无穷区间上的反常积分简介课件

6.4无穷区间上的反常积分简介6.4.1无穷区间上的反常积分的概念6.4.2无穷区间上反常积分计算举例6.4无穷区间上的反常积分简介6.4.1无穷区间上的反常1例1求由曲线y=

e-x，

y轴及x轴所围成开口曲边梯形的面积.解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取b

[0,+)，在有限区间[0,b]

上，以曲线y=

e-

x为曲边的曲边梯形面积为by=

e-x

yxO(0,1)

开口曲边梯形的面积

一、无穷区间上的广义积分例1求由曲线y=e-x，2y=

e-xyxbO(0,1)即当b

+

时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，y=e-xyxbO(0,1)即当b+时，阴3定义1

设函数

f(x)在

[a,+

)上连续，取实数

b>a，如果极限则称此极限为函数

f(x)在无穷区间[a,+

)

上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，否则称广义积分发散.定义1设函数f(x)在[a,+)上连续，4定义2

设函数

f(x)在

(-

,b]

上连续，取实数

a>b，如果极限则称此极限值为函数

f(x)在无穷区间(-

,b]上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，否则称广义积分发散.定义2设函数f(x)在(-,b]上连续，5定义3

设函数

f(x)在

(-

,+

)

内连续，且对任意实数

c，如果广义积分则称上面两个广义函数积分之和为

f(x)在无穷区间

(-

,+

)内的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即都收敛，否则称广义积分发散.定义3设函数f(x)在(-,+)6若F(x)是f(x)的一个原函数，并记则定义1，2，3中的广义积分可表示为若F(x)是f(x)的一个原函数，并记则定义1，7例2求解例3

判断解由于当x

+

时，sinx没有极限，所以广义积分发散.例2求解例3判断解由于当x+时，sin8例4

计算解

用分部积分法，得例4计算解用分部积分法，得9例5

判断解故该积分发散.例5判断解故该积分发散.10例6

证明反常积分当p>1时，收敛；当p≤1时，发散.证

p=1时，则所以该反常积分发散.例6证明反常积分11当

p>1时，综合上述，该反常积分收敛.当

p≤1时，该反常积分发散.

p

1时，则当p>1时，综合上述，该反常积分收敛.当p≤112无穷区间上的反常积分简介ppt课件13定义4

设函数

f(x)在区间

(a,b]

上连续，取e

>0，如果极限则称此极限值为函数

f(x)在区间

(a,b]

上的反常积分，这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.且记作即存在，二、无界函数的广义积分定义4设函数f(x)在区间(a,b]上连续，14定义5

设函数

f(x)在区间

[a,b)上连续，取e

>0，如果极限则称此极限值为函数

f(x)在区间

[a,b)上的反常积分.这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.且即存在，定义5设函数f(x)在区间[a,b)上连续，15定义6设函数f(x)在[a,b]上除点c(a,b)外连续，如果下面两个反常积分则称这两个反常积分之和为函数

f(x)在区间

[a,b]

上的反常积分，这时也称反常积分收敛，否则，称反常积分发散.记作即都收敛，定义6设函数f(x)在[a,b]上除点c16若F(x)是f(x)的一个原函数，则定义4，5，6中的反常积分可表示为若F(x)是f(x)的一个原函数，则定义4，5，17例7

判断解故积分的收敛.-例7判断解故积分的收敛.-18例8

讨论反常积