郑州市2022-2023学年数学九年级上册期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，在△45C中，点。是8c的中点，点E是AC的中点，若。£=3,则AJ5等于（）

2.对于二次函数y=4（x+1）（x-3）下列说法正确的是（）

A.图象开口向下

B.与x轴交点坐标是（1,0）和（-3,0）

C.xVO时，y随x的增大而减小

D.图象的对称轴是直线x=-1

3.抛物线C1向右平移4个单位长度后与抛物线C?重合，若（-1,3）在抛物线C1上，则下列点中，一定在抛物线C?

上的是（）

A.（3,3）B.（3,-1）C.（-1,7）D.（-5,3）

4.4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，

标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米.将439000用科学记数法表示应为（）

A.0.439x106B.4.39x106C.4.39xl05D.139xl03

5.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）.

A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换

6.下列方程中不是一元二次方程的是（）

A.4%2=49B.5X2-2=3XC.18/+1=（9y-l）（2y+3）D.O.QU2=2t

Q

7.已知点A（x「x）,6（々,必）在双曲线丫=一上•如果不<々，而且x「/>0,则以下不等式一定成立的是（）

A.必+%〉°B.必一%〉0C.

8.下列说法正确的是（）

A.不可能事件发生的概率为0;

B.随机事件发生的概率为:

C.概率很小的事件不可能发生；

D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

9.点A（-2,1）关于原点对称的点A，的坐标是（）

A.（2,1）B.（-2,-1）C.（-1,2）D.（2,-1）

10.如图，AOA耳,△4儿与、A42453,…是分别以A、A,、…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的

等腰直角三角形，其斜边的中点G（x”y），G（w，%），。3（毛，％），…均在反比例函数y=3（x〉0）的图象上.

贝！lx+%+…%的值为<

AyX

A.2MC.4722手

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.关于x的方程2x2—ax+l=0一个根是1,则它的另一个根为.

12.如图，正aABO的边长为2,O为坐标原点，A在K轴上，B在第二象限.△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚,

经第一次翻滚后得△AIBIO,则翻滚10次后AB中点M经过的路径长为

13.如图，AB、CD>）所在的圆的半径分别为门、口、门，则n、n、门的大小关系是.（用“V”连接）

14.对于为零的两个实数a,b,如果规定：a^h=ab-b-l,那么（2i!rx）=0中x值为.

15.将三角形纸片（△A3C）按如图所示的方式折叠，使点3落在边AC上，记为点夕，折痕为EF.已知A3=AC=3,

BC=4,若以点力,F,C为顶点的三角形与△A5C相似，则3尸的长度是.

16.如图，有一张直径（BC）为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A距地面2米，圆桌的影子是DE,

AD和AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D的坐标是（2,0）.那么点E的坐标是一.

17.已知二次函数y=-x?-2x+3的图象上有两点A（-7,yjB（-8,y2）,则一▲%.（用＞、＜、=填空）.

18.如图，在RtZViBC中，ZACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到44TTC,M是的中点，N是“配

的中点，连接MN,若BC=2cm,NABC=60。，则线段MN的最大值为.

/，

三、解答题（共66分）

19.（10分）已知关于x的方程点？+（后+3口+3=0伏70）.

（1）求证：方程一定有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数A的值.

20.（6分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水

池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示，以水平方

向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中

心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到

32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大

高度.

YYI

21.（6分）正比例函数y=2x与反比例函数y=—的图象有一个交点的纵坐标为1.

x

（1）求m的值；

m

（2）请结合图象求关于x的不等式2xW—的解集.

x

22.（8分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右.在其“勾

股''章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见

木?”意思是说：如图，矩形城池ABC。，东边城墙AB长9里，南边城墙40长7里，东门点E,南门点F分别是A3,

AO的中点，EGA.AB,FHLAD.EG=15里，"G经过点A,则尸”等于多少里？请你根据上述题意，求出尸H的长

度.

23.（8分）如图，在平面直角坐标系中，AAHC的三个顶点分别为A（-4,l）,B,C.

(I)点AB,。关于原点对称点分别为点4，5，G写出点4，SG的坐标；

(2)作出AABC关于原点对称的图形△A4G：

(3)线段0C与线段0G的数量关系是，线段AC与线段AC的关系是.

24.(8分)已知关于x的一元二次方程好+*+»1-1=1.

(1)当，"=1时，求方程的实数根.

(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数，”的取值范围.

25.(10分)如图，在以线段AB为直径的OO上取一点，连接AC、BC,将AABC沿AB翻折后得到AABD

(1)试说明点D在。O上；

(2)在线段AD的延长线上取一点E,使AB2=AC・AE,求证：BE为。O的切线；

(3)在(2)的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F,若BC=2,AC=4,求线段EF的长.

26.(10分)在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2、3、4、6的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地

完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字x,不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为

数字y,

(1)用树状图或列表法表示出坐标(x,y)的所有可能出现的结果；

12

(2)求取出的坐标(x,y)对应的点落在反比例函数y=一图象上的概率.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、D

【分析】由两个中点连线得到DE是中位线，根据DE的长度即可得到AB的长度.

【详解】•.•点D是BC的中点，点E是AC的中点，

.♦.DE是△ABC的中位线，

，AB=2DE=6,

故选：D.

【点睛】

此题考查三角形的中位线定理，三角形两边中点的连线是三角形的中位线，平行于三角形的第三边，且等于第三边的

一半.

2、C

【解析】先把解析式化为顶点式的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可.

【详解】y=4(x+l)(x-3)

A.•.•a=4>0,图象开口向上，故本选项错误，

B.与x轴交点坐标是(-1,0)和(3,0)，故本选项错误，

C.当xVO时，y随x的增大而减小，故本选项正确，

D.图象的对称轴是直线x=l,故本选项错误，

故选C.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是理解并灵活运用二次函数的性质.

3、A

【分析】利用点的平移进行解答即可.

【详解】解：•••抛物线C1向右平移4个单位长度后与抛物线C2重合

...将(-1,3)向右平移4个单位长度的点在抛物线C2上

...(3,3)在抛物线C?上

故选：A

【点睛】

本题考查了点的平移与函数平移规律，掌握点的规律是解题的关键.

4、C

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值VI时,

n是负数.

【详解】解：将439000用科学记数法表示为4.39x1.

故选c.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

5、B

【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案.

【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换.

故选艮

【点睛】

本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出.

6、C

【分析】根据一元二次方程的定义进行排除选择即可，一元二次方程的关键是方程中只包含一个未知数，且未知数的

指数为2.

【详解】根据一元二次方程的定义可知含有一个未知数且未知数的指数是2的方程为一元二次方程，所以A,B,D均

符合一元二次方程的定义，C选项展开移项整理后不含有未知数，不符合一元二次方程的定义，所以错误，故选C.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的定义，熟知此定义是解题的关键.

7、B

【解析】根据反比例函数的性质求解即可.

Q

【详解】解：反比例函数y=-的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，

x

而不</，而且为,％2同号，

所以%>%，

即％-%>°，

故选B.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=x（k为常数，kWO）的图象是双曲线，图象上的点（x,

X

y）的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.也考查了反比例函数的性质.

8、A

【分析】由题意根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的

机会大于0并且小于I,进行判断.

【详解】解：A、不可能事件发生的概率为0,故本选项正确；

B、随机事件发生的概率P为。VPV1,故本选项错误；

C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；

D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；

故选：A.

【点睛】

本题考查不可能事件、随机事件的概念.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件

是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

9、D

【解析】根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反，即可求解.

【详解】解：点A(-2,1)关于原点对称的点A，的坐标是(2,-1).

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键.

10、A

【分析】过点£，。2,G…分别作X轴的垂线，垂足分别为A，D2,2…，得出aoA用为等腰直角三角形，进

而求出.，再逐一求出必，为…的值，即可得出答案.

【详解】如图，过点£，G，G…分别作x轴的垂线，垂足分别为A，2,2…

4

为等腰直角三角形，斜边OB|的中点G在反比例函数y=—的图像上

X

，G(2,2),即y=2

JOD、=D}A]=2

设24则。2c2=Q

此时C2(4+a,a)

4

将C2(4+a,a)代入y=一得a(4+a)=4

x

解得Q=2及-2或-20-2(负值舍去)

即必=2e一2

同理%=26—20,y4=2A/4-2>/3»...»

y+必+♦..+Xo=2+2^2-2+2^3-2V2+...+2J10—2^9=2J10

本题考查的是反比例函数的图像与性质以及反比例函数上点的特征，难度系数较大，解题关键是根据点在函数图像上

求出y的值.

二、填空题（每小题3分，共24分）

1

11、一.

2

【详解】试题分析：设方程的另一个根为m,根据根与系数的关系得到l・m=,，解得m=1.

22

考点：根与系数的关系.

12、（4+迪）兀

3

【分析】根据题意先作B3E_Lx轴于E,观察图象可知为三次一个循环，求点M的运动路径，进而分析求得翻滚10次

后AB中点M经过的路径长.

【详解】解：如图作B3EJLX轴于E,

可知OE=5,B3E=百,

观察图象可知为三次一个循环，一个循环点M的运动路径为:

120°x;rx6120°x;rxl120°x^xl273+4^

180°f-180°—+-180°——1-3一)71，

则翻滚10次后AB中点M经过的路径长为：

3/包1+120。“通+延卜.

[3)180°(3)

故答案为：(4+量I)兀.

3

【点睛】

本题考查规律题，解题的关键是灵活运用弧长公式、等边三角形的性质等知识解决问题.

13、门<rz<ri

【分析】利用尺规作图分别做出A3、CD、成所在的圆心及半径，从而进行比较即可.

【详解】解：利用尺规作图分别做出AB、CD、成所在的圆心及半径

•*.F3<T2<ri

故答案为：门<r2<n

【点睛】

本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.

14、0或2

【分析】先根据。☆)=h•尻1得出关于x的一元二次方程，求出x的值即可.

【详解】☆仁而

2^x=2x-x-l=x-L

:(2^x)=彳☆(x-1)=0,即％2一2%=0,

解得：xi=O,X2=2；

故答案为：。或2

【点睛】

本题考查了解一元二次方程以及新运算，理解题意正确列出一元二次方程是解题的关键.

15、2或乜

7

【分析】设BF=x,根据折叠的性质用x表示出B，F和FC,然后分两种情况进行讨论(1)AB'FCs^ABC和

△BTC<-ABAC,最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解.

【详解】设BF=x,则由折叠的性质可知：BT=x,FC=4-X，

B'FFC

(1)当△B'FCs^ABC时，有——=——，

ABBC

x4-x

，解得：X=y;

34

B'FFC

(2)当ABTCs^BAC时，有——=—,

BAAC

x4—x

即：土=土」，解得：x=2；

33

12

综上所述，可知：若以点B，，F,C为顶点的三角形与AABC相似，则BF的长度是2或一

7

12

故答案为2或7.

【点睛】

本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明AB，FC和AABC相似时顶点的对应关系，所以

根据NC是两三角形的公共角可知，需分：(1)ABTC-AABC；(2)ABTC-ABAC；两种情况分别进行讨论，不

要忽略了其中任何一种.

16、(4,0)

【分析】如图延长CB交y轴于F,由桌面与x轴平行△AFBs^AOD,求FB=1.2,由△AFCSAAOE,可求OE即

可.

【详解】如图，延长CB交y轴于F,

•桌面与x轴平行即BF/7OD,

/.△AFB^AAOD,

VOF=0.8,

:.AF=AO-OF=2-O.8=1.2,

VOA=OD=2,

贝!JAF=FB=1.2,BC=1.2,FC=FB+BC=1.2+1.2=2.4,

：FC〃x轴，

/.△AFC^AAOE,

.AF_FC

••而-61'

AO-FC2x2.4

，OE=-----------=----------=4

AF1.2

E(4,0).

故答案为：(4,0).

【点睛】

本题考查平行线截三角形与原三角形相似，利用相似比来解，关键是延长CB与y轴相交，找到了已知与未知的比例

关系从而解决问题.

17、>.

【解析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出力与力的大小

关系：

•二次函数y=-x1-lx+3的对称轴是x=-1,开口向下，

...在对称轴的左侧y随x的增大而增大.

•••点人(-7,yi),B(-8,yi)是二次函数y=-x1-lx+3的图象上的两点，且-7>-8,

18、3cm

【分析】连接CN.根据直角三角形斜边中线的性质求出CN=LA'8=2,利用三角形的三边关系即可解决问题.

2

【详解】连接CN.

在RtZiABC中，；NACB=90°,BC=2,ZB=60°,

/.ZA=30",

.\AB=A,B'=2BC=4,

VNBZ=NA',

：.CN=-A'B'=2,

2

VCM=BM=b

.♦.MNWCN+CM=3,

.•.MN的最大值为3,

故答案为3cm.

【点睛】

本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型.

三、解答题（共66分）

19、（1）证明见解析；（2）正整数k=l或3.

【分析】（1）证明根的判别式不小于0即可；

（2）根据公式法求出方程的两根，用A表示出方程的根，再根据方程的两个实数根都是整数，进而求出A的值.

【详解】解：（1）证明：•・•△=（々+3）2—4-h3=火2-6女+9

=（&-3>>0,

二方程一定有两个实数根.

（2）解：=A，人=左+3,。=3,

.•.△=（々+3）2-4.h3=（4-3）2,

氏+3）±—3±（&—3）,

,,x——

2k2k

•.•方程的两个实数根都是整数，

...正整数％=1或1.

20、（1）水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-g（x-3）2+5（0<x<8）；（2）为了不被淋湿,

289

身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；（3）扩建改造后喷水池水柱的最大高度为工米.

【解析】分析：（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8,0）,求出a值，此题得解；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛

物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-：x2+bx+日，代入点（16,0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表

达式变形为顶点式，即可得出结论.

详解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x-3）2+5（a#））,

将（8,0）代入y=a（x-3）2+5,得：25a+5=0,解得：a=-；,

•••水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-1（x-3）2+5（0<x<8）.

（2）当y=l.8时，有（x-3）2+5=1.8,解得：xi=-LX2=7,

,为了不被淋湿，身高1・8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.

（3）当x=0时，y=-g（x-3）2+5=g.

2

设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-1x+bx+y.

•.•该函数图象过点（16,0）,

1'16AH

；.0=--xl62+16b+y,解z得1a：b=3,

二改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=--x2+3x+—=--（x--）2+啰，

555220

289

.•.扩建改造后喷水池水柱的最大高度为F米.

点睛：本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐

标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=L8时x的值；（3）根据

点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式.

21、（1）8；（2）xW-2或0VxS2

【分析】（1）先利用正比例函数解析式确定一个交点坐标，然后把交点坐标代入y=”中可求出m的值；

X

rn

（2）利用正比例函数和反比例函数的性质得到正比例函数y=2x与反比例函数y=一的图的另一个交点坐标为（-2,

x

-1）,然后几何图像写出正比例函数图像不在反比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可.

【详解】解：（1）当y=l时，2x=L解得x=2,则正比例函数y=2x与反比例函数y=—的图像的一个交点坐标为

x

（2,1）,

m

把（2,1）代入y=一得m=2xl=8；

x

（2）•・,正比例函数y=2x与反比例函数y=—的图像有一个交点坐标为（2,1）,

x

IT1

・•・正比例函数y=2x与反比例函数y=—的图的另一个交点坐标为（-2,-1）,如图，

x

当烂-2或OVx02时，2x＜一,

X

Hl

关于X的不等式2x$—的解集为XS-2或0VXS2.

X

【点睛】

本题主要考查的是正比例函数与反比例函数的基本性质以及两个函数交点坐标，掌握这几点是解题的关键.

22、1.1里

【分析】通过证明△HFAs/iAEG,然后利用相似比求出FH即可.

【详解】••,四边形ABCD是矩形，EG±AB,FH±AD,

.,.NHFA=NDAB=NAEG=90°,

，FA〃EG.

/.ZHAF=ZG.

/.△HFA^AAEG,

FHAFFH3.5

—=—,n即n——=—,

AFEG4.515

解得FH=L1.

答：FH等于1.1里.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求线段

的长度.

23、(1)点A]，用，G的坐标分别为(4，一1)，(1/)，(3,-2)；(2)作图见解析；(3)OC=OG，AC=A1G

【分析】(1)分别作出点4B,。关于原点对称点4,4，G，然后根据平面直角坐标系即可写出点4，用、C,

的坐标；

(2)连接4Bi、A,G、BiG即可；

(3)根据对称的性质即可得出结论.

【详解】解：(1)分别作点4B,C关于原点对称点4，B],G，如下图所示，A，B,,G即为所求，由平面

直角坐标系可知：点4，耳，G的坐标分别为(4，-1),(1,1),(3,-2)5

口莘口

rr-i-r

SJUL

(2)连接AB｝、4G、B,C,,如图所示，△A8C即为所求;

(3)由对称的性质可得到OC=OG，AC=AlCi.

故答案为：OC=OG；AC=AG.

【点睛】

此题考查的是作已知图形关于原点对称的图形和对称的性质，掌握已知图形关于原点对称图形的作法和对称的性质是

解决此题的关键.

24、(1)刈=*@,X2=±5(2)m<-

224

【分析】(1)令炉1,用公式法求出一元二次方程的根即可；

(2)根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于。的不等式，求解不等式即可.

【详解】(1)当炉1时，方程为f+x-l=l.

△=12-4X1X(-1)=5>1,"=二"占,，为=="逐,X2=±正.

2x122

(2)\,方程有两个不相等的实数根，.♦.△>1,即V-4X1X(ffl-1)=1-4M4=5-4«>1,：.m<-.

4

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式.一元二次方程根的判别式△=〃-4ac.

25、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)EF=-

3

【解析】分析：(1)由翻折知△ABCgZkABD,得NADB=NC=90。，据此即可得；

ABAD

(2)由AB=AD知AB2=AD・AE,即——=——，据此可得AABDS^AEB,即可得出NABE=NADB=90。，从而得

AEAB

证；

/、_1_ABAD.r-人如FEBE_

(3)由——=——知DE=1、BE=J5,证AFBEs/sFAB得一=—,据此知FB=2FE,在RtAACF中根据

AEABFBAB

AF2=AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得.

详解：(1)YAB为。O的直径，

.•.ZC=90°,

,将AABC沿AB翻折后得到△ABD,

.,.△ABC^AABD,

:.ZADB=ZC=90°,