【常考压轴题】2023学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）二次根式化简的四种题型全攻略（解析版）

二次根式化简的四种题型全攻略类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式例．等式成立的条件是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【详解】解：根据题意，可得，解不等式组，得，所以，等式成立的条件是．故选：A．【变式训练1】已知，为实数，且，则________．【答案】【详解】依题意可得m-2≥0且2-m≥0，∴m=2，∴n-3=0∴n=3，∴=故答案为：．【变式训练2】已知a，b，c是的三边长，且满足关系的形状是_______．【答案】等腰直角三角形【详解】解：，，，，且，为等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．【变式训练3】若，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，可得，解得：，故选：B．【变式训练4】已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．【答案】17【详解】解：由题意得：，解得：a=3，则b=7，若c=a=3时，3+3＜7，不能构成三角形．若c=b=7，此时周长为17．类型二、利用数轴化简二次根式例．实数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由数轴知：，∴，∴原式＝＝＝．故选：A．【变式训练1】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简＝_____【答案】【详解】解：由数轴可知：，∴，∴，故答案为：．【变式训练2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，∴a-b＜0，则原式=|a|+|a-b|=-a+b-a=-2a+b．故选：A．【变式训练3】已知实数、、表示在数轴上如图所示，化简．【答案】【详解】由题意可知：，，，且，∴，，∴原式【变式训练4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：．【答案】【详解】解：由图可知：，，，，∴，，∴．类型三、利用字母的取值范围化简二次根式例1．已知，化简：，__________．【答案】##【详解】解：，，，，故答案为：．例2.的三边长分别为1、k、3，则化简_____．【答案】1【详解】解：∵的三边长分别为1、k、3，∴，∴，，∴．故答案为：1．【变式训练1】已知，化简二次根式的正确结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，，所以a和b同号，，，故选：D．【变式训练2】若，则_______；【答案】2【详解】解：∵，∴，故答案为：2．【变式训练3】化简：_______．【答案】0【解析】由题意可知：3-x≥0，∴====0故答案为：0．【变式训练4】已知.(1)求a的值；(2)若a、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度.【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：，，，；（2）解：，，，解得，、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，另一条直角边的长度为：．类型四、双重二次根式的化简例.阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1）化简；（2）化简；【答案】（1）；（2）【详解】（1）；（2）．【变式训练1】阅读理解“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于设，易知故，由解得，即．根据以上方法，化简【答案】【详解】解：设，易知，∴∴，∴，∴∵，∴原式【变式训练2】先阅读材料，然后回答问题．（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考，小张解决这个问题的过程如下：①②③④在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简

①．

②．【答案】（1）④；；（2）①；②【详解】解：（1）第④步出现了错误；==．（2）①===．②==．【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：，，所以，问题：（1）填空：__________，____________﹔（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有：__________．（3）化简：（请写出化简过程）【答案】（1），；（2）；（3）【详解】解：（1）；；（2）；（3）==．【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．【详解】解：（1）∵，∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为：m2+6n2，2mn；（2）∵，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）∵，则．课后作业1．已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8 B．10 C．8或10 D．9【答案】B【详解】解：∵∴，，解得，当腰长为2，底边为4时，∵，不满足三角形三边条件，不符合题意；当腰长为4，底边为2时，∵，，满足三角形三边条件，此时等腰三角形的周长为．故选：B2．化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意得，，，故选：A．3．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知，，，∴，，∴．故选：C．4．若，则的平方根是______．【答案】【详解】解：，，，，，，，，的平方根，故答案为：．5．设，是整数，方程有一个实数根是，则___________．【答案】1【详解】∵，∴把代入方程有，整理得，∵，是整数，∴，解得，∴．故答案为：16．已知、为实数，，则的值等于______．【答案】16【详解】解：∵，∴，即：，∴，∴；故答案为：．7．已知实数在数轴上的位置如图所示，且，化简【答案】．【详解】解：由题意可得，，又∵，∴，，∴，，．8．阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．如：在实数范围内化简．解：设（，为非负有理数），则．∴由①得，，代入②得：，解得，∴，∴请根据以上阅读理解，解决下列问题：(1)请直接写出的化简结果是__________；(2)化简；(3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不能，理由见解析【详解】（1）解：＝＝＝＝．故答案为：；（2）设（，为非负有理数），则，∴，由①得，，代入②得：，解得，，∴，，∴，∴；（3）不能，理由如下：设（，为非负有理数），则，∴，由①得，，代入②得：，即：，，∴关于的一元二次方程无解，∴不能按照上面的方法化简．9．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c＝4，d＝2大小，cd（填写＞，＜或者＝）．(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．(3)化简：＝（直接写出答案）．【答案】(1)c>d(2)m<n，证明过程见解析(3)4或4【详解】（1）解：∵c2=32，d2=28，则c2>d2，∴c>d；故答案为：>．（2）解：猜想：m<n，证明：∵m＝，n＝，∴m2=()2=26+4，n2＝()2=26+4，∵<，∴m2<n2，∴m<n；（3）解：∵，，∴=2=2+2∵≥0∴p