2023学年完整公开课版聚焦中考13讲

人教数学第三章函数及其图象第13讲二次函数及其图象要点梳理

1．定义：形如函数

叫做二次函数．2．利用配方，可以把二次函数y＝ax2＋bx＋c表示成．y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)要点梳理

3．图象与性质

二次函数的图象是抛物线，当__a＞0__时抛物线的开口__向上__，这时当__x≤－b2a__时，y的值随x的增大而__减小__；当__x≥－b2a__时，y的值随x的增大而__增大__；当x＝__－b2a__时，y有__最小值4ac－b24a__．当__a＜0__时抛物线的开口__向下__，这时当__x≤－b2a__时，y的值随x的增大而__增大__；当__x≥－b2a__时，y的值随x的增大而__减小__；当x＝__－b2a__时，y有__最大值4ac－b24a__．抛物线的对称轴是直线x＝__－b2a__，抛物线的顶点是__(－b2a，4ac－b24a)__．

要点梳理

4．图象的平移二次函数的三种解析式(1)一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；(2)交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)；(3)顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)．抛物线的顶点常见的三种变动方式(1)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；(2)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变；(3)开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．二次函数与二次方程间的关系已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k，就是把二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值看作0，求自变量x的值．二次函数与二次不等式间的关系“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y＞0，y＜0或y≥0，y≤0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况．1．(2014·兰州)抛物线y＝(x－1)2－3的对称轴是(

)

A．y轴

B．直线x＝－1

C．直线x＝1

D．直线x＝－3

2．(2014·新疆)对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是(

)

A．开口向下

B．对称轴是x＝－1

C．顶点坐标是(1，2)

D．与x轴有两个交点

CC3．(2014·哈尔滨)将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线(

)A．y＝－2(x＋1)2－1B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋1D．y＝－2(x－1)2＋3D4．(2014·黔东南州)已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2014的值为(

)A．2012B．2013C．2014D．2015D5．(2014·聊城)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c＜0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(32，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是(

)

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．②③④

B待定系数法确定二次函数的解析式【例1】

(2013·安徽)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式．解：设二次函数解析式为y＝a(x－1)2－1(a≠0)．∵函数图象经过原点(0，0)，∴a·(0－1)2－1＝0，a＝1.∴该函数的解析式为y＝(x－1)2－1或y＝x2－2x【点评】根据不同条件，选择不同设法．(1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，列方程组，求出a，b，c的值；(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴，函数最值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数；(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，再将另一条件代入，可求出a值．1．(1)(2014·杭州)设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为．(2)(2013·宁波)已知抛物线y与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)且过点C(0，－3)．①求抛物线的解析式和顶点坐标；②请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．解：①∵抛物线y与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把C(0，－3)代入得3a＝－3，解得a＝－1，故抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3，∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标(2，1)

②先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y＝－x上

利用二次函数的图象与性质解题【例2】

(2013·广州)已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)过点A(1，0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限．

(1)使用a，c表示b；

(2)判断点B所在象限，并说明理由；

(3)若直线y2＝2x＋m经过点B，且与该抛物线交于另一点C(ca，b＋8)，求当x≥1时，y1的取值范围．

解：(1)∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)，经过A(1，0)，把点代入函数即可得到

b＝－a－c

(2)B在第四象限，理由如下：∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)过点A(1，0)，∴x1＝1，x2＝ca，a≠c，所以抛物线与x轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，所以a＞0，且顶点在第四象限

(3)∵C(ca，b＋8)，且在抛物线上，∴b＋8＝0，∴b＝－8，∵a＋c＝－b，∴a＋c＝8，把B，C两点代入直线解析式易得c－a＝4，即îïíïìa＋c＝8，c－a＝4，解得îïíïìc＝6，a＝2，如图所示，C在A的右侧，∴当x≥1时，y1≥4ac－b24a＝－2

【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点的问题，根据数形结合得出是解题的关键．2．(2014·贺州)二次函数图象的顶点在原点O，经过点A(1，14)，点F(0，1)在y轴上．直线y＝－1与y轴交于点H.

(1)求二次函数的解析式；(2)点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝－1交于点M，求证：FM平分∠OFP；(3)当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．(2)证明：∵点P在抛物线y＝14x2上，∴可设点P的坐标为(x，14x2)，过点P作PB⊥y轴于点B，则BF＝14x2－1，PB＝x，∴Rt△BPF中，PF＝（14x2－1）2＋x2＝14x2＋1，∵PM⊥直线y＝－1，∴PM＝14x2＋1，∴PF＝PM，∴∠PFM＝∠PMF，又∵PM∥y轴，∴∠MFH＝∠PMF，∴∠PFM＝∠MFH，∴FM平分∠OFP

(3)解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF＝60°，∴∠FMH＝30°，在Rt△MFH中，MF＝2FH＝2×2＝4，∵PF＝PM＝FM，∴14x2＋1＝4，解得x＝±23，∴14x2＝14×12＝3，∴满足条件的点P的坐标为(23，3)或(－23，3)

利用二次函数解决实际应用题

【例3】

(2013·哈尔滨)某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.(1)求a的值；(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．【点评】解二次函数的实际应用题关键是根据已知条件建立二次函数模型．3．(2014·毕节)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．∴第x档次，提高的档次是(x－1)档．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)

(2)由题意可得－10x2＋180x＋400＝1120，整理得x2－18x＋72＝0，解得x1＝6，x2＝12(舍去)．答：该产品的质量档次为第6档结合几何图形的函数综合题【例4】

(2013·玉林)如图，抛物线y＝－(x－1)2＋c与x轴交于A，B(A，B分别在y轴的左右两侧)两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为点D，已知A(－1，0)．(1)求点B，C的坐标；解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y＝－(x－1)2＋c上，∴0＝－(－1－1)2＋c，得c＝4，∴抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋4，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)；令y＝0，得x＝－1或x＝3，∴B(3，0)

(2)判断△CDB的形状并说明理由；(3)将△COB沿x轴向右平移t个单位长度(0＜t＜3)得到△QPE，△QPE与△CDB重叠部分(如图中阴影部分)面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．：(Ⅰ)当0＜t≤32时，如答图②所示：设PQ与BC交于点K，可得QK＝CQ＝t，PB＝PK＝3－t，设QE与BD的交点为F，则îïíïìy＝－2x＋6，y＝－x＋3＋t，解得îïíïìx＝3－t，y＝2t，∴F(3－t，2t)，S＝S△QPE－S△PBK－S△FBE＝12PE·PQ－12PB·PK－12BE·yF＝12×3×3－12(3－t)2－12t·2t＝－32t2＋3t

(Ⅱ)当32＜t＜3时，如答图③所示：设PQ分别与BC，BD交于点K，点J.∵CQ＝t，∴KQ＝t，PK＝PB＝3－t.直线BD解析式为y＝－2x＋6，令x＝t，得y＝6－2t，∴J(t，6－2t)．S＝S△PBJ－S△PBK＝12PB·PJ－12PB·PK＝12(3－t)(6－2t)－12(3－t)2＝12t2－3t＋92，综上所述，S与t的函数关系式为S＝îïíïì－32t2＋3t（0＜t≤32）12t2－3t＋92（32＜t＜3）

【点评】

本题是运动型二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点．第(3)问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形面积的和差关系．4．(2014·无锡)如图，二次函数y＝ax2＋bx(a＜0)的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为－1，AC∶BC＝3∶1.(1)求点A的坐标；(2)设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．解：(1)如图，过点C作CM∥OA交y轴于点M.

∵AC∶BC＝3∶1，∴BCAB＝14.∵CM∥OA，

∴△BCM∽△BAO，∴CMOA＝BCAB＝14＝BMOB，

∴OA＝4CM＝4，∴点A的坐标为(－4，0)

(2)∵二次函数y＝ax2＋bx(a＜0)的图象过A点(－4，0)，∴16a－4b＝0，∴b＝4a，∴y＝ax2＋4ax，对称轴为直线x＝－2，∴F点坐标为(－2，－4a)．设直线AB的解析式为y＝kx＋n，将A(－4，0)代入，得－4k＋n＝0，∴n＝4k，∴直线AB的解析式为y＝kx＋4k，∴B点坐标为(0，4k)，D点坐标为(－2，2k)，C点坐标为(－1，3k)．∵C(－1，3k)在抛物线y＝ax2＋4ax上，∴3k＝a－4a，∴k＝－a.∵△AED中，∠AED＝90°，∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，∵∠FDC＝∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD＝90°，∴△FCD∽△AED.∵F(－2，－4a)，C(－1，3k)，D(－2，2k)，k＝－a，∴FC2＝(－1＋2)2＋(3k＋4a)2＝1＋a2，CD2＝(－2＋1)2＋(2k－3k)2＝1＋a2，∴FC＝CD，∴△FCD是等腰直角三角形，∴△AED是等腰直角三角形，∴∠DAE＝45°，∴∠OBA＝45°，∴OB＝OA＝4，∴4k＝4，∴k＝1，∴a＝－1，∴此二次函数的关系式为y＝－x2－4x试题求证抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．审题视角

有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a，b取何值，它总过定点(0，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求出自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．规范答题解：整理抛物线的解析式，得y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1＝3x2－2x－1－kx2＋kx＋2k＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)(k≠3)，上式中令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2.将它们分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，解得y1＝4，y2＝7，把点(－1，4)，(2，7)分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，无论k取何值，等式总成立，即点(－1，4)，(2，7)总在抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，也就是说抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)，(2，7)．答题思路第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含变系数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．试题

(1)用配方法求二次函数y＝512x2－53x＋54图象的顶点坐标及对称轴．

(2)已知函数y