沈阳市2020年初中学业水平考试数学试题

沈阳市2020年初中学业水平考试数学试题试题满分120分，考试时间120分钟．一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分)1.下列有理数中，比0小的数是（）A.－2B.1C.2D.32.2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示为（）A.1.09×103B.1.09×104C.10.9×103D.0.109×1053.如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）4.下列运算正确的是（）A.a2＋a3＝a5B.a2·a3＝a6C.(2a)3＝8a3D.a3÷a＝a35.如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（）A.65°B.55°C.45°D.35°第5题图6.不等式2x≤6的解集是（）A.x≤3B.x≥3C.x<3D.x>37.下列事件中，是必然事件的是（）A.从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球B.任意买一张电影票，座位号是3的倍数C.掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D.汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯8.一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定9.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－3，0)，点B(0，2)，那么该图象不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝2.以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则eq\o(DE,\s\up8(︵))的长为（）A.eq\f(4π,3)B.πC.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,3)第10题图二、填空题(每小题3分，共18分)11.因式分解：2x2＋x＝_________．12.二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5,2x－y＝1))的解是___________．13.甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为seq\o\al(2,甲)＝2.9，seq\o\al(2,乙)＝1.2，则两人成绩比较稳定的是eq\a\vs4\al(乙)(填“甲”或“乙”)．14.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象上，若OB＝4，AC＝3，则k的值为_____．第14题图如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为_______．第15题图如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，若△PDF为直角三角形，则DP的长为___________．第16题图三、解答题(第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分)17.计算：2sin60°＋(－eq\f(1,3))－2＋(π－2020)0＋|2－eq\r(3)|18.沈阳市图书馆推出“阅读沈阳书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者，某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生，现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．(温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示)19.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O.(1)求证：△AOM≌△CON；(2)若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长第19题图四、(每小题8分，共16分)20.某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：第20题图根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)m＝___，n＝____；(2)根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；(3)扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为____度；(4)根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．21.某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？五、(本题10分)22.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时，(1)求证：DC＝AC；(2)若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长．第22题图六、(本题10分)23.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为(4，4)，点B的坐标为(6，0)，动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒(0<t<4)，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N.(1)填空：AO的长为____，AB的长为_______；(2)当t＝1时，求点N的坐标；(3)请直接写出MN的长(用含t的代数式表示)；(4)点E是线段MN上一动点(点E不与点M，N重合)，△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝eq\f(4,3)时，请直接写出S1·S2(即S1与S2的积)的最大值．第23题图备用图七、(本题12分)24.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC.(1)如图①，当α＝60°时，①求证：PA＝DC；②求∠DCP的度数；(2)如图②，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系；(3)当α＝120°时，若AB＝6,BP＝eq\r(31)，请直接写出点D到CP的距离．第24题图①第24题图②备用图八、(本题12分)25.如图①，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c经过点B(6,0)和点C(0,－3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD.过点B作射线BD，点M是射线BD上一点(不与点B重合)，点M关于x轴的对称点为点N.连接NM,NB.①请直接写出△MBN的形状；②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为S2，当S1＝eq\f(2,3)S2时，求点M的坐标；(3)如图③，在(2)的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜120°)得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2eq\r(3)时，请直接写出点G的坐标．第25题图①第25题图②第25题图③2020年沈阳中考真题答案及解析·数学一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分)1.A【解析】本题考查了实数的大小比较，∵比0小的数是负数，∴－2比0小．2.B【解析】对于绝对值大于10的数，用科学记数法表示成±a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为原数的整数位数减1，∴10900＝1.09×105－1＝1.09×104.3.D【解析】从正面看，该几何体共有2层，下面一层有3个小正方形，上面一层的中间有1个小正方形，故D项符合题意．4.C【解析】本题考查了整式的运算．A项，a2与a3不是同类项，不能合并．B项，a2·a3＝a5.C项，正确．D项，a3÷a＝a2.5.B【解析】本题考查了平行线的性质．∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－∠BAC＝55°.又∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝55°.6.A【解析】2x≤6，不等式两边同时除以2，得x≤3.7.A【解析】本题考查了必然事件与随机事件，A项是必然事件，B、C、D三项均是随机事件．8.B【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根的情况．∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根．9.D【解析】本题考查了一次函数的图象和性质．∵两点确定一条直线，∴经过A，B两点画直线，由图象可知，直线不经过第四象限．10.C【解析】本题考查了矩形的性质、锐角三角函数及弧长公式．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝∠BAD＝90°.又∵AE＝AD＝2，∴在Rt△ABE中，cos∠BAE＝eq\f(AB,AE)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BAE＝30°，∠DAE＝90°－30°＝60°，∴eq\o(DE,\s\up8(︵))的长为eq\f(60π×2,180)＝eq\f(2π,3).二、填空题(每小题3分，共18分)11.x(2x＋1)12.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))【解析】eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5①，,2x－y＝1②.))①＋②，得3x＝6，解得x＝2.把x＝2代入①，得2＋y＝5，解得y＝3.13.乙【解析】本题主要考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量．方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．∵2.9＞1.2，∴seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，∴两个成绩比较稳定的是乙．14.6【解析】本题考查了等腰三角形的性质和利用待定系数法求反比例函数的表达式．∵AO＝AB，AC⊥OB，∴OC＝CB＝eq\f(1,2)OB＝2.又∵AC＝3，∴A(2，3)．∵点A在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象上，∴eq\f(k,2)＝3，解得k＝6.15.8【解析】本题考查了平行四边形的性质和中位线的性质．∵点E，F分别是BM，CM的中点，EF＝6，∴BC＝2EF＝12.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝12.∵AM＝2MD，∴AM＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×12＝8.16.eq\f(5,2)或1【解析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质．∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝8，BD＝AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10，OA＝OD＝eq\f(1,2)BD＝5.过点O作OH⊥AD于点H.则AH＝DH＝eq\f(1,2)AD＝4，OH＝eq\f(1,2)AB＝3.①当∠PFD＝90°，即PF⊥OD时，如解图①，∴∠PFD＝∠OHD＝90°，又∵∠PDF＝∠ODH，∴△PDF∽△ODH，∴eq\f(DP,DO)＝eq\f(PF,OH).由折叠的性质，得∠APO＝∠OPF，∴∠POH＝∠POF，∴HP＝PF，∴PF＝HP＝HD－DP＝4－DP，∴eq\f(DP,5)＝eq\f(4－DP,3)，∴DP＝eq\f(5,2).②当∠DPF＝90°，即PF⊥PD时，如解图②，∴∠APF＝∠DPF＝90°.由折叠的性质，得∠APO＝∠OPF＝eq\f(1,2)∠APF＝45°，∴HP＝OH＝3，∴DP＝DH－HP＝4－3＝1.综上所述，DP的长为eq\f(5,2)或1.第16题解图三、解答题(第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分)17.计算：2sin60°＋(－eq\f(1,3))－2＋(π－2020)0＋|2－eq\r(3)|解：原式＝2×eq\f(\r(3),2)＋9＋1＋2－eq\r(3)＝eq\r(3)＋12－eq\r(3)＝12.18.解：根据题意，列表如下：甲班甲班乙班ab1b2A(A，a)(A，b1)(A，b2)B(B，a)(B，b1)(B，b2)或画树状图如解图所示．第18题解图由表格(或树状图)可知，共有6种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽出的两名学生性别相同的结果有3种，分别为(A，a)，(B，b1)，(B，b2)．∴P(抽出的两名学生性别相同)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).19.(1)证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，即AM∥CN，∴∠M＝∠N，∠MAO＝∠NCO.在△AOM和△CON中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠M＝∠N,∠MAO＝∠NCO，,AO＝CO，))∴△AOM≌△CON；(2)eq\f(15,4).【解法提示】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝3，∴AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(62＋32)＝3eq\r(5).∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(3\r(5),2)，∠AOE＝90°，∴∠AOE＝∠ADC.又∵∠EAO＝∠CAD.∴△AEO∽△ACD，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(AO,AD)，即eq\f(AE,3\r(5))＝eq\f(\f(3\r(5),2),6)，解得AE＝eq\f(15,4).四、(每小题8分，共16分)20.解：(1)100，60；【解法提示】∵8÷8%＝100(t)，∴m＝100.∵n%＝(100－30－2－8)÷100×100%＝60%，∴n＝60.(2)补全条形统计图如解图所示．第20题解图【解法提示】可回收物有100－30－2－8＝60(t)．(3)108；【解法提示】eq\f(30,100)×360°＝108°.(4)2000×60%＝1200(t)．答：估计该市2000t垃圾中约有1200t可回收物．21.解：设原计划每天修建盲道xm.根据题意，得eq\f(3000,x)－eq\f(3000,（1＋25%）x)＝2.解得x＝300.经检验，x＝300是所列方程的根．答：原计划每天修建盲道300m.五、(本题10分)22.(1)证明：如解图，连接OD.∵CD是⊙O的切线．∴CD⊥OD.∴∠ODC＝90°，∴∠BDO＋∠CDA＝90°.∵∠ACB＝90°.∴∠A＋∠B＝90°.∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO.∴∠CDA＝∠A，∴DC＝AC；第22题解图(2)eq\r(3).【解法提示】∵DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B＋∠DCB＝2∠B.由(1)知，DC＝AC，∴∠A＝∠ADC＝2∠B.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝3∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DCO＝30°，由(1)知，∠ODC＝90°，∴tan∠DCO＝eq\f(OD,DC)，∴DC＝eq\f(OD,tan∠DCO)＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝eq\r(3).六、(本题10分)23.解：(1)4eq\r(2)，2eq\r(5)；第23题解图①【解法提示】如解图①，过点A作AH⊥x轴于点H，则∠AHO＝∠AHB＝90°.∵A(4，4)，B(6，0)，∴AH＝OH＝4，OB＝6，∴AO＝eq\r(AH2＋OH2)＝4eq\r(2)，HB＝OB－OH＝2.∴在Rt△AHB中，AB＝eq\r(AH2＋HB2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).(2)设直线AB的关系式为y＝kx＋b(k≠0)．将点A(4，4)，B(6，0)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝4，,6k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝12.))∴y＝－2x＋12.由题意，得点N的纵坐标为1，∴令y＝1，得－2x＋12＝1，解得x＝eq\f(11,2)，∴点N的坐标为(eq\f(11,2)，1)；(3)eq\f(12－3t,2)；【解法提示】如解图②，过点M作MC⊥x轴于点C，过点N作ND⊥x轴于点D，过点A作AH⊥x轴于点H，则∠MCO＝∠NDO＝90°，易得四边形PMCO和四边形MNDC为矩形，∴MC＝ND＝PO＝t，MN＝CD.∵tan∠AOH＝eq\f(MC,OC)＝eq\f(AH,OH)，∴eq\f(t,OC)＝eq\f(4,4)，∴OC＝t，∵tan∠ABH＝eq\f(ND,BD)＝eq\f(AH,BH)，∴eq\f(t,BD)＝eq\f(4,2)，∴BD＝eq\f(1,2)t，∴MN＝CD＝OB－BD－OC＝6－eq\f(1,2)t－t＝eq\f(12－3t,2).第23题解图②(4)16.【解法提示】当t＝eq\f(4,3)时，MN＝eq\f(12－3×\f(4,3),2)＝4.如解图③，过点A作AH⊥x轴于点H.设ME＝m，则NE＝4－m，∵S1＝eq\f(1,2)ME·AH＝2m，S2＝eq\f(1,2)NE·AH＝2(4－m)，∴S1·S2＝2m·2(4－m)＝－4(m2－4m)＝－4(m－2)2＋16.∵－4＜0，∴当m＝2时，S1·S2取最大值，最大值为16.第23题解图③七、(本题12分)24.(1)①证明：∵∠BAC＝∠BPD＝α＝60°，AB＝AC，PB＝PD，∴△ABC与△PBD都是等边三角形，∴∠PBD＝∠ABC＝60°，BA＝BC，BP＝BD.∴∠PBD－∠ABD＝∠ABC－∠ABD，∴∠PBA＝∠DBC，∴△PBA≌△DBC，∴PA＝DC；②解：∵△PBA≌△DBC，∴∠BAP＝∠BCD.∵∠BAC＝60°，∴∠BCD＝∠BAP＝180°－∠BAC＝180°－60°＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCP＝∠BCD－∠ACB＝120°－60°＝60°；(2)DC＝eq\r(3)PA；【解法提示】如解图①，过点A作AH⊥BC于点H，则∠BHA＝∠AHC＝90°.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(180°－∠BAC,2)＝30°.∵cos∠ABH＝eq\f(BH,AB)，∴BH＝AB·cos∠ABH＝eq\f(\r(3),2)AB，∴BC＝2BH＝eq\r(3)AB.∵PB＝PD，∠BPD＝120°，∴同理可得∠PBD＝30°.BD＝eq\r(3)PB.∴eq\f(PB,DB)＝eq\f(BA,BC).∵∠PBA＝∠PBD＋∠DBA，∠DBC＝∠ABC＋∠DBA，∴∠PBA＝∠DBC，∴△PBA∽△DBC，∴eq\f(PA,DC)＝eq\f(AB,CB)＝eq\f(AB,\r(3)AB)＝eq\f(\r(3),3)，∴DC＝eq\r(3)PA.第24题解图①(3)eq\f(5\r(3),2)或eq\f(\r(3),2).【解法提示】①如解图②，过点D作DH⊥CP于点H，过点B作BG⊥CP于点G，则∠BGA＝∠DHC＝90°.∵∠PAB＝180°－∠BAC＝60°，∴∠GBA＝90°－∠PAB＝30°，∴AG＝eq\f(1,2)AB＝3，BG＝eq\f(\r(3),2)AB＝3eq\r(3).在Rt△PBG中，PG＝eq\r(BP2－BG2)＝eq\r(31－27)＝2，∴PA＝PG＋AG＝2＋3＝5，同理(2)可知，△PBA∽△DBC，DC＝eq\r(3)PA＝5eq\r(3).∴∠DCB＝∠PAB＝60°.在Rt△HCD中，∵∠DCH＝∠DCB－∠ACB＝30°.∴DH＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(5\r(3),2).第24题解图②如解图③，同理①可知，AG＝eq\f(1,2)AB＝3，PG＝2，△PBA∽△DBC，∴PA＝1，∴DC＝eq\r(3)PA＝eq\r(3)，∴DH＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(\r(3),2).综上所述，点D到CP的距离为eq\f(5\r(3),2)或eq\f(\r(3),2).八、(本题12分)25.解：(1)∵抛物线经过点B(6，0)，C(0，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×36＋6b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(5,2)，,c＝－3.))∴抛物线的表达式为y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(5,2)x－3；(2)①等边三角形；【解法提示】如解图①，过点D作DH⊥x轴于点H.∵∠DHB＝∠COB＝90°，∴DH∥OC，∴∠ODH＝∠COD＝30°.∵OD＝OC＝3，∴OH＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(3,2)，DH＝eq\f(\r(3),2)OD＝eq\f(3\r(3),2).又∵OB＝6，∴BH＝OB－OH＝eq\f(9,2).在Rt△BDH中，∵tan∠DBH＝eq\f(DH,BH)＝eq\f(\f(3\r(2),2),\f(9,2))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠DBH＝30°.∵点M关于x