一阶电路和二阶电路的时域分析课件

一阶的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；

重点4.一阶电路的阶跃响应及冲激响应概念及求解。1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；返回3.稳态分量、暂态分量的概念及求解；一阶的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；重点4.7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。以RC电路为例，电路微分方程：1.全响应全响应下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答为：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解

=RC返回7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

-US由初始值定A下页上页强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)返回uC(0－)=U0uC(0+)=A+US=U0A=U2.全响应的两种分解方式uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰下页上页返回2.全响应的两种分解方式uC"-USU0暂态解uC'US稳全响应=

零状态响应

+

零输入响应着眼于因果关系便于叠加计算下页上页零输入响应零状态响应S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0返回全响应=零状态响应+零输入响应着眼于因果关系便于叠加零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0下页上页返回零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U例1t=0

时,开关k打开，求t>0后的iL、uL。解这是RL电路全响应问题，有：零输入响应：零状态响应：全响应：下页上页iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

返回例1t=0时,开关k打开，求t>0后的iL、uL。解这或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是RC电路全响应问题，有：下页上页稳态分量：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=下页上页全响应：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

下页上页全响应：返回+–10V1A1+－uC1+－3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令

t=0+其解答一般形式为：下页上页特解返回3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方

分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。用0+等效电路求解用t→

的稳态电路求解下页上页直流激励时：A注意返回分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问例1已知：t=0

时合开关，求换路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下页上页1A2

1

3F+-uC返回例1已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)解tuc2(例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：下页上页iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1三要素公式返回例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三三要素为：下页上页0＋等效电路返回+–20V2A5

5

+–10Vi2i1三要素为：下页上页0＋等效电路返回+–20V2A55例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)解三要素为：下页上页4

+－4

i12i1u+－2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12返回例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)解三要素下页上页例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)

。+–1H0.25F5

2

S10Vi解三要素为：返回下页上页例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t下页上页+–1H0.25F5

2

S10Vi返回下页上页+–1H0.25F52S10Vi返回已知：电感无初始储能t=0

时合S1

,t=0.2s时合S2，求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2s解下页上页例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回已知：电感无初始储能t=0时合S1,t=0.2st>0.2s下页上页i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回t>0.2s下页上页i10V+S1(t=0)S2(t(0<t

0.2s)(t

0.2s)下页上页it(s)0.25(A)1.2620返回(0<t0.2s)(t0.2s)下页上7.5二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：电路方程：以电感电流为变量：下页上页RLC+-iuc返回7.5二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0i(0+特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0以电感电流为变量时的初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U0下页上页返回特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uC(0+2.零状态响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼特征根：下页上页返回2.零状态响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼特征根：下页下页上页返回下页上页返回U0tuc设|P2|>|P1|下页上页0电容电压返回U0tuc设|P2|>|P1|下页上页0电容电压返t=0+

ic=0,t=

ic=0ic>0t=tm

时ic

最大tmic下页上页tU0uc0电容和电感电流返回t=0+ic=0,t=ic=0ic>U0uctm2tmuLic0<t<tm，i增加,uL>0，t>tmi减小,uL

<0t=2tm时

uL

最大下页上页RLC+-t0电感电压返回U0uctm2tmuLic0<t<tm，i增加iC=i为极值时，即uL=0时的

tm

计算如下:由duL/dt可确定uL为极小时的

t.下页上页返回iC=i为极值时，即uL=0时的tm计算如下:由能量转换关系0<t<tm

uC

减小，i

增加。t>tmuC减小，i

减小.下页上页RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0返回能量转换关系0<t<tmuC减小，iuc

的解答形式：经常写为：下页上页共轭复根返回uc的解答形式：经常写为：下页上页共轭复根返回δωω0

下页上页ω，ω０，δ的关系返回δωω0下页上页ω，ω０，δ的关系返回t=0时

uc=U0uC=0：t=-，2-...n-t-2-2

0U0uC下页上页返回t=0时uc=U0uC=0：t=-，2-t-2-2

0U0uC

iC

uL=0：t=，+，2+...n+ic=0：t=0，

，2...n，为

uc极值点，ic的极值点为uL零点。下页上页返回t-2-20U0uCiCuL=0：t=能量转换关系：0<t<<t<--<t<t-2-2

0U0uc

iC下页上页RLC+-RLC+-RLC+-返回能量转换关系：0<t<<t<-特例：R=0时等幅振荡t下页上页LC+-0返回特例：R=0时等幅振荡t下页上页LC+-0返回下页上页相等负实根返回下页上页相等负实根返回下页上页返回下页上页返回定常数可推广应用于一般二阶电路下页上页小结返回定常数可推广应用于一般二阶电路下页上页小结返回电路如图，t=0时打开开关。求uC并画出其变化曲线。解（1）

uC(0－)=25V

iL(0－)=5A特征方程为：

50P2+2500P+106=0例1（2）开关打开为RLC串联电路，方程为：下页上页5Ω100

F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-+-iLuC返回电路如图，t=0时打开开关。求uC并画出其变化曲线。解（(3)

t0uC35625下页上页返回(3)t0uC35625下页上页返回7.6二阶电路的零状态响应和全响应本章不做要求）uC(0－)=0,iL(0－)=0微分方程为：通解特解特解:

特征方程为:下页上页RLC+-uCiLUS

(t)+-例1.二阶电路的零状态响应返回7.6二阶电路的零状态响应和全响应本章不做要求）uC(0－uC解答形式为：下页上页tuCUS0返回uC解答形式为：下页上页tuCUS0返回求电流i的零状态响应。

i1=i－0.5u1=i

－0.5(2－i)2=2i－2由KVL：整理得：首先写微分方程解下页上页2-ii1例二阶非齐次常微分方程返回+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Ai求电流i的零状态响应。i1=i－0.5u1=特征根为：

P1=－2，P2=－6解答形式为：第三步求特解i'由稳态模型有：i'=0.5u1u1=2(2－0.5u1)i'=1Au1=2下页上页第二步求通解返回稳态模型+u1-2

i2A0.5u12

特征根为：P1=－2，P2=－6解答形式为：第三第四步定常数由0+电路模型：下页上页返回+u1-0.5u12W1/6F1Hk2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W+2A-uL(0+)第四步定常数由0+电路模型：下页上页返回+u1-0.52.二阶电路的全响应已知：iL(0-)=2AuC(0-)=0求：iL,

iR(1)

列微分方程(2)求特解解下页上页RiR-50V50

100F0.5H+iLiC例应用结点法：返回2.二阶电路的全响应已知：iL(0-)=2AuC(0(3)求通解特征根为：

P=-100j100(4)定常数特征方程为：下页上页返回(3)求通解特征根为：P=-100j100(4(5)求iR或设解答形式为：定常数下页上页RiR-50V50

100F0.5H+iLiCRiR-50V50

+iC2A返回(5)求iR或设解答形式为：定常数下页上页RiR-50下页上页返回下页上页返回二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。下页上页小结返回二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。求二阶电路全响应的步骤(a)列写t>0+电路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全响应=强制分量+自由分量上页返回上页求二阶电路全响应的步骤(a)列写t>0+电路的微分方程(b7.7一阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数

定义t

(t)01

单位阶跃函数的延迟t

(t-t0)t001下页上页返回7.7一阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数定义t(t=0合闸

i(t)=Is在电路中模拟开关的动作t=0合闸

u(t)=E

单位阶跃函数的作用下页上页SUSu(t)u(t)返回Isku(t)t=0合闸i(t)=Is在电路中模拟开关的起始一个函数tf(t)0t0延迟一个函数下页上页tf(t)0t0返回起始一个函数tf(t)0t0延迟一个函数下页上页tf(

用单位阶跃函数表示复杂的信号例1

(t)tf(t)101t0tf(t)0t0-

(t-t0)例21t1f(t)0243下页上页返回用单位阶跃函数表示复杂的信号例1(t)tf(t)101例41t1f(t)0例31t1f(t)0243下页上页返回例41t1f(t)0例31t1f(t)024例5t1

02已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。t1u(t)0－22t1

0－11t1

01

t1021下页上页返回例5t102已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电和的区别2.一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应下页上页iC+–uCRuC(0－)=0注意返回和的区别2.一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中t01it0i下页上页tuC10返回t01it0i下页上页tuC10返回tiC0激励在t=t0

时加入，则响应从t=t0开始。t-t0(t-t0)-t不要写为：下页上页iC

(t-t0)C+–uCRt0注意返回tiC0激励在t=t0时加入，t-t0(t-求图示电路中电流iC(t）例下页上页10k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0－)=0等效返回求图示电路中电流iC(t）例下页上页10k10kus+应用叠加定理下页上页5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F阶跃响应为：返回应用叠加定理下页上页5k+ic100F5k+ic100由齐次性和叠加性得实际响应为：下页上页5k+-ic100F5k+-ic100F返回由齐次性和叠加性得实际响应为：下页上页5k+ic100下页上页分段表示为：返回下页上页分段表示为：返回分段表示为：t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形0.368下页上页返回分段表示为：t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形07.8*

一阶电路的冲激响应1.单位冲激函数

定义t(t)10单位脉冲函数的极限/21/

tp(t)-/2下页上页返回7.8*一阶电路的冲激响应1.单位冲激函数定义t(t

单位冲激函数的延迟t

(t-t0)t00（1）

单位冲激函数的性质冲激函数对时间的积分等于阶跃函数下页上页返回单位冲激函数的延迟t(t-t0)t00（1）单位冲激冲激函数的‘筛分性’

同理例t

(t)10f(t)f(0)

f(t)在t0处连续f(0)

(t)注意下页上页返回冲激函数的‘筛分性’同理例t(t)10f(t)f(0)uc不是冲激函数,否则KCL不成立分二个时间段考虑冲激响应电容充电，方程为(1)

t

在

0－

→

0+间例12.一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。冲激响应求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。解注意下页上页返回uC(0－)=0iCR

(t)C+-uCuc不是冲激函数,否则KCL不成立分二个时间段考虑冲激响电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。0结论(2)t>0+

为零输入响应（RC放电）iCRC+uC－下页上页返回电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。0结论(2)t>0uCt0iCt10下页上页返回uCt0iCt10下页上页返回例2求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。分二个时间段考虑冲激响应解L+-iLR+-uLiL不是冲激函数,否则KVL不成立。注意0下页上页返回(1)

t

在

0－

→

0+间方程为例2求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。分二个时间段电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。结论(2)t>0+

RL放电LiLR+-uL下页上页返回电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。结论(2)t>iLt0uLt10下页上页返回iLt0uLt10下页上页返回零状态R(t)3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激

(t)单位阶跃

(t)激励响应下页上页返回零状态R(t)3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响先求单位阶跃响应：求:is(t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC(t).例解uC(0+)=0uC(

)=R

=RC

iC(0+)=1iC(

)=0再求单位冲激响应,令：下页上页返回令uC(0－)=0iCRiS(t)C+-uC先求单位阶跃响应：求:is(t)为单位冲激时电路响应uC(0下页上页返回0下页上页返回uCRt0iC1t0uCt0冲激响应阶跃响应iCt10下页上页返回uCRt0iC1t0uCt0冲激响应阶跃响应iCt10下页7.9*

卷积积分1.卷积积分定义设函数

f1(t),f2(t)

t<0

均为零

性质下页上页返回7.9*卷积积分1.卷积积分定义设函数f1(t)令

=t

-

d

=-

d

：0t

:t0证明下页上页2.卷积积分的应用激励e(t)响应r(t)线性网络零状态返回令=t-证明下页上页2.卷积积分的应用激励

将激励e(t)近似看成一系列具有相同宽度的矩形脉冲的叠加，下页上页激励e(t)响应r(t)线性网络零状态若冲激响应则物理解释返回将激励e(t)近似看成一系列具有相同宽度的矩形下页上页

返回下页上页 返回下页上页若单位脉冲函数p(t)

的零状态响应为

hΔ(t)第1个矩形脉冲响应第k个矩形脉冲响应返回下页上页若单位脉冲函数p(t)的零状态响应为

根据叠加定理，t

时刻观察到的响应应为0~t

时间内所有激励产生的响应的和下页上页返回根据叠加定理，t时刻观察到的响应应为0例1已知：R=500k,C=1F,uC(0)=0，求uC(t)下页上页先求电路的冲激响应h(t)解uC(

)=0返回RCiS+–uC例1已知：R=500k,C=1F,uC(0)再计算

时的响应

uC(t)例2下页上页设例1中的，求uC(t)解返回再计算时的响应uC(t被积函数积分变量下页上页参变量f1(

)101

f2(-

)10由图解过程确定积分上下限返回被积函数积分变量下页上页参变量f1()101f2(

101e-2(-

)t01下页上页te-2(t-

)移t’卷积返回101e-2(-)t01下页上页te-2(t-)1.网络的状态与状态变量

网络状态

指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行为的最少量的一组信息。

状态变量

电路的一组独立的动态变量X，

X=[x1,x2……xn]T，它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如独立的电容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）就是电路的状态变量。下页上页7.10*

状态方程返回1.网络的状态与状态变量网络状态指能和激励一道唯一

状态变量法下页上页

借助于状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。只要知道状态变量在某一时刻值X(t0),再知道输入激励e(t)，就可以确定t>t0后电路的全部性状(响应)。状态变量X(t0)激励e(t)(t

t0)

Y(t)(t

t0)响应注意这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。返回状态变量法下页上页借助于状态变量，建立一组联系已知:

求：解e(0)=10V例下页上页3

LCe(t)+iLiC+-uC-uo返回已知:求：解e(0)=10V例下页上页3LCe(t)同理可推广至任一时刻t1由

(1)状态变量和储能元件有关

(2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量

(3)状态变量的选择不唯一。求出下页上页表明返回同理可推广至任一时刻t1由(1)状态变量和储能元件有关设

uc、iL为状态变量整理得

每一个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。对简单电路采用直观编写法。状态方程下页上页2.状态方程的列写3

LCe(t)+iLiC+-uC-uo返回设uc、iL为状态变量整理得每一个状态方矩阵形式

联立的一阶微分方程组

左端为状态变量的一阶导数

右端含状态变量和输入量下页上页特点返回矩阵形式联立的一阶微分方程组左端为状态变量的一阶导数右一般形式下页上页返回一般形式下页上页返回电路的输出方程代数方程用状态变量和输入量表示输出量一般形式[Y]=[C][X]+[D][V]下页上页3

LCe(