2022-2023学年江苏省徐州市沛县重点中学九年级下期中数学试卷含解析

第第页2022-2023学年江苏省徐州市沛县重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）2022-2023学年江苏省徐州市沛县重点中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.实数的相反数是()

A.B.C.D.

2.民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()

A.B.C.D.

3.下列运算正确的是()

A.B.C.D.

4.生物学家发现了一种病毒，其长度约为，将数据用科学记数法表示正确的是()

A.B.C.D.

5.将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为()

A.

B.

C.

D.

6.如图，正九边形外接圆的半径是，则这个正九边形的边长为()

A.

B.

C.

D.

7.如图，在矩形中，，，以为圆心，适当的长为半径画弧，交，于，两点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；再以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则的长为()

A.B.C.D.

8.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形连接，若平分，且正方形的面积为，则正方形的面积为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.的平方根是______．

10.要使式子有意义，则的取值范围是______．

11.若一个圆锥的底面圆的半径是，侧面展开图的圆心角的度数是，则该圆锥的母线长为．

12.如图，正八边形中，延长对角线与边交于点，则的大小为______．

13.如图，是的内接三角形，，则______．

14.设函数与的图象的交点坐标为，则的值是______．

15.九章算术中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为斛，小容器的容积为斛，根据题意，可列方程组为斛：古量器名，容量单位．

16.等边边长为，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

17.为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”比赛项目为：唐诗；宋词；论语；三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．

小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？

小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．

四、解答题（本大题共9小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分

计算：

计算：；

化简：

19.本小题分

解方程：；

解不等式组：．

20.本小题分

为了迎接徐州市中考体育测试，某校根据实际情况，决定主要开设机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图，请你结合图中解答下列问题：

样本中喜欢项目的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是______；

把条形统计图补充完整；

已知该校有人，根据样本估计全校喜欢的人数是多少？

21.本小题分

如图，、分别是的边、上的中点．

求证：≌；

当______时，四边形是菱形．

22.本小题分

某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价．

23.本小题分

如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．

求证：是的切线；

若，的半径为，求阴影部分的面积．

24.本小题分

徐州新区欢乐世界摩天轮高约米最高点到地面的距离如图，点是摩天轮的圆心，是其垂直于地面的直径，小明在地面处用测角仪测得摩天轮最高点的仰角为，测得圆心的仰角为，求摩天轮的半径结果保留根号

25.本小题分

综合与实践

问题情境：在中，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，，猜想证明：

如图，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；

问题解决：

如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；

如图，在三角板旋转过程中，当时，求出线段的长．

26.本小题分

如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为，点的横坐标为．

求抛物线的函数表达式；

设为线段上一点不含端点，连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？

若为线段垂直平分线上一个动点连接、，若不小于，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：实数的相反数是，

故选：．

根据相反数的意义即可解答．

本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．

2.【答案】

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；

C、旋转角是，只是每旋转与原图重合，而中心对称的定义是绕一定点旋转度，新图形与原图形重合．因此不符合中心对称的定义，不是中心对称图形．

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

本题考查了中心对称及轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．

3.【答案】

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、，故D符合题意；

故选：．

利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．

本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

4.【答案】

【解析】解：．

故选：．

绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

5.【答案】

【解析】解：如图所示，设每个小三角形的面积为，

则阴影的面积为，正六边形的面积为，

将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为．

故选：．

如图，将整个图形分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．

本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．

6.【答案】

【解析】解：如图所示，

过作于点，则，

此多边形是正九边形，

，

，

在中，，

．

故选：．

过作于点，则，解直角三角形即可得到结论．

本题考查的是解直角三角形的应用及正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

7.【答案】

【解析】解：在矩形中，，，

，，

由作法得平分，，

点到和的距离相等，

：：：：，

：：：，

，，

在中，，

．

故选：．

先利用勾股定理计算出，再利用基本作图得平分，，则根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，接着利用面积法得到：：，所以，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．

本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．

8.【答案】

【解析】解：设直角三角形的长直角边是，短直角边是，

正方形的边长是，

正方形的面积为，

，

，

平分，

，

，，

≌，

，

，

，

，，

≌，

，

，

，

∽，

：：，

：：，

，

，

，

，

，

，

正方形的面积是．

故选：．

设直角三角形的长直角边是，短直角边是，得到，由≌，得到，由≌，得到，因此，由∽，得到，即可求出，的值，由勾股定理即可解决问题．

本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出直角三角形的直角边的长，由勾股定理即可解决问题．

9.【答案】

【解析】解：，

的平方根是，

故答案为：．

运用开平方和平方的互逆运算关系进行求解．

此题考查了实数平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用开平方和平方的互逆运算关系．

10.【答案】

【解析】解：根据题意得，，

解得．

故答案为：．

根据被开方数大于等于列式计算即可得解．

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

该圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．

【解答】

解：设该圆锥的母线长为，

根据题意得，

解得，

即该圆锥的母线长为．

故答案为：．

12.【答案】

【解析】解：八边形是正八边形，

，

，

，

平分，

，

，

，

．

故答案为：．

根据正求出多边形的内角和公式，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，计算即可．

本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：，，

，

．

故答案为：．

先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．

本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理是解答此题的关键．

14.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将，代入两函数解析式得出关于与的关系式是解本题的关键．由两函数的交点坐标为，将，代入反比例解析式，求出的值，代入一次函数解析式，得出的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把及的值代入即可求出值．

【解答】

解：函数与的图象的交点坐标是，

将，代入反比例解析式得：，即，

代入一次函数解析式得：，即，

则，

故答案为：．

15.【答案】

【解析】解：设大容器的容积为斛，小容器的容积为斛，

根据题意得：，

故答案为：．

设大容器的容积为斛，小容器的容积为斛，根据“大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛”即可得出关于、的二元一次方程组．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于、的二元一次方程组是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：如图，连接，

、都是等边三角形，

，，，

，

，

≌，

，

如图，作点关于的对称点，连接，，则，，

当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，

，

．

周长：．

故答案为：．

连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明≌，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小．

本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

17.【答案】解：她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是；

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为，

所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是．

【解析】直接利用概率公式求解；

先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．

18.【答案】解：；

；

．

【解析】先化简，再算去括号，然后计算加减法即可；

先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．

本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

19.【答案】解：方程，

分解因式得：，

所以或，

解得：，；

，

由得：，

由得：，

不等式组的解集为．

【解析】方程利用因式分解法求出解即可；

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．

此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

20.【答案】

【解析】解：样本中喜欢项目的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是，

故答案为：；

被调查的总人数为人，

项目人数为人，

补全图形如下：

人，

答：根据样本估计全校喜欢的人数是人．

用乘以项目对应的百分比即可得出答案；

先根据项目人数及其所占百分比求出总人数，再用总人数减去、、项目人数求得的人数即可补全图形；

用总人数乘以样本中项目人数所占百分比即可．

本题主要考查利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21.【答案】解：四边形是平行四边形，

，，，

、分别是的边、上的中点，

，，

．

在和中，

，

≌；

．

【解析】解：见答案

当时，四边形是菱形．

四边形是平行四边形，

，，

、分别是、的中点．

，

四边形是平行四边形，

，为中点，

，

四边形是菱形，

故答案为：．

首先根据平行四边形的性质可得，，，再根据中点的性质可得，然后利用判定≌即可；

首先证明四边形是平行四边形，再添加，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，从而可判定四边形是菱形．

此题主要考查了平行四边形的性质和菱形的判定，关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等，邻边相等的平行四边形是菱形．

22.【答案】解：设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

，

答：甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元．

【解析】设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元，根据用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样．列出分式方程，解方程即可．

本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

23.【答案】证明：如图所示，连接，

，

，

，

，

，

，，

，

是的半径，

是的切线；

解：如图所示，连接，

，

∽，

，

，的半径为，

，

．

是的直径，，

，

，

∽，

，

即，

，

在中，，

，

，，

，

，

，

．

【解析】连接，证明是的切线，关键是证明；

连接，根据中得∽，从而求出的长，再根据∽求出的长，再利用三角函数求出的长，利用求出阴影部分的面积．

本题考查了切线的判定与不规则面积的求法，求不规则图形的面积，注意转化思想的运用即把不规则图形的面积转化成规则图形的面积和差的形式．

24.【答案】解：如图，

延长与地面所在直线交于点，

根据题意可知：

，

，

，

，

，

在中，，

，

即，

解得米．

答：摩天轮的半径为米．

【解析】延长与地面所在直线交于点，根据题意可得，及仰角度数，再根据锐角三角函数即可求出摩天轮的半径．

本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．

25.【答案】解：四边形是矩形，理由如下：

点是的中点，点是的中点，

，

，

，

，

，

四边形是矩形；

如图，过点作于，

，，