现代控制理论控制系统状态空间模型课件

现代控制理论现代控制理论第一章控制系统的

状态空间模型§1-1状态及状态空间表达式§1-2由微分方程求状态空间表达式§1-3由传递函数求状态空间表达式§1-4状态方程的线性变换第一章控制系统的

状态空间模型§1-1状态及状态空间表达§1-1.状态及状空间表达式

在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一整套新的理论。它的数学模型就是状态空间表达式。一.状态及状态空间

1.状态：什么叫系统的状态呢？ 定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。注意：§1-1.状态及状空间表达式 在现代理论当中，由于引﹡完全描述：若给定t=t0时刻这组变量的值（初始状态）又已知t≥t0时系统的输入u(t)，则系统在t≥t0

时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。

﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量﹡完全描述：若给定t=t0时刻这组变量的值（初始状态）又u(t)RC2C1C3i1i2i3

在t=t0时，若已知uc1(t0),uc2(t0),uc3(t0)和u(t),则可求得输出y(t),(t≥t0)故可选uc1(t),uc2(t),uc3(t)作为状态变量。u(t)RC2C1C3i1i2i3在t=t0时，若已

但因uc1+uc2+uc3=0显然他们是线性相关的，因此，最小变量组的个数应是二。 一般的： 状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数

=系统的阶数﹡状态变量是具有非唯一性的：如上例中，最小变量组是2个独立变量，可在uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。 但因uc1+uc2+uc3=0显然他们是线性相关3.状态空间：定义：由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表示出来，称为状态矢量又表示为：x(t)∈Rn[x(t)

属于n维状态空间]3.状态空间：又表示为：x(t)∈Rn[x(t)4.状态轨线：定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间变化的规律。例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10,x20,x30。在u(t)作用下，系统的状态开始变化，运动规律如下：

引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。4.状态轨线：引入状态矢量后，则状态矢量的端现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件二.状态空间表达式它是一组一阶微分方程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描述。

1. 建立方法： 例1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式.y(t)F(t)Kf弹簧-质量-阻尼器系统二.状态空间表达式y(t)F(t)Kf弹簧-质量-阻尼器系统解：列基本方程：选择状态变量：取：故得：解：列基本方程：选择状态变量：取：故得：

将以上方程组写矩阵形式即 将以上方程组写矩阵形式即

系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法

1.首先根据基本规则列基本方程；

2.选择系统的状态变量；（按状态定义选）

3.列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运2.一般形式：

对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入，m个输出）多输入多输出系统对象输出元件u1

u2

urx1

x2

xny1

y2

ym

2.一般形式：对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，其中：C-输出矩阵m×n阶常数矩阵D-直连矩阵m×r阶常数矩阵其中：C-输出矩阵m×n阶常数矩阵现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件

3.一般线性时变系统：区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分方程)4.非线性定常系统: 3.一般线性时变系统：区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变6.线性系统状态空间表达式的简便写法：对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:∑=(A,B,C,D)——定常∑=(A(t),B(t),C(t),D(t))——时变5.非线性时变系统：6.线性系统状态空间表达式的简便写法：5.非线性时变系统：三.线性系统的结构图 根据线性系统的状态空间表达式的一般形式：

按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。三.线性系统的结构图按单变量系统的结构图绘制原则，A(t)D(t)C(t)B(t)∫dt++++XY(t)u(t)结构图：A(t)D(t)C(t)B(t)∫dt++++XY(t)u(在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图例：单输入－单输出系统在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，a11c1b1b2a22a21a12c2∫dt∫dt+++++x1x2ya11c1b1b2a22a21a12c2∫dt∫dt++++

由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。下面举例说明：例：试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机MRa

uaLa

ia

Uf=constEaJ:电动机轴上的转动惯量f:负载的阻尼摩擦性质MRauaLaiaUf=constEaJ:电动机解：由基本规律列写原始方程：电路方程：解：由基本规律列写原始方程：电路方程：选状态变量:故得状态方程：选状态变量:故得状态方程：而输出方程为：最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图而输出方程为：最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图11+++u(t)x1x2x3++Y(t)11+++u(t)x1x2x3++Y(t)

小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入—输出描述更近了一步。1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段：即u(t)状态方程输出方程x(t)Y=CX+DuY(t) 小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增加变复杂，其形式是一致的。2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的§1-2.微分方程与状态空间表达式之间的变换

对于单输入单输出系统，描述其运动规律的数学模型有三种常用形式： 这三种形式是可以相互转换的，下面讨论它们与状态空间表达式之间的相互转换，本节讨论微分方程与状态空间表达式的相互转换。§1-2.微分方程与状态空间表达式之间的变换 对于

一.输入项中不含有导数项：

假设单输入单输出线性系统的微分方程为：

一.输入项中不含有导数项：

其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一行元素与方程系数对应，而其余各元皆为零。D=0无直联通道， 其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件

二.输入项中包含有导数项：

二.输入项中包含有导数项：

以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变:将是高阶脉冲函数，从而不能唯一确定系统的状态，因此在这种情况下，不能用相变量来求解该系统运动，而应寻求一种方法，使方程中不含输入u的导数项。方法很多，下面介绍一种常用方法：方法二： 首先引入中间变量z，令： 以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变:

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这种形式的状态空间表达式中A,B,所具有的特殊形式，称为能控标准型。

注：以上D-E的规定形式中左端，首项系数为1，变换时应注意整理。这种形式的状态空间表达式中A,B,所具有的特殊形例将以下高阶微分方程：试用方法二写出其状态空间表达式。解：按方法二可得：例将以下高阶微分方程：解：按方法二§1.3由传递函数求状态空间表达式T-FD-ES-E

传递函数是经典理论中数学模型的主要形式。传递函数可由实验的方法来确定。 根据前面介绍的微分方程与状态空间表达式之间的变换关系，若已知传递函数，可首先把传递函数变成微分方程，然后由微分方程与状态空间表达式的变换关系。求出状态空间表达式。§1.3由传递函数求状态空间表达式T-F一、传递函数中没有零点时的变换传递函数为：系统的微分方程为：则根据上节公式，可直接写出状态空间表达式。即：一、传递函数中没有零点时的变换传递函数为：系统的微分方程为：传递函数也可分解成下图所示的结构。传递函数也可分解成下图所示的结构。选状态变量为：对应的状态空间表达式为：选状态变量为：对应的状态空间表达式为：

其中阵和阵为规范形式，这是能控标准形实现。它的模拟电路图如下图所示：能控标准形实现的模拟图其中阵和阵为规范形式，这是能控标准形实现。它的模二、传递函数中有零点时的变换传递函数为：微分方程为：则根据上节公式，可直接写出能控标准形。即：二、传递函数中有零点时的变换传递函数为：微分方程为：则根据上

从传递函数的角度分析，这实际上是一种分子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：从传递函数的角度分析，这实际上是一种分子与分母直式中

分解式第一部分是系统结构决定的。描述系统的自由运动规律。当选中间变量z及z的各阶导数为一组相变量形式时。得到的状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。式中分解式第一部分是系统结构决定的。描述系统的自由

分解式第二部分表示状态变量与输出的关系，输出y等于相变量组各变量与输入的线性组合，即式中的C和D阵。若传递函数等效为：分解式第二部分表示状态变量与输出的关系，输出y等于相式中此时，式中的C阵和D阵可直接写成：

由此画出的系统计算机模拟图如图所示。式中此时，式中的C阵和D阵可直接写成：由此画出的系统计算机模

能控标准形实现模拟图能控标准形实现模拟图例:已知系统的传递函数：试按能控标准形实现写出状态空间表达式。解：由公式写出能控标准形为：1例:已知系统的传递函数：若将传递函数化成严格真有理分式，则按简化公式可得：

，若将传递函数化成严格真有理分式，则

一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶次，则b0=0,传递函数为严格真有理分式形式，即，，式中是任意常系数。同样按以上方法C阵可以写成此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入无直接关系。1一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶次，则b0=试按能控标准形实现写出状态空间表达式。解：将传递函数整理成标准形式按上式写出能控标准为：例：已知系统的传递函数试按能控标准形实现写出状态空间表达式。解：将传递函数整理现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件§1.4由传递函数部分分式法求状态空间表达式

本节主要介绍如何由传递函数的分解构造状态空间表达式的方法。这种方法称为部分分式法。下面根据传递函数极点的两种不同情况分别加以讨论。§1.4由传递函数部分分式法求状态空间表达式本节1.传递函数无重极点的情况： 给出T-F:

其中：

1.传递函数无重极点的情况：拉氏反变换得：令状态变量的拉氏变换为：拉氏反变换得：令状态变量的拉氏变换为：

而由输出可得：所以：反变换得： 而由输出可得：所以：反变换得：

可见，各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解。对应的状态结构图如下： 可见，各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解。对应的状

注意：若对于m=n时的一般真有理分式。需要将T-F化为严格真有理分式的形式后再进行变换。即：则：存在输出到输入的直连通道。 注意：若对于m=n时的一般真有理分式。需要将T-F化为严格例：已知求S-E解：先化为真有理式

例：已知求S-E 2.传递函数有重极点时 设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为： 2.传递函数有重极点时

其中： 即： 其中：

设状态变量为： 设状态变量为：现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件又又3.对于即有单根，又有重根的情况： 可根据以上两种情况写出矩阵A.B.C.

例：设T-F为

解：3.对于即有单根，又有重根的情况：得：得：§1-5.由结构图建立状态空间表达式：一、若已知闭环系统的结构图，则由结构图直接建立系统的状态空间表达式。举例说明建立方法：例：已知某系统的结构图如下：

试建立系统状态空间表达式。§1-5.由结构图建立状态空间表达式：一、若已知闭环系统

解：（1）首先将结构图中每个方框的T-F分解为单环节的组合。即仅由惯性环节和积分环节的简单形式组合： 方框图分解为：（2）将每一个基本环节的输出设为状态变量（如上图） 解：（1）首先将结构图中每个方框的T-F分解为单环节的组（3）写状态空间表达式。反变换 （3）写状态空间表达式。二、基本环节结构图分解1、一阶环节U(s)Y(s)二、基本环节结构图分解1、一阶环节U(s)Y(s)现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件2、二阶环节

U(s)Y(s)2、二阶环节U(s)Y(s)U(s)Y(s)根据分子分母分离法按图中状态变量显然输出方程为:U(s)Y(s)根据分子分母分离法按图中状态变量显然输出方U(s)Y(s)U(s)Y(s)现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件

前面介绍了由D-E，T-FS-E的方法。作为数学模型的各种形式，是可以相互转换的。下面介绍一种简便的由S-ED-E，T-F的方法： 拉氏变换法： 设单变量系统的状态空间表达式为： 零初始条件下，取拉氏变换，对S-E.

§1.6由状态空间表达式转换为传递函数：P54前面介绍了由D-E，T-FS-E的方

再对输出方程取拉氏变换.1.求T-F.

2.求D-E

由 对上式进行反变换即得D-E。显然是方程的特征多项式。例：已知： 试求：D-E和T-F2.求D-E解：解：现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件

故：

T-F

又 反变换得D-E：

注：这种方法是根据状态方程和输出方程两部分共同来写D-E和T-F的。U 故：§1-7状态方程的线性变换P40

如前所述，一个n阶系统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。一.线性变换的概念

1.定义：状态与的变换，称为状态的线性变换．由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：§1-7状态方程的线性变换P40 如前所述，一其中Ｐ为任何非奇异阵。2.基本关系式:

设一个n阶系统，状态矢量为x,其状态空间表达式为

现取线性变换为

,其中:Ｐ是

阶非奇异阵。代入上述表达式，得其中Ｐ为任何非奇异阵。2.基本关系式:

比较可得：可见，满足上述条件的变换矩阵P有无穷多。故状态变量不是唯一的。

比较可得：可见，满足上述条件的变换矩阵P有无穷多。故状态变例:试建立下面RLC网络的状态空间表达式：解：根据电路原理，得基本方程例:试建立下面RLC网络的状态空间表达式：解：根据电路原理现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件4.验证两状态空间表达式的变换关系4.验证两状态空间表达式的变换关系

经变换后的状态为：对应的变换矩阵为： 经变换后的状态为：对应的变换矩阵为：现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件

二.状态变换的基本性质

1.系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。有关特征值的概念是从线性代数中提出的。 下面复习一下线性代数的几个定义。﹡λ-矩阵——用参数λ的多项式做元的矩阵叫做

λ-矩阵。常数可看做λ的零次多项式。二.状态变换的基本性质叫做A的特征矩阵﹡特征矩阵——设常数矩阵那么λ-矩阵叫做A的特征矩阵﹡特征矩阵——设常数矩阵

特征多项式——特征矩阵的行列式

是首项系数为1的λ的n次多项式，叫做A的特征多项式，其中特征根叫做A的特征根。 显然：﹡n阶矩阵有n个特征根（实根和共轭虚根）

﹡因为多项式的常数项为若A是降秩的，特征根中有零根。 特征多项式——特征矩阵的行列式用以上概念讨论下列齐次线性方程组：

其有非零解的充要条件是则又称为矩阵A的特征方程，其根的特征值下面给出系统特征值的定义定义：线性定常系统的状态方程为系统矩阵A的特征值，称为系统的特征值。用以上概念讨论下列齐次线性方程组：下面给出系统特征值的定义2.基本性质：定理：状态变换不改变系统的特征值。 证明：若能证明

则可以证出矩阵A和的特征值必然相等 2.基本性质：

由于线性定常系统，系统的特征值决定了系统的基本特性。因此，线性变换不能改变系统的基本特性。 例：试求系统矩阵的特征值。并说明经过线性变换后，其特征值的不变性。解：由于线性定常系统，系统的特征值决定了系统的基本特性。因此若取变换矩阵和分别为若取变换矩阵和分别为现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件三.一类重要的线性变换——化A阵为对角形或约当标准形

条件：设系统的特征值为

1. 若互不相同： 定理：线性定常系统，若其特征值互不相同，则必存在一非奇异矩阵P，通过线性变换，使A阵化为对形。

三.一类重要的线性变换——化A阵为对角形或约当标准形现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件即：即：

注：A

阵转化为对角形以后。状态方程中，各状变量间的耦合关系即随之消除，称之为状态解耦。由定理知，将A阵化为对角形的关键就是求转化阵P。下面介绍两种求P

阵的方法：注：A阵转化为对角形以后。状态方程例：设系统的状态方程为：

试求将A阵变换为对角阵后的状态方程.

3.由各特征矢量构成P阵：解例：设系统的状态方程为：3.由各特征矢量构成P阵：解现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件方法二：对正则形式下矩阵A的变换阵定理：线性定常系统，若A阵具有以下形式：方法二：对正则形式下矩阵A的变换阵22例：系统状态空间表达式为：试变换为对角线标准形。例：系统状态空间表达式为：试变换为对角线标准形。特征值为：系统矩阵A为友矩阵，则变换阵P可取范德蒙阵，即：,解：系统特征方程为：特征值为：系统矩阵A为友矩阵，则变换阵P可取范德蒙阵，即：现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件经线性变换后系统状态空间表达式为：经线性变换后系统状态空间表达式为：2.A阵有相重特征值：（P444.）若A阵具有重特征值，又可分为两种情况来讨论：*1）A阵有重特征值，但A仍有n个独立的特征向量，此时仍可把A化为对角形，方法同情形1。例：已知矩阵将A化为对角形或约当形。2.A阵有相重特征值：（P444.）例：已知矩阵将A化为现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件

可等效为方程组： 可等效为方程组：现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件*2）A有重特征值，但A的独立特征矢量个数小于系统的阶数n，此时A不能转化为对角形。但一定可以转化为以下约当标准形：*2）A有重特征值，但A的独立特征矢量个数小于系统的阶数

化约当标准形的问题比较负，复杂，下面只讨论一种最简单的情况： 定理：若A阵具有特征值，且对应于每个互异的特征值的独立特征矢量的个数为1时，则必存在一非奇异矩阵Q，可使A阵化为约当标准形，即

化约当标准形的问题比较负，复杂，下面只讨论一种最简单的

确定变换阵Q的方法：方法一： 确定变换阵Q的方法：现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件例：

1.，2为2重根，即代数重数为2，独立特征向量个数(几何重数)为：，必存在广义特征向量。例：1.，2为2重根，即代数重数为2，独立特征向量个数现代控制理论控制系统状态空间模型ppt课件

见P45式2-51 见P45式2-51

方法二：若A阵具有如下标准式：并且对应于重特征值只能求得一个独立的特征向量，则化为约当标准形的变换为方法二：若A阵具有如下标准式：并且对应于重特征值只能求得 Q阵的规律可表示为： Q阵的规律可表示为： 例：已知系统矩阵试化A为约当标准形。解：求特征值例：已知系统矩阵试化A为约当标准形。解：求特征值得：取Q阵为：得：取Q阵为：所以，A的约当形为：所以，A的约当形为：1.8多变量系统的传递函数阵

一.传递矩阵的概念

1.传递函数阵的概念 在经典理论中，我们常用传递函数来表示单入、单出线性定常系统输入—输出间的传递特性。其定义是：零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。 即或1.8多变量系统的传递函数阵一.传递矩阵的概念

对于双输入—双输出系统(见下页图)。按输入的叠加性，将输出分别用两个方程表示出。如：u1(s),u2(s)为输入，y1(s),y2(s)为输出。Gij表示第i个输出与第j个输入之间的传函。 对于双输入—双输出系统(见下页图)。按输入的叠加性，将表示成矩阵形式：表示成矩阵形式：

则G(s)称为系统的传递函数阵或称传递矩阵。 对于多输入，多输出线性定常系统，也可把传递函数阵的概念如上推广。 设系统有r个输入变量，m个输出变量。 则传递矩阵的形式为：即则G(s)称为系统的传递函数阵或称传递矩阵。即U(s):输入矢量.Y(s):输出矢量E(s):误差矢量G0(s):前向通道的传递矩阵H(s):反馈通道的传递矩阵F(s)2.闭环传递函数矩阵：

系统闭环传递函数的概念也可推广到多输入—多输出系统中，称为闭环传递矩阵。设多输入—多输出闭环系统如下：由结构图知：U(s):输入矢量.F(s)2.闭环传递函数矩阵：系而所以闭环传递矩阵为：故左乘逆阵得而所以闭环传递矩阵为：故左乘逆阵表示第i个输出其中：2).传递矩阵是一个m×r阶矩阵，其一般形式为：1).传递矩阵是传递函数在多变量系统中的推广。它描述了输入矢量与输出矢量之间的传递特性。注意矢量不能写成的比值形式。也不能任意交换运算顺序。如：几点讨论：表示第i个输出其中：2).传递矩阵是一个m×r阶矩阵，其一

可见，所谓解耦，即表示系统的第i个输出只与第i个输入有关。与其它输入无关，实现了分离性控制。3).若传递矩阵是方阵(m=r),通过适当线形变换化为对角形，称为传递矩阵的解耦形式。与第j个输入之间的传递函数。显然：一般情况下第i个输出要由r个输入共同作用下，通过叠加得到，这是一种交叉耦合关系。可见，所谓解耦，即表示系统的第i个输出只与第i个输入有例：机械位移系统设系统原处于静止状态。输入：F1,F2

输出：Y1,Y2求传递矩阵。二.传递函数的求法：1.由微分方程的拉氏变式求传递矩阵.例：机械位移系统二.传递函数的求法：1.由微分方程的拉氏变式解：写微分方程写成矩阵形式：设初始条件为零，取拉氏变换：解：写微分方程写成矩阵形式：设初始条件为零，取拉氏变换：得设零初始条件，取拉氏变换.2.由状态空间表达式求传递函数阵：S-ET-M

已知多输入—多输出线形定常系统的状态空间表达式为:得设零初始条件，取拉氏变换.2.由状态空间表达式求传递可见是G(s)中每一项的分母多项式，正是系统的特征多项式，故A的特征值就是G(s)的极点。代入输出可见是G(s)中每一项的分母多项式，正是系统的特解：求传递函数。例：已知标量系统：解：求传递函数。例：已知标量系统：例：1.求出每个输出与各个输入的传递函数

2.将结构图整理成从各个输入向各个输出前向传递形式.3.按图中输入—输出关系写传递矩阵.3.由系统结构图求传递函数阵：-例：1.求出每个输出与各个输入的传递函数3.由系统结即 定理：线性变换不改变系统得传递矩阵.三.传递矩阵的性质：即 定理：线性变换不改变系统得传递矩阵.三.传递矩阵的性质：则变换后：取线性变换P：证明：设原系统的传递矩阵为：则变换后：取线性变换P：证明：设原系统的传递矩阵为：小结：三种数学模型的相互关系：复域传递函数（阵）微分方程(组）时域状态空间表达式可任选N个状态变量.结论：传递矩阵对应确定输出输入关系.（唯一）小结：三种数学模型的相互关系：复域传递函数（阵）2.5.3组合系统的状态空间模型和传递函数阵对于许多复杂的生产过程与设备,其系统结构可以等效为多个子系统的组合结构,这些组合结构可以由并联、串联和反馈3种基本组合联结形式表示。下面讨论的由这3种基本组合联结形式构成的组合系统的状态空间模型和传递函数阵。2.5.3组合系统的状态空间模型和传递函数阵1.并联联结图2-15并联联接组合系统方块结构图1.并联联结图2-15并联联接组合系统方块结构图设对应于图2-15示的并联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间表达式分别为设对应于图2-15示的并联联结的组合系统的两个子系统的传递函从图2-15可知u1=u2=u

y1+y2=y

故可导出并联联结组合系统的状态空间模型为从图2-15可知因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函数阵为因此,并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数阵之和。因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态变量的维数2.串联联结图2-16串联联接组合系统方块结构图设图2-16所示的串联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵分别和并联连结的结构相同,其对应的状态空间表达式也分别相同。2.串联联结图2-16串联联接组合系统方块结构图设图2-从图2-16可知u1=u

u2=y1

y2=y因此可导出串联组合系统的状态空间方程为从图2-16可知u1=uu2=y1y相应的输出方程为即有相应的输出方程为即有因此,由上述状态空间模型可知,串联连接组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统的传递函数阵为因此,由上述状态空间模型可知,串联连接组合系统的状态变量的维因此,串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积。应当注意,由于矩阵不满足乘法交换律,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能颠倒,它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致。因此,串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函3.反馈联结图2-17反馈联接组合系统方块结构图3.反馈联结图2-17反馈联接组合系统方块结构图设对应于图2-17所示的反馈联结组合系统的两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间模型分别为设对应于图2-17所示的反馈联结组合系统的两个子系统的传递函从图2-17可知u1=u-y2

u2=y1=y

因此可导出反馈组合系统的状态空间模型为从图2-17可知即有

故反馈联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。即有故反馈联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)[U(s)-Y2(s)]=G0(s)[U(s)-F(s)Y(s)]故[I+G0(s)F(s)]Y(s)=G0(s)U(s)或Y(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s)U(s)因此,反馈联结组合系统的传递函数为G(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s)由反馈联结组合系统的联结图2-17可知Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)[U(s)-Y2(U(s)=Y2(s)+U1(s)=F(s)G0(s)U1(s)+U1(s)=[I+F(s)G0(s)]U1(s)=[I+F(s)G0(s)]Y(s)故Y(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1U(s)因此,反馈联结组合系统的传递函数又可写为G(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1按图2-17,还可作如下推导U(s)=Y2(s)+U1(s)=F(s)G0(s)U1(s2.6.2线性离散系统的状态空间描述在经典控制理论中,离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述。SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为：y(k+n)+a1y(k+n-1)+…+any(k)=b0u(k+n)+…+bnu(k)式中：k表示第k次采样的kT时刻；T为采样周期；y(k)、u(k)分别为kT时刻的输出量和输入量;ai和bi为表征系统特性的常系数。2.6.2线性离散系统的状态空间描述考虑初始条件为零时的变换关系

对上述差分方程模型两端取z变换并加以整理可得脉冲传递函数(z域传递函数)上述描述的离散系统输入输出差分方程、传递函数分别与连续系统的输入输出微分方程、传递函数在形式上相同。考虑初始条件为零时的变换关系对上述为进行离散系统的状态空间分析,需引入离散系统的状态空间模型。在状态空间法中,采用以下的离散状态方程和离散输出方程所组成的线性定常离散系统状态空间模型对离散系统进行描述,即

其中x(kT)、u(kT)和y(kT)分别为n维的状态向量、r维的输入向量和m维的输出向量;G(T)、H(T)、C(T)和D(T)分别为n

n维的系统矩阵、n

r维的输入矩阵、m

n维的输出矩阵和m

r维的直联矩阵。为进行离散系统的状态空间分析,需引入离散系统的状态空间模型。离散系统状态空间模型的意义:状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。线性离散系统状态空间模型中的各矩阵的意义与连续系统一致。离散系统状态空间模型的意义:为书写简便,可将离散系统状态空间模型中的T省去,于是有与连续系统相类似,线性定常离散系统状态空间模型的结构图如下图所示。图2-21线性定常离散系统状态空间模型的结构图还记得线性连续系统的结构图?为书写简便,可将离散系统状态空间模型中的T省去,于是有与连续与线性定常离散系统类似,对于线性时变离散系统,其状态空间模型可记为与线性定常离散系统类似,对于线性时变离散系统,其状态空间模型从线性连续系统和线性离散系统的状态空间模型和相应的结构图,以及传递函数模型可以看出,线性连续系统和线性离散系统在模型结构上极为相似,这种相似性可以总结如下表所示:线性连续系统线性离散系统状态方程微分方程前向差分方程结构图中算子积分单位延迟(反向差分)动态模型中算子拉氏变换s算子z变换z算子还有其他对应关系?从线性连续系统和线性离散系统的状态空间模型和相应的结构图,以2.6.3离散时间系统的机理建模

与连续时间系统的通过系统机理来建立状态空间模型方法一样,对已掌握系统机理的离散时间系统也可以通过机理分析建立状态空间模型。人口分布问题是一个典型的社会系统。通过对人口分布问题建立状态空间描述模型,可以分析和预测人口分布的发展态势。下面讨论一个经过适当简化的城乡人口分布问题,并以此人口模型的状态空间描述为例,讨论如何通过系统机理建立离散系统的状态空间描述。2.6.3离散时间系统的机理建模例2-13

假设某个国家普查统计结果如下。2001年城乡人口的分布是,城市人口为1千万,乡村人口为9千万。人口的自然流动情况是,每年有2%上一年城市人口迁移去乡村,同时有4%上一年乡村人口迁移去城市。人口增长情况是,整个国家人口的自然增长率为1%。激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会导致5万乡村人口流向城市。试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全国人口数为输出变量的状态空间描述模型。例2-13假设某个国家普查统计结果如下。解

符号和约定。记k为离散时间变量,取k=0代表2001年。设x1(k)和x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口;u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段;y(k)为第k年的全国人口数。选取变量。考虑到问题中城市人口x1和乡村人口x2的极大线性无关性,可取城市人口x1和乡村人口x2为状态变量。建立状态变量方程。基于问题给出的参量,即第k+1年相比于第k年的人口迁移、自然增长和政策控制等关系,可以定出反映第k+1年城市人口和乡村人口的分布的状态变量方程为解其中k=0,1,2,....建立输出变量方程。反映全国人口变化态势的输出变量方程为y(k)=x1(k)+x2(k)其中k=0,1,2,....导出向量方程形式的状态空间描述。将方程表为向量方程形式的描述,就得到人口分布问题的状态方程和输出方程:导出向量方程形式的状态空间描述。记成矩阵形式为其中记成矩阵形式为其中上述建立人口分布的离散状态空间模型是以地区(区域)人口分布及自然增长率来建立的。实际上也可以采用年龄段人口数及育龄妇女生育率来建立人口分布的离散状态空间模型,或者结合两种方法建立更精确、完善的人口分布模型。以所建立的模型为基础,就可以进行人口分布演变的计算机仿真、分析与控制(制订与实施人口政策)。基于Matlab工具,读者可自行完成人口演变的计算机仿真。上述建立人口分布的离散状态空间模型是以地区(区域)人口分布及2.6.4由离散系统的输入输出关系建立状态空间模型

由于线性离散系统与线性连续系统的状态空间模型、传递函数以及高阶微分方程和差分方程之间具有结构形式上的一致性,故建立线性定常离散系统的状态空间模型时可借助于在线性定常连续系统中运用的方法。在具体运用时,可将微分

差分

拉氏变换算子

Z变换算子相对应,直接利用在2.3节由连续系统的输入输出关系建立状态空间模型的方法,来建立线性离散系统的状态空间模型。2.6.4由离散系统的输入输出关系建立状态空间模型下面举例说明。例2-14

将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型:y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=u(k+2)+2u(k+1)+u(k)

解

1.

根据2.3.1节中方法求解。对本例a1=5a2=6b0=1b1=2b2=1

故由2.3.1中式(2-26)可得

0=b0=1

1=b1-a1

0=-3

2=b2-a1

1-a2

0=10下面举例说明。因此,与式(2-24)和(2-25)相类似,可写出如下线性离散系统的状态空间模型:2.

根据2.3.2节中方法求解。对本例,有将G(z)展开成部分分式之和,则有因此,与式(2-24)和(2-25)相类似,可写出如下线性离故与2.3.2节中式(2-34)和(2-35)相类似,可得如下线性离散系统的状态空间模型:故与2.3.2节中式(2-34)和(2-35)相类似,可得如2.6.5由离散系统的状态空间模型求传递函数阵与线性定常连续系统相类似,对MIMO线性定常离散系统,也可引入描述输入输出动态关系的z域中的传递函数阵如下:

其中G(z)中每个元素为标量传递函数。2.6.5由离散系统的状态空间模型求传递函数阵其下面讨论如下线性定常离散系统的状态空间模型所对应的传递函数阵:令状态变量向量x(k)的初始值为0,则对状态方程两边求z变换可得zX(z)=GX(z)+HU(z)

其中X(z)和U(z)分别为x(k)和u(k)的z变换。由上式有X(z)=(zI-G)-1HU(z)

因此有

Y(z)=[C(zI-G)-1H+D]U(z)

其中Y(z)为y(k)的z变换。下面讨论如下线性定常离散系统的状态空间模型所对应的传递函数阵故,传递函数阵为G(z)=C(zI-G)-1H+D可以看出,离散系统状态空间模型对应的传递函数阵与连续系统状态空间模型的传递函数阵形式与结构完全一致。例2-15

求如下系统状态空间模型对应的z域传递函数G(z)。故,传递函数阵为解

由状态空间模型对应的传递函数阵表达式,有解由状态空间模型对应的传递函数阵表达式,有第一章总结一、几个重要概念

状态表征系统的运动状况，是一些确定系统动态行为的信息的集合，即一组变量的集合。状态变量确定系统状态的一个最少变量组中所含的变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。状态向量以状态变量为元素构成的向量。状态空间以状态变量为坐标所张成的空间，系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。状态轨迹在状态空间中，状态点随时间变化的轨迹。第一章总结一、几个重要概念状态表征系统的运动状况，

状态方程由状态变量构成的一阶微分方程组，表示每个状态变量的一阶导数与各状态变量及输入变量的关