。后排右起为潘光旦、张子高、周培源

美谍报队“抢”了数千德国科学家

牛宝成

第二次世界大战后期，盟军在法国登陆后，美军以一个伞兵师、两个装甲师加上整个第6

集团军的兵力，组成了一支战斗力极强的作战部队。这支部队斜插法军战线，任务只有一个，

那就是掩护一支被称为“阿尔索斯”的谍报队。这支谍报队的主要目的是抢夺德国和意大利

的大批科学家、工程师，并将他们安全地带回美国，进而确保战后美国的原子物理学、核物

理学、化学和数学等学科能够快速发展。

1939年，美国总统罗斯福接受了爱因斯坦等科学家的建议，开始了美国研制原子弹的工

作。然而，随着名为“曼哈顿工程”的研制工作不断深入，美国人开始越来越担心德国------

在核物理学方面，德国的科学家哈恩、海森堡等人与爱因斯坦齐名，再加上整个欧洲的工业

生产能力，德国人完全可以研制出原子弹。为搞清德国核武器研究的进展情况，1943年底,

美国陆军成立了一个代号“阿尔索斯”的特殊谍报队，队员都来自美国陆军和海军情报系

统，队长为帕希上校。此外，“阿尔索斯”还需要•名科学家，他必须是原子物理学家，且

没有参加“曼哈顿工程”，这样一来，即使被德军俘虏，他也不会说出美国制造原子弹的秘

密。“阿尔索斯”最后选中了丹麦物理学家高德斯密特，因为高德斯密特不仅具备上述条件,

而且还能说一口流利的法语和德语，特别是他认识许多德国科学家，与美国人非常想得到的

德国核物理学家海森堡相当要好。人员齐备后，美国军方为“阿尔索斯”制定了三项作战任

务：一是抓捕德国核物理学家；二是夺取德国人手中的铀金属及矿石；三是借机破坏德国可

能用于原子弹计划的一切工业设施。

1943年12月，“阿尔索斯”将卡耳佛特少校派到伦敦。他首先查阅了德国近期和过期

的全部物理杂志，并询问了逃到美国的所有欧洲物理学家，如爱因斯坦和费米等人，然后开

出一张共有50名可能参与德国核研制工作的科学家名单。1944年6月，美国第5集团军攻

陷罗马，“阿尔索斯”的队员也随之集中到那里，他们每个人手中都有这份标明了德国科学

家简历、住址和工作地点的名单。然而，由于盟军连续不断的轰炸，许多德国科学家不知去

向，所以，尽快查清纳粹德国把这些科学家藏在哪儿以及他们正在干什么，成为“阿尔索斯”

面临的最大问题。不久，“阿尔索斯”得到一个情报，据一位瑞士科学家说，德国最著名的

核物理学家海森堡博士就住在黑辛根附近，而且在这一地区还藏有其他德国科学家。1945

年3月，美军进入德国本土，“阿尔索斯”进入黑辛根镇的海德堡附近，占据了当地的一些

实验室，并俘获了德国在原子能研究方面的主要科学家哈恩和劳埃。哈恩等人很快被送到海

德堡，然而海森堡还没有抓到，这是“阿尔索斯”最担心的事，因为他们害怕苏联人抢在他

们之前把这些科学家弄到手。当“阿尔索斯”的队员来到黑辛根时;海森堡已经在两周前离

开了。5月2日，“阿尔索斯”秘密进入乌尔费尔德镇，天快要黑的时候，一名队员发现了

海森堡的住宅。他们进去一看，海森堡正在屋里。为了保险，“阿尔索斯”队员命令海森堡

留在家中不要乱跑，以免发生意外。第二天，谍报队员带来了一个步兵营，赶到海森堡的住

宅带走了这位科学家。至此，“阿尔索斯”谍报队成功地将二十几个德国核物理学家一一抓

获。直到此时，美国人才松了一口气。因为在他们看来，抓到一个海森堡比消灭十个德国师

重要得多。

到第二次世界大战结束时，“阿尔索斯”谍报队通过各种手段，把德国、意大利的几千

名科学家、工程师带到了美国本土。1945年10月，“阿尔索斯”正式解散。那些被“阿尔

索斯”“抢”过来的科学家对美国原子物理学、核物理学、化学和数学等学科的发展起到了

不可估量的作用。

测不准关系

微观粒子的运动不是轨道运动，这一点我们可以作如下解释：继德布罗意之后，1927

年，海森堡在研究粒子和波动的二象性时，得到一个重要的结果：微观粒子不可能同时具有

确定的动量和坐标。即用△夕表示粒子坐标的不确定值和Ap表示粒子动量不确定值，在量

子力学所容许的最精确的描述，bq与2的乘积满足测不准关系

AqAp«h

它揭示：量子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量，因此这生动地说明

微观粒子的运动不是轨道运动，微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波

函数或量子数来描述的。

值得指出的是，在经典力学的理论中，粒子可以同时具有确定的坐标和动量，这并不是

在实际上我们可以任意的精确度做到这一点，而是说在经典的理论中，原则上不允许对这种

精确度有任何限制。特别地在经典范围内，波动量很小，以致于探测不到。因此认为物质有

确定的坐标和动量，这并不与测不准关系发生矛盾。

在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数来表征。这组量

子数的数目等于粒子的自由度数。

在量子力学中，微观粒子的能量是不连续的，不连续的能量用能级表示。如果一个能级

的量子态不止一个，该能级就称为简并的。一个能级的量子态数称为该能级的简并度。如果

一个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。

（一）自旋

一个质量为机，电荷为-e的电子的自旋角动量S和自旋磁矩〃之比为

-〃=---e-

Sm

沿z方向加外磁场8,角动量S在z方向有两个独立分量为S.=加优，其中，"，=土,为

z'2

自旋量子数，这时自旋磁矩〃和势能均不连续，

eh,efi

=­=-土---

4m2m

ehB=土迎

E=-------mcs-

m2m

能级为非简并。

（~）线性谐振子

圆频率为8的线性谐振子的能量可能值为

*/1、

8n=n（t）｛nH—）,n=0,1,2,

所有能级等间距，均为力。。能级为非简并。

（三）转子

M2

转子的能量£=2一

21

量子理论要求屈2=/（/+1）方2,/=0,1,2,

对于一定的/,角动量在z方向的投影M.只能取分离值：

M.=mh,m=-l,-Z+1-1,/

共2/+1个可能的值。在量子理论中自由度为二的转子的运动状态由两个量子数/和m表

征。转子的能量

/（/+1）力2

£,=-----------,1=0,1>2>

121

基态非简并，激发态简并，简并度为2/+1。

（四）自由粒子

一维自由粒子

考虑处于长度为L的一维容器中自由粒子的运动状态。

周期性边界条件要求粒子可能的运动状态，其德布罗意波长久满足

=

L二|〃,nx0,1,2,.

考虑到一维空间中波动可以有两个传播方向，由女=2万//I,波矢量心的可能值为

2万

k--n,n=0,±1,±2,.

*L

由德布罗意关系万=力》，该一维自由粒子动量的可能值为

2/八

Px=FM，nx=0,±1,±2,.

一维自由粒子能量的可能值为

63

=理=生中〃n=0,±1,土2,

"2mmL~x

一维自由粒子的运动状态用量子数〃，表示，能量值决定于%。基态非简并，激发态为二度

简并。

三维自由粒子

考虑处于长度为L的三维容器中自由粒子的运动状态。

假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动，仿照一维粒子的情形，该粒子在三

个方向动量的可能值为

2就,.-

pr=-^-nx=0,±1,±2,...

2疳i._

=---,〃、.=0,±1,±2,...

yLyy

2徜,.,-

p一-〃一，n.=0,+1,±2,...

能量的可能值为

£=4（P：+0：+/）=2万2力2〃；+〃：+〃；

ml3

在宏观体积和微观体积两种情况下对三维自由粒子量子态采取不同的描述方法。

(1)在微观体枳下，粒子的动量值和能量值的分离性很显著，粒子运动状态由三个量子

2^2方2

数表征。能量值决定于注+〃：+〃"如对于〃"鼠+/=1的能级£=f

'm

六个量子态与之对应，(0,0,1),(0,0-1),(0,1,0),(0-1,0),(1,0,0),(-1,0,0)

所以该能级为六度简并，而基态为非简并。

(2)在宏观体积下，粒子的动量值和能量值是准连续的，这时往往考虑在体积V=d内，

在P.1.至！JPN+"Px，P,V到Py+"P,»，Pz到Pz+d/?z的动量范围内的自由粒子的量

子态数。

在px至ijpx+dpx的范围内可能Pi的数目为

dn—d

2徜PxA

在Py到Py+即),的范围内可能P),的数目为

dn^-dp

,2就

在p,到p°+dp,的范围内可能p,的数目为

L,

aJn.=----dp.

z2徜z

在体积V=Z7内，在Px到p*+dp,.,Py到Rr+dp,,,p：到％+dp：的动量范围粒子量

子态数为

dnxdnydn,=(^-ydpxdpy.dp,=-jdpxdpvdpz

2.7mn

微观粒子的运动必须遵守测不准关系，不可能同时具有确定的动量和坐标，所以量子态

不能用M空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义动量来描述量子态，那么一个

状态必然对应于〃空间中的一个体积元，而不是一个点，这个体积元称为量子相格。自山

度为1的粒子，相格大小为普朗克常数AqApa//,如果自由度为厂，相格大小为

△%…bqN\…”7Xh'

因此的含义为以空间体积丫3〃/〃3〃工中的量子态数。

在动量空间用球坐标P、。、夕描述粒子的动量和体元为

px=psin8cos0

py=psin。sin夕

p_-pcos。

d/i=p2sinOdpdOd(p

Px-Jp.

在体积v内，动量大小在p到〃+dp,方向在。到e+d。，夕到e+d°范围内，粒子量

子态数为

V2.

dn(p,O,(p)=—sin3dpd3d(p

n

在体积V内，动量大小在p到p+即，方向在全空间范围内，粒子量子态数为

dn（p）=jy£Jp~sin6dpd6d（p=p2dp

在体积V内，能量大小在£到£+1£,方向在全空间范围内，粒子的量子态数可由

£-p2/2m,p2=2ms,p-yj2ms,dp=Jm/2gde

得到D⑹de=平(2〃z严/A八

。（外表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为态密度。如果粒子的自旋不为零,

以上量子态数公式需乘以2。

6.3系统微观运动状态的描述

系统微观运动状态是指系统的力学运动状态。

全同的粒子组成的系统

就是由具有完全相同的属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统,

如自由电子组成的自由电子气体是全同的粒子组成的系统。

近独立的粒子组成的系统

是指粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以

忽略粒子之间的相互作用。近独立的粒子组成的系统的能量可以表达为单个粒子的能量之

和，

i=\

理想气体就是由近独立的粒子组成的系统。

系统微观运动状态的经典描述

单个粒子的经典运动状态，由r个广义坐标和r个广义动量来描述，当组成系统的N个

粒子在某一时刻的运动状态都确定时，也就确定了整个系统的在该时刻的运动状态。因此确

定系统的微观运动状态需要%,%2，…，外•，P”，Pn，…，P”.这2rN个变量来确定。

全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的）。

如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力

学运动状态是不同的。

第，个粒子和第j个粒子状态本来为（或国；2,…，成，P；”P；2,…，P。）和

（彘，力，…，琮，叫，P；2,…，P；r）如果将它们加以交换,系统运动状态是不同的。如下图：

交换前交换后

•个粒子在某时刻的力学运动状态可以在U空间中用一个点表示，由N个全同粒子组

成的系统在某时刻的微观运动状态可以在口空间中用N个点表示，那么如果交换两个代表

点在口空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。

系统微观运动状态的量子描述

全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换,

不改变整个系统的微观状态，此为微观粒子的全同性原理。

微观粒子可分为两类：

(1)玻色子：即自旋量子数是整数的粒子。

如光子自旋量子数为1、加介子自旋量子数为0,是玻色子

(2)费米子：即自旋量子数为半整数的粒子。

如电子、质子、中子等自旋量子数都是1/2,是费米子

复合粒子的分类：

凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子；由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子，由

奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。

如，I“原子、2”核、核、'He原子为玻色子

2"原子、3〃核、'He核、原子为费米子

费米子遵从泡利不相容原理，即在含有多个全同近独立费米子的系统中，占据一个个体

量子态的费米子不可能超过一个，而玻色子构成的系统不受泡利不相容原理的约束。费米子

和玻色子遵从不同的统计。

微观粒子还受到空间的限制，因而分为定域的和非定域的，定域系统可用粒子的位置来

分辨粒子，对于非定域系统，必须考虑微观粒子的全同性原理。

系统微观运动状态的量子描述是山系统的波函数或量子数来表征。对不同的系统来说,

对一确定的分布，其微观状态是不同的。我们主要研究由定域子、玻色子、费米子所组成的

系统。

玻尔兹曼系统(定域系统)

把由可分辨的全同近独立的粒子组成,且处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制的

系统称作玻尔兹曼系统。

玻色系统

把由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，不受泡利不相容原理的约束，即处在同…

个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻色系统。

费米系统

把由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成，受泡利不相容原理的约束，即处在同一个

个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子的系统称作费米系统。

由可分辨和不可分辨粒子组成的系统，在确定其微观状态数时方法有所不同。对于可分

辨的全同粒子，确定由近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个粒子的个体量子

态；对于不可分辨的全同粒子，确定系统的微观状态归结为确定每一个体量子态的粒子数。

下面以一例子来说明。

设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果这两个粒子是定域子、玻色子、

费米子时，试分别讨论系统各有那些可能的微观状态？

定域子属于玻尔兹曼系统，粒子可以分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数不受限制，

以A、B表示可以分辨的两个粒子，它们占据3个个体量子态可以有以下的方式：

量子态1量子态2量子态3

1AB

2AB

3AB

4AB

5BA

6AB

7BA

8AB

9BA

因此，对■于定域系统可有9种不同的微观状态。

玻色子属于玻色系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制,

由于不可分辨，令人=8,两个粒子占据3个个体量子态有以下的方式：

量子态1量子态2量子态3

1AA

2AA

3AA

4AA

5AA

6AA

因此，对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态。

费米子属于费米系统，粒子不可分辨，每个个体量子态最多能容纳一个粒子，两个粒子占

据3个个体量子态有以下的方式：

量子态1量子态2量子态3

1AA

2AA

3AA

因此，对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。

经典统计物理学

在经典力学基础上建立的统计物理学称为经典统计物理学。

量子经典统计物理学

在量子力学基础上建立的统计物理学称为经典统计物理学。

两者在原理上相同，区别在于微观状态的描述。

6.4等概率原理

宏观状态和微观状态的区别

宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如N、E、Vo

微观状态：由广义坐标和广义动量或一组量子数表示。

为了研究系统的宏观性质，没必要也不可能追随微观状态的复杂变化，只要知道各个微

观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。因此，确定各微观状态出现

的概率是统计物理的根本问题。

等几率原理：

对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。既然这

些微观状态都同样满足具有确定N、E.V的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概

率更大一些。这些微观状态应当是平权的。

等几率原理是统计物理学中的一个合理的基本假设。该原理不能从更基本的原理推出，

也不能直接从实验上验证。它的正确性在于从它推出的各种结论与客观实际相符而得到肯

定。

6.5分布和微观状态

设一个系统由大量全同的近独立的粒子组成，具有确定的粒子数N、能量E和体积匕

约束条件为：

E、N>V=Const»

N个粒子的在各能级的分布可以描述如下：

能级<?,,£2,£,...

简并度g,CD2,0)!...

粒子数a｝,a2,a,...

即，能级与上有q个量子态，为个粒子，以符号｛四｝表示数列q,a2,a,...,称

为一个分布。显然，对于具有确定的N,E,V的系统，分布必须满足

£%=N，>向=E

II

给定了一个分布，只能确定处在每一个能级句上的粒子数为,能级的简并度为回，它与微

观状态是两个性质不同的概念。微观状态是粒子的运动状态，即量子态。

分布只表示每一个能级上有几个粒子，如的=1,恁=4,…4=6,表示在第一个能级上

有1个粒子，在第2个能级上有4个粒子，在第3个能级上有6个粒子。如ai=O,a2=2,...

的=9,表示在第一个能级上有0个粒子，在第2个能级上有2个粒子，在第3个能级上有9

个粒子。

而微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它反映的是粒子运动特征。例如：在某一能

级上，假设有3个粒子，这三个粒子是如何占据该能级的量子态，也就是它的微观状态。

就一个确定的分布而言，与它相应的微观状态数是确定的。不同的分布，有不同的微观

状态数。如上边提到的分布｛1,4,6｝和｛0,2,9｝,它们分别有不同的微观状态数。

对于非定域系，确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数。因此

在分布给定后，为了确定非定域系的微观状态，还必须对每一个能级J确定为个粒子占据

其外个量子态的方式。对于定域系，确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子

态。因此在分布给定后，为了确定定域系的微观状态，还必须确定处在每一能级马上的是

哪4个粒子，以及在每一能级上为个粒子占据其助个量子态的方式。每一种不同的占据

方式都反映不同的运动状态。

下面我们将分别讨论玻耳兹曼系统（定域系统）、玻色系统、费米系统与一个分布相对应

的系统的微观状态数。

三种统计的微观状态数

同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统给出的微观状态数显然是不同的，

下面分别加以讨论：

1玻耳兹曼系统（定域系统）：粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则为粒子占据能级£,上的

例个量子态时，是彼此独立、互不关联的。分布相应的系统的微观状态数为:

,,M___

嫦=>n嫁'nMf!球na'"

I

。—FT

MB"为"/，

I

2玻色系统：粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。首先为个粒子占

据能级句上的q个量子态有（例+为-1）!/4!（助-1）!种可能方式。将各种能级的结果相

乘，就得到玻色系统与分布相应的微观状态数为：

口。。O□OQOOOQOOOO

,八/八，(<w+a,—1)!Tr(<y；+a—1)!

Q+…nQ+-1)!nz二0—"(…t

=n（—!

£a!（助-1）!

3费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。为个粒子占据能级

句上的例个量子态，相当于从例个量子态中挑出4个来为粒子所占据，有

g!/q!（q-4）!种可能的方式。将各能级的结果相乘，就得到费米系统与分布相应的微观

状态数为：

用!/4!（例_%）!=口助，~-

/—可）!

=]~[___如___

FDtz!（6>,-a,）!

如果在玻色系统和费米系统中，任一能级J上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即

±<<1（对所有能级）

g

称为经典极限条件，也称非简并性条件。经典极限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小

于量子态数。

此时有：

Q_口⑷+-_J-T（①/+%1）（例+6-2）…例媛'_QMB

a!（（y,-1）!；a!J菽一N!

Q=口例！=rjq⑷-1）…©一5+1）hp-r=Q..&

FD'IJalQ-aJ!a!a\N!

在玻色和费米系统中，。,个粒子占据能级J上的助个量子态时本来是存在关联的，但在满

足经典极限条件的情形下，由于每个量子态上的粒子数远小于1,粒子间的关联可以忽略。

这时Q&a=。尸八=2#，全同性的影响只表现在因子1/N!上。

经典统计中的分布和微观状态数

对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设AgApu%,这时经

典系统的一个运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小

的।…的「诙।…而，=%

表示经典系统的一个微观状态在H空间所占的体积，称为经典相格。这里/由测量精度决

定，最小值为普朗克常量。

现将〃空间划分为许多体积元,以句表示运动状态处在△助内的粒子所具有的能

量，内粒子的运动状态数为这样，N个粒子处在各Aq的分布｛%｝可表示

为

体积元△外，△七，•••

能级81、•••»%，

△四△口2Aa)[

简并度

稣

粒子数%,

由于经典粒子可以分辨，处在一个相格内的粒子个数不受限制，所以经典系统遵从玻耳

兹曼系统的统计规律，所以与分布｛用｝相应的经典系统的微观状态数为：

2!&叱

I

6.6玻耳兹曼分布

在上一讲中，我们得到了与一个分布相对应的系统的微观状态数。而且举例说明了对于

一个孤立系统的约束条件不变的条件下，即E、N、V=Consto对于不同的分布系统的微观

状态数是不同的。可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。

根据等几率原理，对处于平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态数的几率是相等的。

因此，微观状态数最多的分布，出现的几率最大，称为最可儿分布（最概然分布）。

下面推导玻耳兹曼系统（定域系统）粒子的最概然分布——玻耳兹曼分布。

斯太林公式：lnm!=w（lnm-1）

三种分布的推导

玻耳兹曼分布

A7I一

对两边取媚取对数得：

11%!/

/

InQ=InInq!+£为Incol

ii

N>>1,若假设源,3沁>1可得到：

In。=N(lnN-l)-^6zz(lnal-1)+^。/也乃

ii

=N[nN-^at\nat+^atinco,

ii

两边关于。/求变分，5InQ=-，Ina16al13al+£西

=->n（虫）血

/g

但这些为不完全是独立的，必须满足约束条件：

和向

N=£%E=£1a

ii

助则必须满足：m=£物=0和切=Z助与=。

//

为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为。和£分别乘以上

面两式，有aSN=，aS/=0和（36E=f[38a国=0,令bln£l=0,从中减去后两式

Ii

bln豆—aSN—优E=W[In（幺）+a+班/丛/=0

则有：ln（—）+a+=0,

p8l

助

即，4=32-。-网

上式给出了玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为玻耳兹曼分布。a和£分别山下面条件决

定

N=工3「网

I

E=工7①①”网

I

由玻耳兹曼分布a,=0,e-a-囱，每个量子态上的平均粒子数为土=e-a-网，这时下标改

例

为，，表征量子态的量子数。玻耳兹曼分布也可表示为处在能量为凡的量子态S上的平均粒

子数

£=e-m

a和£分别由下面条件决定

N=Zv

S

E=»L

s

说明

（1）InO取极大值的条件不仅要求blnQ=0,同时要求621no<0。

证明：对blnQ=-工山（幺）皿关于为再求变分，有

尸InQ=-迂皿当血=<o

(2)一个处在宏观平衡态的孤立系统可能给出的微观状态数为各种分布对应的微观状态数

的总和，其中最概然分布给出的微观状态数比其他分布给出的微观状态数大得多，因此可以

用最概然分布给出的微观状态数来近似系统总的微观状态数。

现将玻耳兹曼分布的微观状态数。与对玻耳兹曼分布有偏离△为3=1,2…)的一个

分布的微观状态数。+AO加以比较。对。+AO作泰勒展开，

1,

ln(Q+AQ)=lnQ+JlnQ+—J-lnQ+---

Q+AQ_1y(Ao,)2

n-Q--~2Ya,

假设对玻耳兹曼分布的相对偏离必〜IO",则

。+A。1十A%211n-10Ki

In-------=——>(一L)%=——xlON

Q21al2

Q+AQ5

对于N=1023的宏观系统，we-10'o这个估计说明，即使对最概然分布仅有极小

Q

偏离的分布，它的微观状态数与最概然分布给出的微观状态数相比也接近于零。

(3)斯太林公式lnm!=机(In机-1)要求为〉>1,实际情况往往不满足。

(4)以上理论可以推广到含有多个组元的情形。

经典统计中玻耳兹曼分布的表达式

a一网

L/

a和£分别由下面条件决定

N=\也e-*网

-a-%

6.7玻色分布和费米分布

上节已经求出了玻耳兹曼系统的最概然分布,本节将推导玻色系统利费米系统中粒子的

最概然分