一道2022年高考题的推广

•核IM考点•

一道2022年高考题的推广

李院德

(安徽省教育科学研究院)

笔者受2022年全国新高考I卷第12题的启发，期的函数，它却没有最小正周期；狄利克雷函数

证明「连续周期函数的导函数也是周期函数，探究了(1,1eQ,

D(7)=不是以任何非零有理数为周期的

其原函数也是周期函数的一个充要条件.本文通过几(0,zWQ

个例子对这两个定理进行进一步说明，并在此基础上函数，它也没有最小正周期.

给出了几点启/K.2.2连续函数与其导函数的关系

定理1已知/(才)是定义在数集M上的周期为

1问题的提出

T的函数,且处处可导，导函数为了'(7).则/'(工)也

题目(2022年新高考I卷12,多选题)已知函是周期为T的函数.

数了)及其导函数/'(了)的定义域均为R.记证明由于函数/(了)是定义在数集A4上的周

期为T的函数.则有/(t+7)=/(工)，乂/(工)处处

g1)=/'(#).若/(5一2z),g(2+了)均为偶函数，

可导，则有

则()./(z+T+zkr)-/(z+T)

/'(h+T)=lim

A./(0)=0B.g(-y)=0Ar-*0

lim"-

=/'(z),

C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)△4、

在本题中，函数g(z)为函数/(z)的导函数，通故导函数/'Cr)也是周期为T的函数.

过推理我们不难发现函数g(z)和/(了)均为周期函2.3连续函数与其原函数的关系

数，并且周期相同.众所周知，函数/(z)=cos才与其对于一个定义在某区间的已知函数/J),如果

原函数)=Jcoshclr=sinx+<■均是周期为27r存在可导函数F(丁)，使得在该区间内的任一点都存

在F\x)=/(?),则在该区间内就称函数F(7)为函

的函数，那么一个函数与其原函数周期的这种关系是

数/(%)的一个原函数.

否具有一般性呢？

由定理1,若一个斗

2连续函数与其导函数、原函数周期性之间可导函数为周期函］厂

的关系探究数,则其导函数也必

2.1周期函数的定义然是周期函数.然而，-2n"―L

设外工)是定义在数集M上的函数，如果存在非连续周期函数的原函

数却未必是周期函"

零常数T具有性质J(H+T)="H),则称/(z)是

数集M上的周期函数,常数T称为/(z)的一个周数，如函数/(z)=图1

期.如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函cos7+其原函数为F(jr)=sinz+z+c

数/(工)的最小正周期.就不是周期函数，其图像如图1所示.

注由周期函数的定义不难发现：现在我们来探究使得连续周期函数的原函数是

1)周期函数的定义域不必是一个连续区间，如周期函数的条件.

/(z)=l(Hez)是一个最小正周期为1的函数.它的定理2已知函数/(了)是定义在数集M上的周

定义域是整数集.期为T的函数，且处处连续，则其原函数F(i)也是

2)周期函数的周期T可以是负值，且周期函数未周期为T的函数的充要条件是存在一个点八CM使

必有最小正周期，如常数函数是以任何非零实数为周得Fg+T)=F(z。).

专.56

\句<限理化

•核1111考点•

证明必要性显然成立，现证明充分性.15

不难得到/(5)=/(5)，由定理2可知/(1)是周期

由于FO)是函数/(①)的原函数.则对任意J€

M有为2的函数，所以/(1)=/(i+2),则

f(.z)=f(x+2(k-i))(^ez).

F(J-)=|'fCDdt+c,

乂/(i)=/(3—z),所以

因此/O+2(A—i))=/(3—z)(%ez),

，

F(^+T)=['/(z)dz+c,即/(工)的对称轴为N=无+飙ez),取&=1.可得

J

则有

C正确.对于AD两项，可举反例/(z)=sin(jr.r)+l

F(i+T)-F(①)=

进行排除.

G+Tfa+T

=/(t)dr=综上，选BC.

J10J%Jr

Po门o+TC+T品点根据题目条件能推导出g(z)是周期为2的

/(z)&+/(r)dz+/(z)dn驾而函数，运用定理2可以快速证明”工)也是

JHJ气JJT04-T

其中周期为2的函数，在此基础上容易判断出本题各选项

po+T

f(t)dt=F(x()+T)—F(x())=0,的正误.

J]。通过对原题的解决过程，不难发现，如果一个周

令丁=f-T,贝ij

期函数的原函数存在一个对称轴.不妨设对称轴为

f.r+Tfj

/(Z)dZ=f(y+T)dy=1=a,贝I]尸(“一比)=尸(。+彳)，那么显然有尸(。一

Jx<>+T)]<〉

frCl'oTTT

J/(r)d/=-]f(t)dt.2)=尸(“+2),事实上，令£/—5=10,则F(T(>)=

因此F(.r+T)=F(z),所以原函数F(z)是周TTT

F(a――)—F(a+-)=F(a—^•+T)=f"(.r(>+

期为T的函数.

T),根据定理2可得函数F(i)为周期函数，因此，有

注定理1揭示了可导的周期函数其导函数也

如下推论.

一定是周期函数，而定理2本质上是给出了定理1的

逆定理也成立的一个充要条件.推论已知函数/(工)是定义在数集M上的周

期为T的函数,且处处连续，若原函数F(x)存在一

3原题回顾条对称轴，则F(才)也是周期为T的函数.

定理2的优势在于可操作性强，便于运用，学生4几个例子

只需要根据导函数的周期性,结合两个点的函数值相

等便能够判断其原函数也是周期函数.下面运用定理定理1和定理2分别证明r连续周期函数的导

函数与其原函数的周期性之间的关系.下面将通过几

解决2022年全国新高考[卷选择题第12题.

个例子对这两个定理做进一步说明.

解因为g(2+z)为偶函数.所以g(2+z)=

3刁*例1已知函数/(2)=|£一2n，zG[24-l,

拜(2一E)，则8(1)=门(4一/).又/(5一2%)为偶函

2A+1),试判断其导函数的周期性.

数，所以/(1)=/(3—文).所以Q根据周期函数的定义，函数/(z)是周期为2

g(N)=/'(/)=/'(3—/)・(一1)=产霹析的函数.函数/(工)的图像如图2所示.

—g(3—jr)=­g(4—(3—jr))=

一g(jr+l)=g(("l)+l)=g(jr+2),

故g(z)是周期为2的函数.由g(z)=-g(3—1)，得

-4-2O24x

31

8(,)=0,结合8(7)的周期为2可知8(一5)=0,图2

33虽然函数/(工)是连续的，但在整数点上其导数

即B正确.由于/(5一21)=/(万+2/)，令2忆=1,

都不存在.对任意的26氏工62,有

6.57

何卡毅理化

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工e(2%,24+i),嬷4例4中函数小）=tan『在…"+方

/'(z)=&GZ).

x(.2k—1,21)

因此，易得/'（①）是周期为2的函数.*ez）处不连续，但其原函数仍然存在，且为周期函

彳***例2已知函数/（#）=了一行，工e［上/+1）.试数.因此，定理2的条件中“处处连续”的要求并不必

要，也可相应进行弱化，只要其原函数存在即可.

判断其导函数的周期性.

Q根据周期函数的定义,函数/（））是周期为15启示

户窃析的函数，函数/1）的图像如图3所示.

5.1数学教学要注重概念教学，突出数学本质

数学教学要注重概念教学.概念课的教学设计要

厘清概念的内涵与外延，注意引导学生应用概念解决

问题.利用抽象的关系式刻画函数的具体性质对数学

图3思维的要求很高，一直是高中函数教学的难点.本题表

显然函数/（z）在整数点上不连续，因此在整数面上是考查了与原函数及其导函数的奇偶性，事实上

点上函数的导数都不存在.对于任意点j-eR.j-ez.处理时要转化成研究函数的对称性、周期性，其中还

有/'（工）=1,易得/'（工）是周期为1的函数.要结合微积分的一些基本思想和相关知识,这又增加

热点例1中函数/（z）为连续函数，且几乎处处了不少难度.但是细细想来，似乎又都在情理之中.因

甥'样可导（除整数点上导数不存在以外），该函数

为这其中的每一步都是回到了概念和性质本身，比如

的导函数仍然为周期函数.而对于例2,函数/（彳）在对/（］一2才）为偶函数的刻画，就是f（j-2x）=

整数点上不连续，其他点处均连续且可导，其导函数

也为周期函数.因此，由例1和例2不难发现，存在一/（5+27）对一切7都成立，进而得出函数关于直线

些点不可导甚至不连续的函数，但其导函数仍然保持

了=］对称.这只是利用了偶函数定义和对轴对称的

了周期性.因此定理1中的条件并不是必要条件，可以

进行弱化.理解.这就启发我们在日常的概念教学中关注数学本

亍例3已知函数/（z）=cosz的定义域为R.试质，引导学生回到定义本身，也只有这样才能真正地

判断其原函数是否为周期函数.探究到概念中最精华的部分,真正发展学科素养.

函数/（1）的原函数为"7）=0由Z十5显5.2数学教学要关注过程性和综合性，提高学生发

军析然FG）是周期为2穴的函数.

现问题、解决问题的能力

在知识的交会点设计试题是高考命题的一个立

例4已知函数/Q）=tan工，试判断其原函数

足点.本题的另一个特色是原函数/（z）与它的导函

是否为周期函数.

数gQ）互相联系，又结合了函数的相关性质，特别是

总析“=""=［黑也=

周期性与对称性，综合程度非常高.如此巧妙的综合立

意新颖，需要学生具备更高的问题解决能力，所以我

一I---dcosx=-In|cosx|+c.

JcosJC们在教学中要适当关注问题与知识的综合性，引导学

因为F(JT+K)=—InIcos(jt*+7c)I+c=—In!cosxI+生进行一些较为深入的探究.这样我们的课堂才显得

c=FCr),所以F(才)的周期为7T,F(K)的图像如图4.有深度、有内涵，引人入胜.尤其是在高中数学教学的

后期，学生已经具备了相关知识和能力,如果再一味

刷题、机械重复，势必会扼杀学生发现新问题、探索新

思路的创新思维和能力.

本题为高中一线教学特别是后期的复习课堂设

计提供了很好的素材,也为探究课堂提质增效的具体

实施起到了很好的引领作用.

教理化

•通法砒究•

从通性通法的角度分析2022年新高考I卷中的解析几何试题

金钟植（正高级教师特级教师）

（广东省广州市白云中学）

2022年高考结束后，考生和社会各界普遍认为今B.直线AB与C相切

年全国卷的几套数学试题特别难.但是，笔者认为看C.IOPI-IOQl>IOA|2

似很难的数学试卷中，并没有出现“偏、怪、难”的试D.|BP|-|BQ|>|BA|2

题.每道试题考查的都是基础知识点和基本技能，即分析从题设看，适合运用坐标法逐个验证其正

如果从..以不变应万变，注重数学通性通法”的角度进确性.

行备考，考生不会认为数学试题很难.下面以新高考解点A（l.l）在抛物线C：储=2"（p>0）

I卷中的解析几何试题为例,分析如何从数学通性通上，即1=2力，从而C：/=y，所以准线为y=一?，

法的角度求解高考数学试题.

2"例1（2022年新高考I卷11,多选题）已知O故A错误.

将直线AB的方程y=2z-l代入/=y，得

为坐标原点，点八（1,1）在抛物线

/-2辽+1=0,解得工=1,所以AB与C相切，故B

上，过点—的直线交C于P.Q两点,则

正确.

（）.

由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线

A.C的准线为》=—1

因此•教师在教学中要注重知识之间的内在联系和发和B类课程的重点内容，通过学习选修课程，学生能

生发展过程，帮助学生构建知识网络，要重视学生探理解微分和积分之间的关系.这些内容的学习，为学

究能力的提升,引导学生从特殊到一般发现和提出问生理解周期函数与其导函数及其原函数的关系提供

题，发