齐次多目标规划的特殊问题

齐次多目标规划的特殊问题

首先，本文考虑了以下需求的有效解（弱）解，并考虑了以下需求。其中都是连续可微的函数,Ψ是一个开锥.本文研究齐次规划的特例,即齐次多目标规划.线性规划和半正定规划问题是齐次规划问题的特例,二次规划和其它一些特殊的非线性规划也可转化为齐次规划.齐次规划的许多性质已经得到深入研究,有兴趣的读者可参阅相应文章本文随后考虑一种特殊的情形其中都是连续可微的p次函数,Ψ是一个开锥.在问题(1)中引入变量u和参数α(0≤α≤1)稍作修改得辅助问题其中本文揭露出问题(1)和问题(2)KKT点之间的一一对应的关系和解之间的关系,最后将所得的结论推广到不等式约束和齐次度不同的函数的齐次多目标规上.对任意n维向量我们规定(ⅰ)x=y当且仅当x并记为(VP)的可行集.定义1令C=R定义2令C=R引理1使得以上三式称为问题(VP)的KKT条件.设x命题1若x证明将问题(1)改写成如下形式则该优化问题的广义函数为不妨令ξ该优化问题的KKT条件为λ≥0,ξ0.因为f可得因为p>0,所以整理化简上面的KKT条件得λ≥0,ξ0.因为x命题2若(x,u)∈D,(x,u)是(2)的KKT点,而(λ,ξ,ω)∈R下面的定理揭示出问题(1)和问题(2)KKT点之间一一对应的关系.定理1假设是Ψ上连续可微的p次正齐次函数.(ⅰ)若x是相应的Lagrange-KKT乘子,那么是(2)的KKT点,是相应的Lagrange-KKT乘子.(ⅱ)若(x,u)是(2)的KKT点,是相应的Lagrange-KKT乘子,如果u>0,则故x是(1)的KKT点,(λ,ξ)是相应的LagrangeKKT乘子.证明若x若(x,u)=(x(ⅰ)若x满足(8)至(11),所以,是(2)的KKT点,是相应的Lagrange-KKT乘子.(ⅱ)若(x,u,λ,ξ,ω)满足条件(8)至(11),现在证明(x由假设u>0,所以u+α>0,则(8)变为满足(6).又由于uω=0,u>0,所以ω=0.将上式代入(9)得因为λ≥0,所以此时,(10)变为(7).故x是(1)的KKT点,(λ,ξ)是相应的Lagrange-KKT乘子.基于上面的结果,下面的结论揭示出f定理2如果是Ψ上的连续可微的p次正齐次函数,则x是(2)的弱有效解.证明可令是(1)的可行集,而j=1,2,…,m}是(2)的可行集.1)必要性若x不是(2)的弱有效解,则存在(x,u)∈D使得成立.且由得到这意味着(u+α)当u因为f从而有这与x是(2)的弱有效解.2)充分性如果(x因为u此即这与(x是(2)的弱有效解.则x定理1的结论可以推广到不等式约束和目标函数和约束函数具有不同的齐次度的情况.现考虑下面的优化问题:其中,是连续可微的p次正齐次函数,而是连续可微的q在(12)中引入变量u,得到下面的辅助问题:其中I=(1,1,…,1).下面的定理揭示出(12)和(13)的KKT点之间的联系.定理3假设分别是Ψ上连续可微的p次,q(ⅰ)若x是(13)的KKT点,是相应的Lagrange-KKT乘子.(ⅱ)若(x,u)是(13)的KKT点,是其Lagrange-KKT乘子,并且如果则有因此x是(12)的KKT点.(λ,ξ)是相应的LagrangeKKT乘子.证明令q因(x,u)是(13)的KKT点,则有:(ⅰ)若x满足(17),(19),(20).当u=1-α,λ=λ由(14)得由(15)知因为所以(18)成立.故是(13)的KKT点,是相应的Lagrange-KKT乘子.(ⅱ)若(x,u)是(13)的KKT点,满足条件(17)至(20)和因为u>0,所以ω=0.由(17)知满足(14).将代入(18)得由(19