物理力学课件

谈对牛顿第二定律的理解和应用

一、牛顿第二定律的内容和表达式

1.内容：物体的加速度跟所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，且

加速度的方向与合外力的方向相同。

2.表达式：F=ma

二、牛顿第二定律的理解

1.瞬时性：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，力和加速度同时存在、同

时变化、同时消失。

2.矢量性：F=ma是一个矢量表达式，加速度a和合外力F的方向始终保持

一致。

3.独立性：物体受几个外力作用，在一个外力作用下产生的加速度只与此

外力有关，与其他力无关，合加速度和合外力有关。

4.同一性：加速度和合外力对应于同一研究物体，即F、a、m针对同一对

象0

三、牛顿第二定律的适用范围

牛顿运动定律只适用于解决宏观物体的低速运动问题，它是经典力学的基

础。所以作为其中之一的牛顿第二定律也同样如此，只在惯性系中才成立。

四、牛顿第二定律的常规应用

利用牛顿第二定律有利于解决两类问题：

1.根据物体的受力情况判断物体的运动情况；

2.根据物体的运动情况判断物体的受力情况。

五、牛顿第二定律的正交分解

当物体在不同方向上同时受到三个以上的力的作用，或者加速度方向与任何

一个力都不在同一直线上时，直接利用牛顿第二定律往往较为复杂。此时，可以

5工=ma

<x

对牛顿第二定律进行正交分解，其正交分解表示为：1£%=溶叼。

对牛顿第二定律进行正交分解，在建立直角坐标系时，通常可以分为以下两

种情况。

1.分解力而不分解加速度

例1.如图1所示，质量为m的物体在倾角为&的斜面上，物体与斜面间的

动摩擦因数为〃，如沿水平方向加一个力F,使物体以加速度a沿斜面向上做匀

加速直线运动，则F的大小是多少？

图1

解析：物体受到四个力的作用：推力F、重力mg、弹力N和摩擦力f,如图

2所示。

以沿斜面向上为x轴正方向建立直角坐标系，分解F和mg,则有

x轴方向上：^cosor-wgsina-/=wa

y轴方向上：凶一冽gcosa-Fsin)=0

又/=可

F_+gsina+应cosa)

解得cos&sin&

2.分解加速度而不分解力

例2.如图3所示，电梯与水平面的夹角为30°,当电梯向上运动时，人对

6

电梯的压力是其重力的5倍，则人与电梯间的摩擦力是重力的多少倍？

解析：人在电梯上受到三个力的作用：重力mg、支持力N、摩擦力3如图

4所示，以水平向右为x轴正方向建立直角坐标系，分解加速度如图5所示，并

根据牛顿第二定律列方程有

-------------►-------------►

fx

',摩-az

图4图5

a*=cos300

a,.=«sin300

'点由方向上：y=我以cos300

<

房由方向上：N-mg-masin30°

工=走

解得侬5

在利用牛顿运动定律进行正交分解时，究竟是分解力还是分解加速度，要灵

活掌握。为了解题方便，应尽可能减少矢量的分解。通常是分解力而不分解加速

度，只有在加速度和几个力既不在一条直线上又不垂直的时候才分解加速度而不

分解力。

六、牛顿第二定律的整体应用

牛顿第二定律的整体应用就是对一个系统应用牛顿第二定律，当系统内的几

个物体具有不同的加速度时，牛顿第二定律的表达式为=的“2+…。

例3.一根质量为M的木棒，上端用细绳系在天花板上，棒上有一只质量为

m的猴子，如图6所示，如果将细绳剪断，猴子沿木棒向上爬，但仍保持与地面

间的高度不变。求这时木棒下落的加速度。

///////

图6

解法一（常规解法——隔离法）：

猴子和木棒的受力情况如图7所示，猴子相对地面的高度不变、保持静止,

即受力平衡，木棒具有加速度，根据牛顿第二定律有

猴子木棒

mgrf

图7

猴子：/一馆=0

木棒：/'+浜=Ma

由牛顿第三定律得

解得木棒的加速度为

_+㈤g

一M一,方向竖直向下。

解法二(整体法)：

把猴子和木棒看成一个整体，受力情况如图8所示，在这个整体中猴子受力

平衡，木棒具有加速度，根据牛顿第二定律有

,〃吠

UMg

图8

Mg+mg-Ma

解得木棒的加速度为

_(M+m)g

河，方向竖直向下。

通过比较可以看到，灵活的应用整体法，有时会比采用隔离法更加简单、方

便。

七、利用牛顿第二定律解决物体的瞬时加速度问题

例4.如图9所示，天花板上用细绳吊起两个用轻弹簧相连的质量相同的小

球A、Bo两个小球均保持静止。当突然剪断细绳时，小球A与小球B的加速度

分别是多少？

\\\\\\\\\\\\\

AV

K

O

B

图9

解析：分别以A、B为研究对象，做剪断前和刚剪断时的受力分析如图10所

示。剪断前A、B静止，A球受拉力F、重力mg和弹力F'三个力作用；B球受弹

力F'和重力mg两个力，根据受力平衡有

ABA'B'

F4

F'FL，

mg,mgumgvmgw

F1.F,v

图10

A球：

B球：尸一摩=0

解得F=2侬，F'=mg

刚剪断时，绳子的拉力立即消失，弹簧由于在剪断瞬间还来不及发生变化而

保持不变，A球受重力mg、弹力F'两个力，B球受力情况保持不变。

根据牛顿第二定律有

A球：mg+F'=maA

B球：Ffg=『

解得%=2g（方向竖直向下）,n=°。

整体法与隔离法的综合应用

在研究静力学问题或力和运动的关系问题时，常会涉及相互关联的物体间的

相互作用问题，即“连接体问题”。连接体问题一般是指由两个或两个以上物体

所构成的有某种关联的系统。研究此系统的受力或运动时，求解问题的关键是研

究对象的选取和转换。一般若讨论的问题不涉及系统内部的作用力时，可以以整

个系统为研究对象列方程求解——“整体法”；若涉及系统中各物体间的相互

作用，则应以系统某一部分为研究对象列方程求解——“隔离法”。这样，便

将物体间的内力转化为外力，从而体现其作用效果，使问题得以求解，在求解连

接问题时，隔离法与整体法相互依存，交替使用，形成一个完整的统一体，分别

列方程求解。

在静力学中的应用

在用“共点力的平衡条件”求解问题时，大多数同学感到困难的就是研究对

象的选取。整体法与隔离法是最常用的方法，灵活心交替的使用这两种方法，就

可化难为易，化繁为简，迅速准确地解决此类问题。

例1.在粗糙的水平面上有一个三角形木块，在它的两个粗糙的斜面上分别

放置两个质量为曲和m2的木块，加1＞的，如图1所示，已知三角形木块和两个

物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块（）

A.在摩擦力作用，方向水平向右；

B.有摩擦力作用，方向水平向左；

C.有摩擦力作用，但方向不确定；

D.以上结论都不对。

图1

解析：这个问题的一种求解方法是：分别隔离皿、m2和三角形木块进行受力

分析，利用牛顿第三定律及平衡条件讨论确定三角形木块与粗糙水平面间的摩擦

力。

采用整体法求解更为简捷：由于皿、012和三角形木块相对静止，故可以看成

一个不规则的整体，以这一整体为研究对象，显然在竖直平面上只受重力和支持

力作用，很快选出答案为D。

例2.如图2所示，重为G的链条（均匀的），两端用等长的轻绳连接，挂

在等高的地方，绳与水平方向成6角，试求：

（1）绳子的张力；

（2）链条最低点的张力。

解析：（1）对整体（链条）分析，如图3所示，由平衡条件得2FsinO=wg①

F_mg_G

所以2sin92sin6

（2）如图4所示，隔离其中半段（左边的）链条，由平衡条件得

Feos8=F1②

由①②得2sme2

例3.有一个直角支架AOB,A0水平放置，表面粗糙，0B竖直向下，表面光

滑，A0上套有小环P,0B上套有小环Q,两环质量均为m,两环间有一根质量可

忽略，不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图5所示，现将P环向左移

一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态相

比较，A0杆对P环的支持力时和细绳上的拉力耳的变化情况是（）

A.尸w不变，斗变大；

B.%不变，&变小；

C.即变大，尸r变大；

D.尸w变大，弓变小。

解析：先用隔离法，对环Q：因0B杆光滑，故细绳拉力耳的竖直分量等于

环的重力，当P环向左移动…小段时，细绳与竖直方向的夹角变小，故细绳的拉

力可变小。

再用整体法。对两环和细绳构成的系统，竖直方向只受到0A杆的支持力与

和重力，故在P环向左移动一小段距离后，/保持不变，故应选B。

点评：（1）绳的拉力还可用极端法分析，当P环移到最左端0时-，％最小,

%=。当环移到细绳接近于水平时，耳趋于无穷大，故知，环p向左移动,

%变小。

（2）我们还可以隔离环P,分析其受到的摩擦力的变化情况，P环左移，％

变小，细绳与0A的夹角变大，故％的水平分量变小，P环的静摩擦力变小。

例4.如图6所示，人重600N,平板重400N,若整个系统处于平衡状态，则

人必须用多大的力拉住绳子？（滑轮和绳的质量及摩擦不计）

图6

解析：设定滑轮两边绳中的张力为F”动滑轮两边绳中的张力为F”板对人

的支持力为R。

解法1：把定滑轮下方的各物体组成一个整体，这一整体受力如图7所示，

由平衡条件得

2F、=G入=1000发

图7

所以用=50027

再以动滑轮为研究对象，受力如图8所示，由平衡条件得

2玛=芭

图8

所以用=250葡

解法2：以人为研究对象，受力如图9,由平衡条件得

玛+%=仃人①

八

♦G人

图9

以板为研究对象，受力如图10,由平衡条件得

用+玛=G板+%1

②

图10

又玛r=

片=2玛④

解①②③④可得招=250V

解法3：选人和板构成的系统为研究对象，受力如图11所示，由平衡条件得

用+为+居=仃人+G板

氏=2玛②

由①②可解得用=25027

二.在动力学中的应用

在运用牛顿运动定律处理连接体问题时，尸=曲中的F指的是合外力，对

于连接体问题，若将连接体作为整体，则不必分析连接体之间的相互作用，只需

分析外界对连接体物体的作用力，从而简化受力过程，加快解题速度，这就是所

谓的“整体法”；题中若求解连接体物体之间的相互作用力，这时必须将物体隔

离出来，化内力为外力，才能求解，这就是“隔离法”。“整体法"和''隔离法"

在求解连接体问题中经常交替采用，此类问题的特点是相互作用的物体具有相同

的加速度，这一点特别重要。

例5.如图12所示，两个用轻线相连的位于光滑平面上的物块，质量分别为

nh和m2。拉力K和Fz方向相反，与轻线沿同一水平直线，且耳>居。试求在两

个物块运动过程中轻线的拉力％o

图12

解析：设两物块一起运动的加速度为a,则对整体有用一片=（的+的）。

对n有用一片二的口

%=一居+的-

解以上二式可得「梏+的

点评：该题体现了牛顿第二定律解题时的基本思路：先整体后隔离-------

即一般先对整体应用牛顿第二定律求出共同加速度，再对其中某一物体（通常选

受力情况较为简单的）应用牛顿第二定律，从而求出其它量。

例6.如图13所示，叠放的a、b、c三块粗糙物块，其上面的接触处均有摩

擦，但摩擦系统不同，当b物体受到一水平力F作用时、a和c随b保持相对静

止，做向右的加速运动，此时（）

A.a对c的摩擦力的方向向右；

B.b对a的摩擦力的方向向右；

C.a对b、a对c的摩擦力大小相等；

D.桌面对c的摩擦力大于a、b间的摩擦力。

图13

解析：本题考查运动学与动力学结合问题及“整体法”与“隔离法”的综合

应用。根据物体的运动情况判断物体的受力情况，再根据物体间的相互作用关系

判断另一物体的受力情况。

解此题的关键是选好研究对象。先隔离c物体，受力如图14所示，整体向

右做匀加速运动，因此a对c的摩擦力方向向右，所以A正确；再隔离a物体，

根据牛顿第三定律，c对a的摩擦力方向向左，而a的加速度方向向右，根据牛

顿第二定律可知，b对a的摩擦力方向应向右，并且取＞其&,故B正确，而C

不正确；通过研究c物体可以看出，桌面对c的摩擦力用'小于a、c间的摩擦力

F”，故久〈尸厮〈凡z,故D不正确。

a

图14

本题正确选项为AB。

例7.如图15所示，物体M与m紧靠着置于动摩擦因数为"的斜面上，斜面

的倾角为6,现施一水平力F作用于M,M和m共同向上加速运动，求它们之间

相互作用力的大小。

图15

解析：两个物体具有共同的沿斜面向上的加速度，所以可以把它们作为一个

整体，其受力如图16所示，建立图示坐标系，由牛顿第二定律得：

氏=(M+zw)gcose+Fsin6①

图16

Feos6-玛一(舷+掰)gsin9=+喻a

且居=第

为求两个物体之间的相互作用力,把两物体隔离开，对m受力分析如图17

所示，由牛顿第二定律得

用'一加geos9=0④

即一用'-mgsin9-ma⑤

且玛.陷，⑥

解①〜⑥式可得

mFgs6一〃sm?

点评：本题是斜面上的连接体问题，主要考查牛顿第二定律和动摩擦力知识

的应用，整体法与隔离法的结合应用是解答本题的切入点。

提升解决力学问题的三种基本功

高中物理是对思维能力要求较高的一门学科。在学习高中物理过程中应针对

其特点，采取相应的思维策略和学习方法，才能不断地提高物理思维能力，达到

事半功倍的效果。高一的力学是高中物理的基础，也是学好高中物理的关键所在。

在这一时期同学们尤其要着力提升解决力学问题的三种基本功。

1.受力分析

在解决各种力学实际问题时，要首先善于选择研究对象。究竟是选定某一物

体，还是物体系统（整体），要根据问题的物理情景和解题目标来定。并要能熟

练掌握受力分析的''隔离法”和“整体法”。若要求解系统内物体间的“内力”，

必须进行“隔离”。对隔离出的物体来说，此时系统的内力即转化为该物体的外

力。一般均要作出研究对象的受力示意图。只有在正确分析研究对象受力情况的

基础上，才能明确相应运动情况和选取相应规律，使问题得到解决。

2.运动过程分析

对于各种力学问题，其中的研究对象在一定的力作用下都要展现一个运动过

程，即区别出初态、运动过程和末态。一个过程，往往因受力的变化，又可分成

若干子过程。所以一般要根据实际情况画出运动过程示意图，再结合受力情况选

取相应规律求解。

3.矢量（力F、速度V、位移s、加速度a）的运算处理

（1）互成角度的矢量合成与分解——平行四边形定则和三角形定则。在进

行矢量合成或分解时;应明确物体遵循力和运动的“独立性原理”，特别注意不

少情况下是对瞬时矢量进行合成或分解。

（2）力的正交分解合成时，要善于根据实际受力情况选定互相垂直的坐标

轴，应使较多的力沿坐标轴。

（3）在一条直线上的各矢量，要善于在规定正方向后，以“十”、“一”

号代表矢量方向，从而把矢量运算简化成代数运算求解。

例1.如图1所示，固定在水平地面上的斜面倾角为0。斜面上放一个带有支

架的木块，木块与斜面间的动摩擦因数为U。如果木块可以沿斜面加速下滑，且

这一过程中小球相对于支架静止时，则悬挂在支架上的小球悬线和竖直方向的夹

角a为多大？

解析：题意要求小球相对于支架静止，说明两者具有相同的加速度。故可视

小球、支架及木块为一整体，求出小球运动的加速度。由于最终是要求出小球悬

线与竖直方向的夹角，显然要隔离小球进行分析研究。而小球所受的两个力又不

在同一条直线上，所以需要利用正交分解法来解决有关问题。

视小球、支架及木块为一整体，设其质量为M,则由牛顿第二定律可得加速

度

a=[Mgsin0-/2Mgcos/M=gsind-坦cos6

FT

X，-a*

如“

a的

'J

图2

隔离小球，对小球进行受力分析如图2所示。建立图示的坐标系，x轴沿水

平方向，y轴沿竖直方向。将沿斜面向下的加速度a分解，有

a=acosd,a=asind

Aryv

设悬线上的张力为斗，小球的质量为m。对x和y方向由牛顿第二定律分别

有

FTsina=max=macosd

mg-Frcosa=may=masin0

联立以上几式可得：

tana=(sin0-〃cos6)/(cos6+/sin0)

点评：隔离法和整体法是分析解答力学问题的基本方法，这两种方法常结合

起来，交替运用，能有效、快捷地解决问题。此外。恰当地选取坐标轴的方向也

十分重要，它将直接影响解答过程的繁简。若本题将坐标轴选在沿斜面方向和垂

直斜面方向，则大大增加了运算过程的难度。在坐标轴的选取上，应尽量避免和

角、差角的出现。

例2.如图3所示，在水平地面上竖直放置一根劲度系数为k的轻弹簧，其自

然长度为BD。在其上方距弹簧顶点高度=%的A处，有一质量为m的物体从

静止开始自由下落，物体落到弹簧上并把弹簧压缩到最短至C处。试分析：物体

从A处开始下落到降至最低点C处的过程中物体的运动情况？

A回v=0

B).BJ

:

一

n

图3

解析：（1）物体由A到B,只受竖直向下的重力作用，加速度为g,做自由

落体运动；

（2）物体由B到C还要受到逐渐增大的弹簧对物体竖直向上的弹力作用。

若物体到达0点时所受重力、弹力大小相等，对物体由B到。过程中，由牛顿第

二定律有

mg-kx-ma

xf-aJ,但a与v同向，v继续增大，做加速度减小，速度增大的变加速

直线运动；

（3）在0处活8=京1，a=°,即物体在0处速度达到最大心；

（4）物体由0到C过程中，由牛顿第二定律有

kx-mg=ma

xT-»aT,但a与v反向，v减小，做加速度增大，速度减小的变减速直线

运动。

（5）在C处，区「唯=用那（此时竖直向上的最大瞬时加速度％>>g,

你能证明吗？），速度为最小，vc=°。

谈摩擦力的学习

摩擦力是学生进入高中后的第一个“拦路虎”，同学们普遍感到摩擦力难学、

难记、难理解，对相关问题感到无所适从，也是考试中的“事故高发区”。而摩

擦力在力学中又占有重要地位，如何学好摩擦力呢？笔者认为，有关摩擦力的学

习主要应从以下几个方面入手。

一、深刻理解摩擦力产生的条件

摩擦力产生的条件是：

1、接触面不光滑（/0°）；

2、相互接触的物体间有弹力存在（0）；

3、物体间存在相对运动或相对运动趋势。

以上三个条件，缺一不可。学生对第一个条件注意的较多，而对第二个条件

容易忽视，如板擦紧贴在黑板上，放开手让其沿黑板卜一滑，由于黑板与板擦间无

弹力，所以无摩擦力。条件3中的相对运动比较容易判断，而“相对运动趋势”，

是指以相互接触的两个物体中的一个为参照物，另一物体有相对于该物体的运动

趋势。此类问题的判断可先假设接触面光滑，再通过判定物体间有无相对运动来

判断，也可假设摩擦力存在，看是否符合题意。

例1：如图1所示，三个物体A、B、C叠放在一起，现施加一个力F作用于

B上，A、B、C仍静止，则关于A、B、C所受摩擦力，下列说法正确的是：（）

图1

A.A受一个摩擦力B.B受一个摩擦力

C.A不受摩擦力D.C受一个摩擦力

解析：此题的关键是A所受摩擦力的判断可由物体的平衡条件判断，由于A

静止，所受合力为零，竖直方向上的重力与支持力合力为零，则水平方向不受摩

擦力作用（即A、B间不存在相对运动趋势）。B所受合力为零，则B受到C给B

的一个静摩擦力，而C物体必定受到两个摩擦力，分别为B和地面施加的。故选

BC项。

二、正确判定摩擦力的方向

滑动摩擦力的方向与物体的相对运动方向相反（但是不一定与物体运动方向

相反）；静摩擦力的方向总是沿着接触面，与物体的相对运动趋势方向相反。

例2：女阕2所示，在拉力F的作用下，A、B一起在水平地面上做匀速运动,

试判断A、B间的摩擦力方向。

A------

B

7777777777777777777777

图2

解析：对于A来说，它在水平方向受到向右的拉力F而处于平衡状态，由平

衡条件知，A必然受到沿A、B接触面向左的静摩擦力/切作用。由于物体B相对

地面向右滑动，所以B受到地面向左的滑动摩擦力丁皿作用，由平衡条件知在A、

B接触面上，B一定受到向右的静摩擦力题作用。A、B的受力示意图如图3所

示。

fB

J胞―

7777777777777777777777

图3

若将力F作用于物体B上，A、B一起在水平地面上运动时，对A来说，它

在水平方向如果受到B对A的静摩擦力，则A的受力平衡将无法满足，即此时

■/期=0。B受向右的拉力F和地面对B向左的滑动摩擦力/防作用而处于平衡状

态。

三、准确计算摩擦力的大小

在计算摩擦力之前，必须分析物体的运动情况，判明物体受到的是静摩擦力

还是滑动摩擦力。若是滑动摩擦力，应用F=W计算；若是静摩擦力，应利用

平衡条件或牛顿运动定律进行计算。

例3、如图4所示，物体m放在一个木板上，木板与水平面的夹角由0°逐

渐增大到90°的过程中（缓慢地绕支点0转动），木板对木块的摩擦力：（）

图4

A.不断增大B.不断减小

C,先增大后减小D,先减小后增大

解析：木板水平时，物体与木板之间无相对运动的趋势，故物体不受摩擦力。

木板抬起后，重力与支持力不再平衡，重力沿斜面向下的分力使物体产生下

滑的趋势，物体受到摩擦力。在物体未滑动之前，物体受到的是静摩擦力。随着

木板的逐渐抬高，重力沿斜面向下的分力逐渐增大，故物体受到的静摩擦力逐渐

增大。（注意：此时物体对木板的压力是逐渐减小的）

当重力沿斜面向下的分力超过最大静摩擦力时，物体开始滑动，受到滑动摩

擦力。随着木板的继续抬高，物体对木板的压力逐渐减小，故物体受到的滑动摩

擦力逐渐减小。（注意：此时重力沿斜面向下的分力是逐渐增大的）

故选C项。

点评：在摩擦力问题的分析中，一定要首先注意物体所受的是静摩擦力还是

滑动摩擦力。巧解“变力做功”

应用做功公式印=国85&来解题时，公式中的F只能是恒力，如果F是变

力，就不能直接用公式^=^scosa来求变力做功，此时可以根据题中给出的条

件，进行适当变换处理。现结合几例，介绍几种常见的求解变力做功的方法。

将变力做功转化为恒力做功

例1.如图1所示，用恒力F通过光滑定滑轮，把静止于水面上的物体从位

置A拉到位置B,物体可视为质点，定滑轮离水平面高度为h,物体在位置A、B

时细绳与水平面的夹角分别为%'%,求绳的拉力对物体做的功。

/，////

JAMB:

图1

解析：设绳对物体的拉力为4,显然人对绳的拉力F也等于斗。由于可在

对物体做功过程中，虽大小不变，但方向在变化，它对A做功的分力大小也在变

化，故无法用取=Fscos6直接求解绳的拉力对物体做的功。而对人绳的拉力F

大小方向都不变，因此只要将绳对物体做功转化为人拉绳做功，则待求问题就会

迎刃而解。由于物体从A位置到B位置绳缩短了1singsin%),故绳对

物体所做的功为：

粤=苏=劭(一/-」^|

Isin%sin)

用公式用=田求解

例2.质量为5x105炮的机车。以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重

的0.06倍，机车经过5min速度达到最大值108km/h,求机车的功率和机车在这

段时间内所做的功。

分析：因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引

力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。

在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此机车做功不能直

接用配=Fscosa来求解，但可用公式用=田来计算。

解：根据题意，机车所受阻力%=叱，当机车速度达到最大值时，机车

功率为：

F=尸%/=

1noin3

=0.06x5x1。5*I。*x空」x-取=9*IO)5取

3600

根据印=用，得机车做功：

f7=9xl06x3007=2.7xlO9J

三.利用动能定理

例3.如图2所示，一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂在。点，小球

在水平拉力F的作用下，从平衡位置A点缓慢地移到B点，则力F所做的功为：

AmgLcos0B用-cos^

C.FLsin&；D.FL9

分析：小球从A点拉到B点时，受重力，绳子的拉力和水平拉力F,由受力

分析知夕=侬1领0,随。的增大，尸也增大，故F是变力，因此不能直接用

W=尸scosS公式。

解：从A缓慢拉到B,由动能定理得：

图-%=纵+%

因为小球缓慢移动，速度可视为零，即：

WF=%=wg£(l-cos6)

选B。

四.利用功能关系求解

例4.如图3所示，均匀铁链长为L,平放在距地面高为巴=2上的光滑桌面

1

上，其中5悬垂于桌边，从静止开始释放，当铁链全部离开桌面的瞬间，其速度

为多少？

图3

L

解析：设铁链质量为5，悬挂于桌边的5的铁链的重心距地面高为

19£AL

10,其余5的铁链的重心距地面的高度为2L。

取地面为零势能面，则刚释放铁链时及铁链全部离开桌面的瞬间，铁链的重

力势能分别为：

=4cr119Z99r

iin=-mgx2L+-mgx——=—wgL

<113375

E=mg\2L--LJ=—mgL=—mgL

n2

设铁链全部离开桌面的瞬间，铁链速度为V,重力做功等于势能变化

再根据动能定理得

12

En-sn=-mv

12卬口99『75「24「

5*=E八-En=而侬-十gL=云侬

v=—V^3gL

所以50

例5.如图4所示，质量均为m的a、b两球固定在轻杆的两端，杆可绕点0

在竖直面内无摩擦转动，两球到点0的距离£】＞4。将拉杆至水平时由静止释

放，则在a下降过程中：（）

A.杆对a不做功；

B.杆对b不做功；

C.杆对a做负功；

D.杆对b做负功。

Lii.S

1।

图4

解析：b球受到重力和杆对它的作用力，运动过程中克服重力做了功，其机

械能反而增加了这一定是杆对它做了正功。

a、b两球和杆组成的这个系统，在绕点0无摩擦转动过程中机械能守恒。b

球的机械能增加，则a球的机械能必减少，由功能转化关系可知杆对a做了负功。

故只有选项C正确。

例6.有n块质量均为m,厚度为d的相同砖块，平放在水平面上，现将它们

一块一块地叠放起来，如图5所示，人至少做多少功？

图5

解析：外力做功的数值等于克服重力做功的数值，等于重力势能的增加量:

d•%.mgnd

"-2—，%=».nmS

W=En-En=^-mgd

五.利用图象求功

例7.某人从井口匀速提水，水面距井口〃=1g，水和桶共重200N,提桶

的绳子长10m,重20N,求提上一桶水人做多少功？

解析：在提水的过程中，人的拉力是变力，属于变力做功问题，虽不能直接

用取=Fscosa,但可转化为F-s图线进行计算，开始提桶时，拉力大小等于桶

重和全绳重220N,随着桶的上升，拉力减少，拉力F与绳上升的位移s的关系

是尸=220-2s,作出图线，如图6所示，图线与坐标轴包围的面积值就是人做

功的数值，所以人做功：

f7=2,1x103J

图6

六.用平均力的方法求变力的功

当作用在物体上的力的方向不变，其大小随位移作线性变化时，可用力对该

段位移的平均值代替定义式中的值求功。

例8.如图7所示，轻质弹簧的自然长度为4,劲度系数为晨现有水平推

力F推弹簧，使弹簧缩短4x,求推力的功。

图7

解析：推力与弹簧力相等。由胡克定律F=以知，当x=0时，网=0；当

x=M时，玛=私"显然弹簧被压缩Ax的过程中的平均推力为：

F=」——工=—kLx

22

12

用=尸&=上如2

所以推力功为2

七.用微元法求变力的功

例9.如图8所示，质量为m的质点在力F的作用下沿半径为R的圆运动一

周。若F的大小不变，方向始终与圆相切（与速度方向相同），则在该质点运动

一周的过程中，F做了多少功？

FA

>

图8

解析：由于质点在沿圆弧运动一周的过程中，F的方向时刻与速度的方向相

同，因此可将圆分割成许多极短的小圆弧（微元）加1'及2、境3…&*。由于每

一段极短的弧都可视为一段极短的直线且与速度方向一致，故该质点运动做的功

分别为：

△/=Eks1cos00=ELS1

=FAS2COS00=FAS2

LW—FLscos00=

所以在该质点运动一周的过程中，F对质点做的总功：

印=&跖+的+训+—+△%

=F©S\+AS2+△为+…+△$&）=2曲R

力学规律的优选策略

理科综合命题，以学科内综合为主，优选合理的物理规律使高考综合题迅速

高效地实现突破，是学生最感棘手的难点之一。

例1.如图1所示，一质量为m的小球，在B点从静止开始沿半球形容器内

壁无摩擦地滑下，B点与容器底部A点的高度差为h。容器质量为M,内壁半径

为R，求:

（1）当容器固定在水平桌面上，小球滑至底部A时，容器内壁对小球的作

用力大小。

（2）当容器放置在光滑的水平桌面上，小球滑至底部A时，小球相对容器

的速度大小，容器此时对小球的作用力大小。

命题意图：考查机械能守恒定律及其应用，动量守恒定律及其应用，相对运

动知识及牛顿第二定律，在能力上主要考核分析、理解、应用能力。

v

FT-fng=m—

错解分析：在用牛顿第二定律列出我后，要理解V是指m相对

球心的速度。而许多考生在第(2)问中将小球相对于地面的速度匕代入，导致

错解。

解题方法与技巧：(1)m下滑只有重力做功，故机械能守恒，即有

噂卜=；尔’,v2=2gh

因为底部A是圆周上的一点，由牛顿第二定律，有

V2

FT-mg=w—

v22gh2h

FT=mg+=mg+=冽g(l+—)

(2)容器放置在水平桌面上，则m与M组成的系统在水平方向不受外力，

故系统在水平方向上动量守恒；又因m与M无摩擦，故m与M的总机械能也守恒。

令m滑到底部时，m的速度为匕，M的速度为匕。

由动量守恒定律得

0=加匕+MV2(1)

由机械能守恒定律得

11

mgh=-wv；0+—Mv；0(2)

联立⑴⑵两式解得

2ghM2ghM

v

i=m+M'2M\m+M

小球相对容器的速度大小

12g双加+醛)

v'=VJ-VJ

由牛顿第二定律得

2ghim+M)2h(m+M)

=mg+mmg[1+

RM~RM-

例2.质量为m的物体A,以速度也从平台上滑到与平台等高、质量为M的静

止小车B上，如图2所示，小车B放在光滑的水平面上，物体A与B之间的滑动

摩擦因数为〃,将A视为质点，要使A不致从小车上滑出，小车B的长度L至少

应为多少？

命题意图:考查对A、B相互作用的物理过程的综合分析，及对其中隐含条

件的挖掘能力。

错解分析:不能逐段分析物理过程，应选择恰当的规律使问题求解简便化。

解题方法与技巧

解法一、力的观点

取向右为正方向，对A、B分别用牛顿第二定律

-/Jmg=maA,fJmg=Ma£

应用加速度的定义式M=上之V

aB=二

由牛顿第三定律有肱23=-maA(1)

由以上各式解得

wv0m

V=办=一应，应应

M+mQ=

由运动学公式

对4/_诏=2〜(Z+s)(2)

2

对3：v'=2ass(3)

联立⑴⑵(3)可解得£=

2〃g(M+㈤

解法二、功能关系与动量守恒定律

对A、B系统运用动量守恒定律

mv0=(M+m)v'(1)

由功能关系

11

/^ngL=万wvg0—万(M+啕30(2)

联立（1）⑵两式，解得£=

2〃g(M+㈤

解法三、用“相对运动”求解

位移、加速度、速度都是相对地面（以地面为参照物），本题改为以B为参

照物，运用A相对于B的位移、速度和加速度来求解。取向右方向为正，则A

相对B的加速度

由运动学公式得g-诏=2aML

L=zzL=7=麻

-2。J_2建-2生/g-2（M+M限

M

解决动力学问题，一般有三种途径：

（1）牛顿第二定律和运动学公式（力的观点）；

（2）动量定理和动量守恒定律（动量观点）；

（3）动能定理、机械能守恒定律、功能关系、能的转化和守恒定律（能量

观点）。以上这三种观点俗称求解力学问题的三把“金钥匙”。

三把“金钥匙”的合理选取：

研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系时（或涉及加速度），

一般用力的观点解决问题；研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变

时一，一般选用动量定理，涉及功和位移时优先考虑动能定理；若研究的对象为一

物体系统，且它们之间有相互作用时，优先考虑两大守恒定律，特别是出现相对

路程的，则优先考虑能量守恒定律。一般来说，用动量观点和能量观点比用力的

观点解题更为简便，因此在解题时优先选用这两种观点；但在涉及加速度问题时

就必须用力的观点。有些问题，用到的观点不只一个，特别像高考中的一些综合

题，常用动量观点和能量观点联合求解，或用动量观点与力的观点联合求解，有

时甚至三种观点都采用才能求解，因此，三种观点不能绝对化。

简谐运动的特征及其分析方法

一、简谐运动特征

1.动力学特征：?回=一以，注意k不等同于弹簧的劲度系数，是由振动装置

本身决定的常数；动力学特征也是判断某机械运动是否为简谐运动的依据。

_尸回_k

a-二——x

2.运动学特征：演活，此式表明加速度也跟位移大小成正比，并

总指向平衡位置。由此可见，简谐运动是一变加速运动，且加速度和速度都在做

周期性的变化。

3.能量特征：/=£》+名8机械能守恒，注意振动物体通过平衡位置时势能为

零的说法不够确切，应说成此位置势能最小。

4.对称特征：关于平衡位置对称的两点艮。、V、"等物理量的大小相

等，此外还体现在过程量上的相等，如从某点到平衡位置的时间和从平衡位置到

与该点关于平衡位置对称点的时间相同等等。

二、简谐运动的分析方法

1.判断振动是简谐运动的思路：正确受力分析；找出平衡位置（尸回=°）；

设物体偏离平衡位置位移为x,找到正回=一以，即可得证。

2.判断简谐运动的程1'眼丫、E?、&K变化的思路：

位移入（%=-义回复力晶（a=%”加速度a——,

L势能斗（机械能守恒）动能服回=wv2/2）速度vJ

->----------->

运动方向和加速度方向

例如图所示，一个质点在平衡位置0点附近做简谐运动，若从0点开始计

时，经过3s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点:；

则该质点第三次经过M点所需的时间是o

a0Mb

解析：设图中a、b两点为质点振动过程中的最大位移处，若开始质点从0

T

点向右运动，0-M历时3s,M-b-M历时2s,则w=4s,T=16s,质点第三次

经过M点所需时间

t=16s—2s=14so

若开始计时时刻质点从0点向左运动，Ofa-OfM历时3so