机械振动第二章

机械振动第二章第1页，课件共64页，创作于2023年2月工程中的自由振动由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止实际上又存在有大量不衰减的持续振动，由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，有的承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。一.单自由度系统的无阻尼受迫振动交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统；弹性梁上的电动机由于转子偏心在转动时引起的振动等。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力：H：激振力力幅；ω：激振力的圆频率；φ：激振力初相位第2页，课件共64页，创作于2023年2月设F为简谐激振力，F在坐标轴上的投影写成：1.振动微分方程图示振动系统，物块质量为m。取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下.恢复力Fk

在坐标轴上的投影为两端除以m，并设：物块受力有恢复力Fk和激振力F。质点的运动微分方程为则得：该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式第3页，课件共64页，创作于2023年2月二阶常系数非齐次线性微分方程解由两部分组成：齐次方程的通解为:将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：b为待定常数设特解为：得无阻尼受迫振动微分方程的全解：解得：第4页，课件共64页，创作于2023年2月表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。实际振动系统存在阻尼，自由振动部分总会逐渐衰减下去，因而我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态的振动。2.受迫振动的振幅在简谐激振的条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动频率等于激振力的频率，振幅的大小与运动起始条件无关，与振动系统的固有频率ωn激振力的力幅H、激振力频率ω有关。第5页，课件共64页，创作于2023年2月(1)若ω→0，此时激振力的周期趋近于无穷大，激振力为一恒力，并不振动，所谓的b0振幅实为静力H作用下的静变形。下面讨论受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系(2)若0<ω<ωnω值越大，振幅b越大，即振幅b随着频率ω单调上升，当ω接近ωn时，振幅将趋于无穷大。由式(3)若ω>ωn按式b为负值。习惯上把振幅都取为正值，因而取其绝对值，而视受迫振动与激振力反向，相位应加（或减）1800。随着激振力频率ω增大，振幅b减小。当ω趋于∞，振幅b减小趋于零。第6页，课件共64页，创作于2023年2月将纵轴取为β=b/b0，横轴取为λ=ω/ωn，β和λ都是无量纲的量，绘出无量纲的振幅频率曲线。振幅b与激振力频率ω之间的关系绘出曲线表示。该曲线称为振幅频率曲线第7页，课件共64页，创作于2023年2月上述分析，当ω=ωn时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅b在理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。此时特解应设为：(3)共振现象当ω=ωn时是没有意义的无阻尼受迫振动微分方程得：它的幅值为：共振时受迫振动的运动规律为:第8页，课件共64页，创作于2023年2月实际上，由于系统存在阻尼，共振时振幅不可能达到无限大，一般来说，共振时的振幅都是相当大，往往使机器产生过大的变形，甚至造成破坏。因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。当ω=ωn时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限地增大，其运动图线如图示。第9页，课件共64页，创作于2023年2月例.图示为一无重刚杆AO，杆长为l，其一端O铰支另一端A水平悬挂在刚度为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球。若在点A加一激振力F=F0sinωt,其中激振力的频率ω=1/2ωn,ωn为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。解：设任一瞬时刚杆摆角为φ，根据刚体转动微分方程可以建立系统的运动微分方程。令微分方程整理为：第10页，课件共64页，创作于2023年2月将ω=1/2ωn代入上式解得：研究受迫振动方程特解第11页，课件共64页，创作于2023年2月例.图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2

，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速度ω匀速旋转时系统的受迫振动规律。解：1)取电机与偏心块质点系为研究对象设电机轴心在瞬时t相对其平衡位置O的坐标为x，2）作用力：在系统上的恢复力:3)质点系动量定量的微分形式则偏心块坐标为：x+esinωt。第12页，课件共64页，创作于2023年2月此微分方程为质点受迫振动，激振力项m2eω2sinωt即电机旋转时，偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影。激振力力幅为m2eω2等于离心惯性力的大小激振力的圆频率等于转子的角速度ω。这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。整理后得：第13页，课件共64页，创作于2023年2月当ω>ωn时，振幅随着增大而减小，最后趋于m2e/(m1+m2)。此曲线当ω<ωn时，振幅从零开始，随着频率增大而增大；令：绘出振幅频率曲线。当ω=ωn时，振幅趋于∞；受迫振动振幅：第14页，课件共64页，创作于2023年2月例.图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度为k。测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为s=esinωt，求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。解：1）取测振仪为研究对象测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律就是s=esinωt。

2）位移分析取t=0时物块的平衡位置为坐标原点O，取x轴如图。如弹簧原长为l0，δst为其静伸长。设任一时刻t时，物块的坐标为x，弹簧的变形量为第15页，课件共64页，创作于2023年2月3）物块运动的微分方程：整理为：可见物块的运动微分方程为无阻尼受迫振动的微分方程。第16页，课件共64页，创作于2023年2月物块的受迫振动形式：激振力的力幅为b为物块绝对运动的振幅。由于测振仪壳体运动的振幅为e，记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅a=|b-e|。当ωn<<ω时，b≈0，有a≈e。一般测振仪的物块质量较大，弹簧刚度k很小，使ωn很小。用它来检测频率ω不太低的振动时，物块几乎不动，记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。第17页，课件共64页，创作于2023年2月可建立质点运动微分方程若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。则各力在坐标轴上的投影为：二.单自由度系统的有阻尼受迫振动图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性恢复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力F。第18页，课件共64页，创作于2023年2月整理得：有阻尼受迫振动微分方程的标准形式二阶线性常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：x1：齐次方程的通解在小阻尼（n<ωn

）情形下，有两端除以m，并令：第19页，课件共64页，创作于2023年2月x2：对应齐次方程的特解设它的形式为：其中ε表示受迫振动的相位落后于激振力的相位角。代入微分方程，可得：将右端改写为：可整理为：第20页，课件共64页，创作于2023年2月对任意瞬时t，必须满足：其中A和

为积分常数，由运动的初始条件确定。有阻尼受迫振动由两部分合成：第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动两方程联立，可解出：得微分方程的通解为：第21页，课件共64页，创作于2023年2月由于阻尼的存在第一部分振动随时间的增加，很快地衰减，这段过程称为过渡过程（瞬态过程）.过渡过程是很短暂的。过渡过程之后，系统进入稳态过程。第22页，课件共64页，创作于2023年2月有阻尼存在，受简谐激振力作用的受迫振动仍然是谐振动，其振动频率等于激振力的频率，其振幅表达式为：受迫振动的振幅不仅与激振力的力幅有关，还与激振力的频率ω以及振动系统的参数m、k和阻力系数c有关。下面研究稳态过程的振动。由受迫振动的运动方程特解可知：采用无量纲形式，横轴表示频率比λ=ω/ωn,纵轴表示振幅比β=b/b0。阻尼的改变用阻尼比ζ=c/cc=n/ωn来表示。第23页，课件共64页，创作于2023年2月不同阻尼条件下受迫振动的振幅频率曲线阻尼对振幅的影响程度与频率有关1）当ω<<ωn时，阻尼对振幅的影响甚微，可忽略系统的阻尼而当作无阻尼处理。2）当ω→ωn

（即λ→1）时，振幅显著地增大。这时阻尼对振幅有明显的影响，即阻尼增大，振幅显著地下降。第24页，课件共64页，创作于2023年2月振幅bmax具有最大值，这时的频率ω称为共振频率。在共振频率下的振幅为：当时或在一般情况下，阻尼比ζ<<1，可认为共振频率ω=ωn

，即当激振力频率等于系统固有频率时，系统发生共振。共振的振幅为（3）当ω>>ωn时，有阻尼受迫振动的振幅影响也较小，这时可以忽略阻尼，将系统当作无阻尼系统处理。第25页，课件共64页，创作于2023年2月有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角ε，ε称为相位差。ε表达了相位差随谐振力频率的变化关系。或由微分方程的特解画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）第26页，课件共64页，创作于2023年2月相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单调上升的曲线。共振时：ω=ωnε=90°，阻尼值不同的曲线都交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差趋近180°，这时激振力与位移反相。相频曲线第27页，课件共64页，创作于2023年2月解：1)取系统为研究对象2）受力分析例.如图所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端l处有一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻尼系数为c，距3l处有一刚度为k的弹簧，并作用一简谐激振力F=F0sinωt。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率ωn以及当激振力频率ω等于ωn时质点的振幅。3）建立系统的振动微分方程设刚杆在振动的摆角为θ，由动量矩定理：整理得：第28页，课件共64页，创作于2023年2月令：当ω=ωn时，其摆角θ的振幅为：质点的振幅：第29页，课件共64页，创作于2023年2月

工程中的回转机械，如涡轮机、电机等，在运转时经常由于转轴的弹性和转子偏心而发生振动。当转速增至某个特定值时，振幅会突然加大，振动异常激烈，当转速超过这个特定值时，振幅又会很快减小。使转子发生激烈振动的特定转速称为临界转速。三.转子的临界转速以单圆盘转子为例，说明这现象第30页，课件共64页，创作于2023年2月设圆盘的质量为m，质心为C，点A为圆盘与转轴的交点，偏心距e=AC。圆盘与转轴一起以匀角速度ω转动时，由于惯性力的影响，转轴将发生弯曲而偏离原固定的几何轴线z。设点O为z轴与圆盘的交点，rA=OA为转轴上点A的挠度（变形）

在俯视图上，设转轴安在圆盘中点，当轴弯曲时，圆盘仍绕点O匀速转动。圆盘惯性力的合力Fg通过质心，背离轴心点O，大小为Fg=mω2OC。作用在圆盘上的弹性恢复力F指向轴心点O，大小为F=krA，k为轴的刚度系数。图示的单圆盘转子垂直地安装在无质量的弹性转轴上。第31页，课件共64页，创作于2023年2月由达朗伯原理，惯性力Fg与恢复力F相互平衡而点O、A、C应在同一直线上，且有：以m除分子与分母系统的固有频率则上式为：解出A点挠度：第32页，课件共64页，创作于2023年2月当转动角速度从0逐渐增大时，挠度rA也逐渐增大；当ω=ωn时，rA趋于无穷大。实际上由于阻尼和非线性刚度的影响，rA为一很大的有限值。使转轴挠度异常增大的转动角速度称为临界角速度，记为ωcr，它等于系统的固有频率ωn；此时的转速称为临界转速，记为nn第33页，课件共64页，创作于2023年2月当ω>ωcr时上式为负值，取rA其绝对值；ω再增大时，挠度值rA迅速减小而趋于定值e（偏心距），此时质心位于点A与点O之间，如b图所示。当ω>>ωcr时，rA

≈e，这时质心C与轴心点O趋于重合，即圆盘绕质心C转动，这种现象称为自动定心现象。第34页，课件共64页，创作于2023年2月

偏心转子转动时，由于惯性力作用，弹性转轴将发生弯曲而绕原几何轴线转动，称“弓状回转”。轴承压力的方向周期性变化。当转子角速度接近临界角速度、转轴的变形和惯性力都急剧增大，轴承承受很大的动压力，机器会发生剧烈振动。在一般情况下，转子不允许在临界转速下运转，只能在远低于或远高于临界转速下运行。第35页，课件共64页，创作于2023年2月

工程中，振动现象是不可避免的，因为有许多回转机械中的转子不可能达到绝对“平衡”，往复机械的惯性力更无法平衡，这些都是产生振动的来源。对这些不可避免的振动只能采用各种方法进行隔振或减振。 四.隔振

将振源与需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼元件进行隔离，这种措施称为隔振。隔振分为：主动隔振被动隔振第36页，课件共64页，创作于2023年2月

主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。图示电动机为一振源，在电动机与基础之间用橡胶块隔离开来，以减弱通过基础传到周围物体去的振动。1.主动隔振振源产生的激振力F(t)=Hsinωt物块与基础间弹簧刚度：k

阻尼系数：c根据有阻尼受迫振动的理论物块的振幅为：对图示主动隔振的简化模型。第37页，课件共64页，创作于2023年2月物块振动时传递到基础上的力为两部分：一部分是由于弹簧变形而作用于基础上的力：两部分力相位差为90°，频率相同，合成为一个同频率合力，合力的最大值为：即：FNmax：振动时传递给基础作用力的最大值另一部分是通过阻尼元件作用于基础的力：第38页，课件共64页，创作于2023年2月它与激振力的力幅H之比为：η称为力的传递率。表明力的传递率与阻尼和激振频率有关。1）η<1时，隔振才有意义。2）频率比λ>1.414，η<1，才能达到隔振的目的。3）系统的固有频率ωn越小隔振越好，隔振弹簧刚度要小。4）λ>1.414时，加大阻尼会使振幅增大，降低隔振效果。5）阻尼太小，机器过共振区时会产生很大的振动，隔振，要选择恰当阻尼值。不同阻尼时传递率η与频率比λ的关系曲线。第39页，课件共64页，创作于2023年2月地基振动将引起物体的振动，这种激振称为位移激振。设物块的振动位移为x，则作用在物块上将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。例如，在精密仪器的底下垫上橡皮或泡沫塑料，将放置在汽车上的测量仪器用橡皮绳吊起来等。 图示一被动隔振的简化模型。物块表示被隔振的物体，质量为m；弹簧和阻尼器表示隔振元件，弹簧的刚性系数为k，阻尼器的阻尼系数为c。设地基振动为简谐振动，即：2.被动隔振弹簧力为：阻尼力为：第40页，课件共64页，创作于2023年2月质点运动微分方程为整理得右端两个同频率的谐振动合成，得其中：第41页，课件共64页，创作于2023年2月设上述方程的特解（稳态振动）为写成无量纲形式为其中η是振动物体的位移与地基激振位移之比，称为位移的传递率。位移传递率曲线与力的传递率曲线相同。在被动隔振中，对隔振元件的要求与主动隔振是一样的。第42页，课件共64页，创作于2023年2月η~λ曲线

当

，无隔振效果（

）。

在区域内，，不隔振，反而放大共振，隔振区

令

为隔离振动百分率。

第43页，课件共64页，创作于2023年2月当

时，

一般取

η

1.0

1.0

λ

隔振要求

即：高频振动易隔离，低频振动很难隔离,因系统弹簧刚度要低（k要小，但k太小系统又不稳定,，应无法满足隔振要求采用主动，半主动隔振）第44页，课件共64页，创作于2023年2月

隔振设计步骤

a.按要求确定λ

b.计算设备质量m（从图纸等有关资料）

c.计算隔振装置刚度

d.验算隔振后振幅，若振幅太大可增大设备质量m或改变隔振器参数出（增大）第45页，课件共64页，创作于2023年2月

例：系统固有频率为3.8Hz

，隔振器阻尼比，地基干扰为正弦干扰。振幅，最大振动速度

求隔振后设备振幅。

c

m

k

y(t)

第46页，课件共64页，创作于2023年2月地面扰动频率为

而

设备振幅

第47页，课件共64页，创作于2023年2月

例：一机器质量为，机器工作时产生的激振力为

，

已知，作隔振设计。

第48页，课件共64页，创作于2023年2月取

初步设计取

有

则

为此增大质量，设增加质量为

（基础质量），则总质量

第49页，课件共64页，创作于2023年2月从

有：

隔振弹簧刚度

第50页，课件共64页，创作于2023年2月

五.振系在任意周期力作用下的强迫振动

对

有

及

其中第51页，课件共64页，创作于2023年2月

任意周期力可展为富里叶级数

则第52页，课件共64页，创作于2023年2月六.振系在任意激励下的强迫振动

脉冲响应函数假定在时的极短时间间隔之内质量m受到一个

冲量I作用，且则质量m将产生一个初速度

而初位移为零（dτ很短，系统来不及产生位移）c

k

P(t)

m第53页，课件共64页，创作于2023年2月系统对此初始条件的响应为

是系统对单位脉冲的响应，叫单位脉冲响应