曲线积分和曲面积分复习课件

对弧长的曲线积分的概念、计算与应用一、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的性质三、对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的概念、计算与应用一、对弧长的曲线积分的概1一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念2曲线积分和曲面积分复习课件3被积函数弧长元素积分弧第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)被积函数弧长元素积分弧第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)4存在条件存在条件5几何意义与物理意义几何意义与物理意义6二、对弧长的曲线积分的性质二、对弧长的曲线积分的性质7使得其中s是曲线L的长度.(5)设函数f(x)在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点使得其中s是曲线L的长度.(5)设函数f(x)在光滑曲线L上8三、对弧长的曲线积分的计算定理三、对弧长的曲线积分的计算定理9注：被积函数是定义在积分曲线弧上，所以要把积分曲线弧的参数方程代入被积函数中注：被积函数是定义在积分曲线弧上，所以要把积分10两种特殊情形两种特殊情形11推广推广12例1解例1解13例2解例2解14例3解(根据积分曲线关于坐标轴的对称性和被积函数的奇偶性)例3解(根据积分曲线关于坐标轴的对称性和被积函数的奇偶性)15对坐标的曲线积分的概念、计算与应用一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分的概念、计算与应用一、对坐标的曲线积分的概16一、对坐标的曲线积分的概念引例:变力沿曲线所作的功一、对坐标的曲线积分的概念引例:变力沿曲线所作的功17二、对坐标的曲线积分的性质性质1性质2二、对坐标的曲线积分的性质性质1性质218性质3即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.性质3即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.19三、对坐标的曲线积分的计算定理三、对坐标的曲线积分的计算定理20特殊情形特殊情形21曲线积分和曲面积分复习课件22例1解例1解23注意被积函数相同,起点和终点也相同,但是由于积分路径不同,导致积分结果不同.注意被积函数相同,起点和终点也相同,但是由于积分路径不同,24例2解例2解25注意被积函数相同,起点和终点也相同,虽然积分路径不同,但是积分结果相同.注意被积函数相同,起点和终点也相同,虽然积分路径不同,但是26例3解直线段AB的方程是化为参数方程得所以例3解直线段AB的方程是化为参数方程得所以27四、两类曲线积分之间的联系其中四、两类曲线积分之间的联系其中28格林公式及其应用一、格林公式二、格林公式的简单应用三、平面曲线积分与路径无关的条件格林公式及其应用一、格林公式二、格林公式的简单应用三、平面29单连通区域1.单(复)连通区域及其正向边界复连通区域单连通区域就是没有“洞”的区域.一、格林公式单连通区域1.单(复)连通区域及其正向边界复连通区域单连通区30曲线积分和曲面积分复习课件312.格林公式上述公式称为格林公式,是英国数学家、物理学家格林在1825年发现的,是微积分基本公式在二重积分情形下的推广.2.格林公式上述公式称为格林公式,是英国数学家、物理学家321.揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分之间的关系.2.给出了计算二重积分的新方法.3.给出了计算第二类曲线积分的新方法.格林公式便于记忆的形式1.揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分之33(1)简化曲线积分二、格林公式的简单应用例1解(1)简化曲线积分二、格林公式的简单应用例1解34例2解例2解35曲线积分和曲面积分复习课件36(2)简化二重积分例3解(2)简化二重积分例3解37(3)计算平面区域的面积(3)计算平面区域的面积38例4解例4解39(4)计算曲线方程未知的曲线积分例5解(4)计算曲线方程未知的曲线积分例5解40曲线积分和曲面积分复习课件41(积分值与积分路径无关)(积分值与积分路径无关)42三、平面曲线积分与路径无关的条件三、平面曲线积分与路径无关的条件43曲线积分和曲面积分复习课件44曲线积分和曲面积分复习课件45例1解例1解46曲线积分和曲面积分复习课件47关于曲线积分的几个等价命题定理设开区域是一个单连通域,函数在内具有一阶连续偏导数,则下列命题(1)曲线积分在内与路径无关;等价:为某二元函数的全微分;在内恒成立;对内任意闭曲线关于曲线积分的几个等价命题定理设开区域是一个单连通域,函数在48二元函数的全微分求积根据上述定理,若在内满足定理的条件,则满足称为表达式的原函数.此时,因(1)式右端的曲线积分与路径无关,于是,选取折线段路径：即得二元函数的全微分求积根据上述定理,若在内满足定理的条件,则满49或选取折线段路径：即得其中是区域D内的任意一点，常取另曲线积分在内与路径无关，且则或选取折线段路径：即得其中是区域D内的任意一点，常取另曲线积50例1验证是全微分，并求其一个原函数.证这里所以原式是全微分，为起点，得取为其一个原函数.例1验证是全微分，并求其一个原函数.证这里所以原式是全微分51例2计算积分沿不通过坐标原点的路径.解显然,当时,于是例2计算积分沿不通过坐标原点的路径.解显然,当时,于是52对面积的曲面积分的概念、计算与应用一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算

对面积的曲面积分的概念、计算与应用一、对面积的曲面积分的概53一、对面积的曲面积分的概念实例所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.一、对面积的曲面积分的概念实例所谓曲面光滑即曲面上各54积分曲面dS面积元素积分和式被积函数以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分.积分曲面dS面积元素积分和式被积函数以上积分也称为55曲面积分可以用来表示与物质曲面有关的一些物理量.曲面积分可以用来表示与物质曲面有关的一些物理量56二、对面积的曲面积分的性质二、对面积的曲面积分的性质57三、对面积的曲面积分的计算则按照曲面的不同情况分为以下三种：三、对面积的曲面积分的计算则按照曲面的不同情况分为以下三种：58则则则则59解例1解例160曲线积分和曲面积分复习课件61对坐标的曲面积分的概念、计算与应用一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分的概念、计算与应用一、对坐标的曲面积分的概62为研究问题的需要,在双侧曲面上选定某一侧.选定了侧的双侧曲面称为定向曲面.为研究问题的需要,在双侧曲面上选定某一侧.选定了侧的双侧曲面63曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.64二、对坐标的曲面积分的性质二、对坐标的曲面积分的性质65三、对坐标的曲面积分的计算三、对坐标的曲面积分的计算66注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.67曲线积分和曲面积分复习课件68曲线积分和曲面积分复习课件69例1解例1解70说明:如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的,必须分片计算积分,然后把结果相加.说明:如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的,必须分片计算积71解例2积长个侧解例2积长个侧72曲线积分和曲面积分复习课件73四、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面积分之间的联系74曲线积分和曲面积分复习课件75两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系76合一投影法将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分.合一投影法将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分77曲线积分和曲面积分复习课件78曲线积分和曲面积分复习课件79解例4解例480曲线积分和曲面积分复习课件81曲线积分和曲面积分复习课件82高斯公式及其应用一、高斯公式二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件高斯公式及其应用一、高斯公式二、沿任意闭曲面的曲面积分为零83一、高斯公式一、高斯公式84根据高斯公式例1解根据高斯公式例1解85使用高斯公式时的注意事项使用高斯公式时的注意事项86例3解例3解87曲线积分和曲面积分复习课件88斯托克斯公式及其应用一、斯托克斯公式二、典型例题斯托克斯公式及其应用一、斯托克斯公式二、典型例题891.定向曲面边界曲线的方向一、斯托克斯公式1.定向曲面边界曲线的方向一、斯托克斯公式90曲线积分和曲面积分复习课件912.斯托克斯公式斯托克斯公式2.斯托克斯公式斯托克斯公式92为了便于记忆,斯托克斯公式可记为斯