2022-2023学年山东省烟台市莱州重点中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.函数，则()

A.B.C.D.

2.设函数，且，则()

A.B.C.D.

3.已知函数，且，则实数的值等于()

A.B.C.D.

4.下列求导运算正确的是()

A.

B.

C.

D.

5.“”是“函数的定义域为”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.若直线与曲线为自然对数的底数相切，则()

A.B.C.D.

7.已知函数与其导函数的图象如图所示，则函数的单调递减区间为()

A.和B.C.和D.

8.实数，，满足，，，则，，的大小为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象，根据图象判断以下说法正确的是()

A.曲线在附近增加

B.曲线在附近减少

C.曲线在附近比在附近增加的缓慢

D.曲线在附近比在附近增加的缓慢

10.已知是定义在上的函数，函数的图象关于轴对称，函数的图象关于原点对称，则下列说法正确的是()

A.B.函数的周期

C.函数关于点中心对称D.

11.下列关于函数，下列说法正确的是()

A.为偶函数B.在上单调递减

C.的值域为D.的值域为

12.已知函数，若，其中，则()

A.B.

C.D.的取值范围为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数的定义域为，若，则的取值范围是______．

14.函数在区间上的最小值是．

15.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是______．

16.已知直线与函数和分别交于，两点，若的最小值为，则________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知函数是上的奇函数，当时，．

当时，求解析式；

若，求实数的取值范围．

18.本小题分

已知函数在与时都取得极值．

求、的值与函数的单调区间；

若对，不等式恒成立，求的取值范围．

19.本小题分

已知函数．

若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；

若函数不存在减区间，求实数的最大值．

20.本小题分

某工厂某种产品的年产量为件，其中，需要投入的成本为，当时，万元；当时，万元若每一件商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

写出年利润万元关于的函数解析式；

年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

21.本小题分

已知函数，其中．

若在上单调递增，求实数的取值范围；

对，，使得，且，求实数的取值范围．

22.本小题分

已知函数．

证明：在区间存在唯一的极值点；

试讨论的零点个数．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由，

可得，

故选：．

由函数的解析式可得，再求出其值即可．

本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：根据题意，函数，则，则有，

若，即，

解可得：；

故选：．

根据题意，求出函数的导数，进而可得的值，由导数的定义可得，解可得的值，即可得答案．

本题考查导数的计算以及极限的性质，注意导数的定义，属于基础题．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了函数求值问题，考查求函数的解析式问题．

求出函数的解析式，得到关于的方程，解出即可．

【解答】

解：令，则，

则，

则，

解得：，

故选D．

4.【答案】

【解析】

【分析】

对每个选项的函数求导即可．

本题考查了基本初等函数、积的导数和复合函数的求导公式，本题考查了计算能力，属于中档题．

【解答】

解：，A错误；

，B错误；

，C正确；，D错误．

故选：．

5.【答案】

【解析】解：当时，恒成立，即满足题意；

当时，要使函数的定义域为，

则，解得，或，无解，

综上，函数的定义域为，则，

所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件．

故选：．

根据充要条件的定义，判断即可．

本题考查充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：，

设切点为，则，解得，．

故选：．

设切点为，然后根据切点在曲线上、切点处的导数值等于切线斜率，列出方程组即可求出的值．

本题考查导数的几何意义，利用切点处的导数值等于切线斜率、切点是公共点，列方程是此类问题的思路．属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：结合图象：和时，，

而，

故在，递减，

故选：．

结合函数图象，求出成立的的范围即可．

本题考查了函数和导函数关系和图象相关知识，中档题．

8.【答案】

【解析】解：设，则，

令，得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

由条件可知，

又，，，

故有，，，

作出函数草图，可知，，，由．

故选：．

构造函数，利用其单调性判定即可．

本题考查导数的综合应用，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：对于、选项，由图象可知，在与附近均增加，故A正确，B错误；

对于、选项，由图象及二次函数的单调性可知，

与均在对称轴左侧，函数单调递增，

但增加的趋势逐渐趋于平缓，且，，故C错误，D正确．

故选：．

根据二次函数图象及导数的几何意义一一判断即可．

本题考查函数图象及其运用，考查数形结合思想，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：因为是定义在上的函数，函数的图象关于轴对称，函数的图象关于原点对称，

所以的图象关于对称且关于对称，即，C正确；

所以，，

则，

所以，

所以，即函数的周期，B正确；

，D正确，

无法推出，A错误．

故选：．

由已知结合函数的对称性及周期性分别检验各选项即可判断．

本题综合考查了函数的奇偶性，周期性的应用，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：根据题意，函数，其定义域为，

又由，为偶函数，选项A正确．

当时，，易得在上单调递减，选项B正确．

当时，为单调递减函数，则，

因为函数为偶函数，当时，，选项D正确，不正确．

故选：．

根据题意，利用函数奇偶性的定义可判断；去绝对值分离常数可得函数的单调性即可判断；根据单调性与奇偶性可判断、，综合可得答案．

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数单调性的判定，属于基础题．

12.【答案】

【解析】解：因为，所以，

令，解得或，

当时，或，所以单调递增区间为和；

当时，，所以单调递减区间为，的图象如右图所示，

，则，，故A错误；

又，所以，

即，

对照系数得，故选项C正确；

，故选项D正确；

因为，所以，解得，故选项B正确．

故选：．

对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断，；结合和即可判断．

本题考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．

13.【答案】或

【解析】解：时，，且，

，解得；

时，，不满足题意，不存在；

时，，且，

，解得，

综上得，的取值范围是．

故答案为：．

可讨论，和，然后解出定义域，根据即可求出的取值范围．

本题考查了函数定义域的定义及求法，分类讨论的思想，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查导数的计算，关键是正确计算函数的导数，并由此分析函数的单调性，属于基础题．

根据题意，对函数求导可得，分析可得时，在上恒大于，即可得在区间上为增函数，则有，代入计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数，

则其导数，

当时，，

则，

在区间上为增函数，

．

故答案为．

15.【答案】

【解析】解：当时，由于为上的增函数，其值域为；

当时，是顶点为，且开口向上的抛物线，对称轴．

若，则二次函数的最小值为．

要使的值域为，只需：，解得：．

所以；

若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为．

要使的值域为，只需：，解得：．

所以；

综上所述：实数的取值范围是．

故答案为：

先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可．

本题考查分段函数的值域，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查用导数研究函数单调性和最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

设，，则，表示出，求出，利用导数，结合最小值也为极小值，解方程可得，进而得到，求出．

【解答】

解：设，，可设，

则，

，

，

令，

则，

由的最小值为，

可得，

函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，函数取得极小值，且为最小值，

即有，

解得，

此时，

则，

可得．

故答案为．

17.【答案】解：根据题意，当时，，则，

又由为奇函数，则，

故当时，，

根据题意，当时，，

函数和在区间都是增函数，则在为增函数，

又由为奇函数，则在上为增函数，

，

解可得：，

故的取值范围为．

【解析】根据题意，当时，，求出的表达式，由奇函数的性质分析可得答案，

根据题意，由函数的解析式可得在上为增函数，结合函数的奇偶性与单调性可得原不等式等价于，解可得的取值范围，即可得答案．

本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．

18.【答案】解；，，

由条件可得，解得

，

函数的单调区间如下表：

极大值极小值

所以函数的递增区间是和，递减区间是．

，

当时，为极大值，而，所以为最大值．

要使对恒成立，须且只需．

解得或．

即的取值范围为．

【解析】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．

求出，因为函数在与时都取得极值，所以得到且联立解得与的值，然后把、的值代入求得及，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；

根据函数的单调性，由于恒成立求出函数的最大值值为，代入求出最大值，然后令列出不等式，求出的范围即可．

19.【答案】解：因为，

所以，

所以函数的图象在处的切线的斜率为，

又，

因为切线方程为，

所以，

解得，．

若函数存在减区间，则在有解，

即在有解，

令，

，

令得，

所以在上，单调递减，

在上，单调递增，

所以，

所以，

所以实数得最大值为．

【解析】求导得，由导数的几何意义可得函数的图象在处的切线的斜率为，又，则，解得，，即可得出答案．

若函数存在减区间，则在有解，即在有解，即可得出答案．

本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

20.【答案】解：由题意知；

当时，，

在上单调递增，上单调递减，

时，万元；

时，单调递增，

万元；

，

，即年产量为件时，利润最大为万元．

【解析】利润等于销售收入减去投入成本，根据产量的范围列出分段函数解析式；

当时，利用导数法求最值，当时，利用函数的单调性求最值．

本题考查了函数模型的选择及应用，考查了分段函数的值域的求法，训练了利用导数法求最值，是中档题．

21.【答案】解：因为当时，单调递增，

又因为在上单调递增，

所以当时，也必须单调递增，

又因为当时，，

所以在上恒成立，

所以；

当时，由可知，若在上单调递增，不满足，

所以．

此时当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

因为，，

所以，

又，所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，

即2，在上恒成立．

所以，即，

令，

转化为在上恒成立．

因为，

当时，，，在上单调递减．

所以，满足题意，

当时，时，，在上单调递增，

所以，不满足题意．

综上所述，的取值范围为：．

【解析】由题意可得当时，单调递增，所以当时，也必须单调递增，故根据在上恒成立求解即可；

由可知，当时不满足题意，当时，将问题转化为，令，求导，分，讨论即可得答案．

本题考查了函数的单调性、恒成问题，也考查了转化思想、导数的综合应用，综合性较强，属于难题．

22.【答案】证明：，在上恒成立，

所以在单调递减，

当时，，，

所以存在唯一的，使得，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以在上存在唯一的极大值点；

解：由知，在函数单调