充分条件、必要条件、充要条件 高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

§2.2充分条件、必要条件、充要条件第一章常用逻辑用语学习目标1.理解充分、必要条件与充要条件的概念.2.掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法.3.会对某些命题的充要条件进行证明.观察下列命题，回答问题：(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)如果x>2,那么x>3；(4)如果a>b且c>0，那么ac>bc.01新知引入真真真假问题1：分别判断这四个命题的真假.问题2：这四个命题有什么共同特征？1.命题的形式：如果p,则q.2.若“如果p,则q.”是真命题，记作：p⇒q，读作：p推出q若“如果p,则q.”是假命题，记作：p⇏q，读作：p推不出q知识要点02新知探索——充分条件、必要条件这四句表述表达同一逻辑关系，只是说法不同而已.注意当p⇒q时，称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当p⇏q时，称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.以下四句表述是什么关系？(1)“如果p,那么q”是真命题(2)p⇒q(3)p是q的充分条件(4)q是p的必要条件填空：02如果x=-y，则x2=y2是

命题.x=-y

x2=y2，x=-y是x2=y2的

条件，x2=y2是x=-y的

条件.

真真充分必要充分必要⇒⇒新知探索——充分条件、必要条件02x＞3

x＞2x＞3是x＞2的

条件.想一想充分x＞2

x＞3x＞3不是x＞2的

条件.综上所述，x＞3是x＞2的

条件.必要充分不必要定义：如果p⇒q且q⇏p,则称p是q充分不必要条件.⇏⇒新知探索——充分不必要条件02尝试与发现仿照上述做法，给出p是q的必要不充分条件的定义，并给出具体实例加以说明.定义：如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.

例如：x(x-1)=0是x=0的必要不充分条件.

新知探索——必要不充分条件02定义：如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件（简称为充要条件），记作：

p⇔q，同理，如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件.当然，p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”.想一想充分必要条件怎样表述？新知探索——充要条件03温馨提示(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇏q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇏q，且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．新知探索——充要条件充要条件用集合的知识来理解：充要条件还与数学中的诸多定义有关.详见课本32页A=B02新知探索——充要条件

例1下列所给的各组，p,q中，p是q的充要条件的有哪些？(1)p:x=2,q:x²-x-2=0；(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形；(3)p:同位角相等，q:两条直线平行；(4)p:四边形是平行四边形，q:四边形的对角线互相平分.03新知巩固经典例题03新知巩固解

(1)∵p⇒q，∴p是q的充分条件(2)∵p⇏q，∴p不是q的充分条件(3)∵p⇒q，∴p是q的充分条件(4)∵p⇒q，∴p是q的充分条件例2

下列所给的各组，p,q中，p是q的必要条件的有哪些？(1)p:|x|=1,q:x=1；(2)p:两个直角三角形全等,q:两个直角三角形的斜边相等；(3)p:同位角相等，q:两条直线平行；(4)p:四边形是平行四边形，q:四边形的对角线互相平分.03新知巩固经典例题03新知巩固解

(1)∵q⇒p，∴p是q的必要条件(2)∵q⇏p，∴p不是q的必要条件(3)∵q⇒p，∴p是q的必要条件(4)∵q⇒p，∴p是q的必要条件观察例1(3)和例2(3)、例1(4)和例2(4)，可以发现，其中既有p⇒q，也有q⇒p.例3

指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p:两个三角形全等,q:两个三角形对应角相等；(2)p:三角形的三边相等,q:三角形是等边三角形；(3)p:a²=b²，q:a=b；(4)p:x＞y，q:x²＞y².03新知巩固经典例题03新知巩固解

(1)∵p⇒q，q⇏p∴p是q的充分不必要条件.(2)∵p⇒q，q⇒p∴p⇔q，p是q的充要条件.(3)∵p⇏q，q⇒p∴p是q的必要不充分条件.(4)∵p⇏q，q⇒p∴p是q的必要不充分条件.04课堂小结命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系及符号表示由p通过推理可得出q，记作：p⇒q

由p不能通过推理得出