2020潍坊高三期末数学试题

2020潍坊高三期末数学试题高三数学2020年1月本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，请在试题卷和答题卡上规定的位置填写准考证号和姓名。2.回答选择题时，请用铅笔在答题卡上涂黑对应题目的答案标号。如需改动，请用橡皮擦干净后再涂其他答案标号。回答非选择题时，请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.已知集合A={x|x^2-2x-3≤0}，B={x|-2≤x<1且x∈Z}，则A∩B={-2,-1}。2.设(1+i)a=1+bi(i是虚数单位)，其中a,b是实数，则a+bi=2。3.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ^2)，若P(ξ<4)=0.9，则P(-2<ξ<1)=0.4。4.《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与1/2Lh，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3/2。若圆锥体积的近似公式为V≈Lh，则π应近似取为25/8，计算其体积V的近似公式为V≈5/2Lh。5.函数y=f(x)与y=g(x)的图像如右图所示，则D部分的图像可能是y=h(x)=f(x)+g(x)。6.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡。若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以。若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有20种。7.已知sin(α-π/3)=1/2，α∈(0,π)，则cosα=1/2。8.已知点P为双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若PF1=4HF1，则C的方程为(x^2/16)-(y^2/9)=1。二、多项选择题：9.等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为B.1+2π/2，即正方体的表面积加上一个半球的表面积。10.已知f(x)=2cos(ωx+3sin^2ωx-1)(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的有B.函数f(x)在[0,π]上为增函数。因为ω>0，所以ωx+3sin^2ωx-1的最小正周期为π/ω，所以f(x)的最小正周期为π/ω，即π。而2cos(ωx+3sin^2ωx-1)的图像是一个振幅为2，周期为π/ω的余弦函数，所以在[0,π]上是单调递增的。11.已知等比数列{an}的公比q=-2，等差数列{bn}的首项b1=12，若a9>b9且3a10>b10，则以下结论正确的有B.a9>a10。因为q<0，所以an是一个单调递增的数列，所以a9>a10。又因为a9>b9，所以a9>12，所以a9a10<36，所以b10>b9>3，所以b10>9，所以b9>b10。12.把方程x^2/16+y^2/9=-1表示的曲线作为函数y=f(x)的图像，则下列结论正确的有C.y=f(x)的图像上的点到坐标原点的距离的最小值为3。将x^2/16+y^2/9=-1两边同乘16/9得到y^2=-16x^2/9-16，所以y^2+16x^2/9=-16。因为x^2/16+y^2/9=-1表示的曲线在第一象限内，所以y=f(x)的图像在第一象限上。设点P(x,y)在y=f(x)的图像上，则点P到坐标原点的距离为√(x^2+y^2)，所以要求y=f(x)的图像上的点到坐标原点的距离的最小值，就要求y=f(x)的图像上的点到x轴的距离的最小值。设点Q(x,0)在y=f(x)的图像上，则点Q到x轴的距离为|y|=|f(x)|=√(-16x^2/9-16)，所以要求y=f(x)的图像上的点到x轴的距离的最小值，就要求√(-16x^2/9-16)的最小值。显然，当x=0时，√(-16x^2/9-16)取得最小值-4/3，此时点Q为坐标原点，所以y=f(x)的图像上的点到坐标原点的距离的最小值为3。三、填空题：13.向量a=(x,-4),b=(1,-x)，若a与b共线，则实数x=-4。两个向量共线，当且仅当它们的比值为常数。即a/b=k，其中k为常数。所以x/1=-4/-x，解得x=-4。14.已知圆(x-2)^2+(y-1)^2=2关于直线ax+by=1(a>0,b>0)对称，则最小值为1/√(a^2+b^2)。圆(x-2)^2+(y-1)^2=2的圆心为(2,1)，半径为√2。设圆心到直线ax+by=1的距离为d，则圆关于直线的对称中心为(2-2ad/√(a^2+b^2),1-bd/√(a^2+b^2))。因为对称后的圆还是圆，所以对称中心也在圆上，即(2-2ad/√(a^2+b^2))^2+(1-bd/√(a^2+b^2))^2=2，解得d=a(2a-1)/a^2+b^2，所以对称后的圆的半径为√(2-d^2)=√(a^2+b^2)/|a|，所以对称前的圆的半径为√2/|a|，所以最小值为1/√(a^2+b^2)。15.已知P是抛物线y=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标为(2,3)，2ab=21，则PA+PM的最小值是4√2。点P在抛物线上，所以P的坐标为(t,4t)，其中t为参数。点M的坐标为(0,4t)。设点Q为抛物线y=4x上到点A最近的点，则Q的坐标为(2/3,8/3)。设线段PM的长度为l1，线段QA的长度为l2，则PA+PM的最小值为l1+l2。由于点P在抛物线上，所以PM的长度为√((t-0)^2+(4t-4t)^2)=|t|。由于点Q在抛物线上，所以QA的长度为√((2/3-2)^2+(8/3-3)^2)=2√2/3。由于点P到点A的距离为|4t-3t|=t，所以PA的长度为√((t-2)^2+(4t-3)^2)。由于2ab=21，所以b=21/4a，所以抛物线的焦点坐标为(a,1/4a)，所以抛物线的焦距为1/4a，所以抛物线的参数为p=1/16。因为点P在抛物线上，所以4t^2=p(t-0)，所以t=2/√2。所以PA的长度为√((2/√2-2)^2+(4(2/√2)-3)^2)=4√2。所以PA+PM的最小值为4√2+2√2/3=14√2/3=4√2。16.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A,C,K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面面积为1/2。过A,C,K三点的平面与平面ABCD-A1B1C1D1的交线是一条直线，设交线与棱A1B1的交点为E，则EK=1/2。由于K为棱A1B1的中点，所以EK=AK=CK=1/2。所以点K在球面A1B1C1D1上，且球心为E，半径为1/2。所以截面是一个半圆，面积为1/2。又因为截面把正方体分成体积之比为2：1的两部分，所以截面面积为1/2。四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知各项均不相等的等差数列$\{a_n\}$的前4项和为10，且$a_1,a_2,a_4$是等比数列$\{b_n\}$的前3项。（1）求$a_n,b_n$；（2）设$c_n=b_n+1$，求$\{c_n\}$的前$n$项和$S_n$。解答：（1）设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，则有：$$\begin{cases}a_1+b_1=2b_1\\a_1+a_2+b_1+b_2=2b_2\\a_1+a_2+b_3+b_4=2b_3\\a_1+a_2+a_3+b_1+b_2+b_3+b_4=10\end{cases}$$化简得：$$\begin{cases}a_1=b_1\\a_2=\dfrac{3}{2}b_1+\dfrac{1}{2}b_2\\a_3=2b_2-b_1\\a_4=\dfrac{5}{2}b_2-\dfrac{1}{2}b_1\end{cases}$$又因为$a_1,a_2,a_4$是等比数列$\{b_n\}$的前3项，所以有：$$\begin{cases}a_1b_2=a_2b_1\\a_2b_4=a_4b_2\end{cases}$$代入上式解得：$$b_1=\frac{2}{3}a_1,b_2=\frac{4}{3}a_1,b_4=\frac{5}{2}a_1$$又因为$\{a_n\}$是等差数列，所以$a_3=a_1+2d$，代入$a_1+a_2+a_3+b_1+b_2+b_3+b_4=10$中解得$d=-\frac{1}{2}$，从而得到$a_n,b_n$的通项公式：$$a_n=2a_1-(n-1)\frac{1}{2}a_1,\quadb_n=\frac{2}{3}a_1\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}$$（2）设$S_n=\sum\limits_{i=1}^nc_i$，则有：$$S_n=\sum\limits_{i=1}^n(b_i+1)=\sum\limits_{i=1}^nb_i+n=\frac{2}{3}a_1\cdot\frac{1-\left(\frac{4}{3}\right)^n}{1-\frac{4}{3}}+n$$故$S_n$的通项公式为$S_n=\dfrac{2}{3}a_1\cdot\dfrac{4^n-1}{3\cdot2^{n-1}}+n$。18.（12分）在底面为正方形的四棱锥$P-ABCD$中，平面$PAD\perp$平面$ABCD$，$PA=PD$，$E$，$F$分别为棱$PC$和$AB$的中点。（1）求证：$EF\parallel$平面$PAD$；（2）若直线$PC$与$AB$所成角的正切值为$\tan\alpha$，求平面$PBC$所成锐二面的大小。解答：（1）连接$PE$，$PF$，则有$PE\parallelAD$，$PF\parallelBC$，且$PE=PF$，因为$E$，$F$分别为$PC$和$AB$的中点。又因为$PA=PD$，$PE=PF$，所以$\trianglePEA\cong\trianglePDF$，从而$\angleAPE=\angleDPF$，又因为$PE\parallelAD$，$PF\parallelBC$，所以$\angleAPE=\angleCPB$，$\angleDPF=\angleCPD$，因此$\angleCPB=\angleCPD$，即$EF\parallelAD$，又因为$AD\perpPC$，所以$EF\parallel$平面$PAD$。（2）设$PC$与$AB$所成角的大小为$\theta$，则$\tan\theta=\tan\alpha$，即$\dfrac{PC}{AB}=\tan\alpha$。又因为$PE=PF$，所以$\trianglePEF$为等腰三角形，从而$\angleEPF=\angleEFP=45^\circ$。设平面$PBC$与平面$PAD$所成的角为$\beta$，则有：$$\tan\beta=\dfrac{PC}{PD}=\dfrac{PC}{PA}=\dfrac{PC}{AB\tan\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{PC}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\tan\alpha$$故平面$PBC$所成锐二面的大小为$\beta=\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\tan\alpha\right)$。19.（12分）在$3\sinC=4\cos4$，$2b\sin\left(\dfrac{5}{2}\right)B+2c\cos\left(\dfrac{5}{2}\right)C=5\sinB$这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题。在$\triangleABC$中，角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，已知$\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{4}$，$a=32$。（1）求$\sinA$；（2）如图，$M$为边$AC$上一点，$MC=MB$，$\angleABM=\dfrac{\pi}{2}$，求$\triangleABC$的面积。解答：由$\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{4}$，可得$b=\dfrac{3}{4}a=24$，又因为$\sinC=\dfrac{4}{3}\cos4$，所以：$$\begin{aligned}\sin^2C&=1-\cos^2C\\&=1-\left(\dfrac{4}{5}\sin^24\right)\\&=\dfrac{9}{25}\end{aligned}$$从而得到$\sinC=\dfrac{3}{5}$，进而求得$\cosC=\dfrac{4}{5}$，$\sinB=\dfrac{5\sinC}{2b}=0.125$。（1）由正弦定理可得：$$\dfrac{a}{\sinA}=\dfrac{b}{\sinB}=\dfrac{c}{\sinC}$$代入已知条件解得$\sinA=\dfrac{3}{5}$。（2）连接$BM$，$CM$，则$\triangleABM$为直角三角形，$\triangleMBC$为等腰三角形，且$\angleBMC=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{B}{2}-\dfrac{C}{2}$。由余弦定理可得：$$\begin{aligned}BC^2&=BM^2+CM^2-2BM\cdotCM\cos\angleBMC\\&=\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2-\dfrac{1}{2}c^2\\&=\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2-\dfrac{1}{2}(a^2+b^2-c^2)\\&=c^2-\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}b^2\\&=\dfrac{7}{4}a^2-\dfrac{1}{4}b^2\\&=\dfrac{175}{2}\end{aligned}$$故$\triangleABC$的面积为：$$S_{\triangleABC}=\dfrac{1}{2}BC\cdota=\dfrac{175}{4}\cdot32=1400$$20．(12分)读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气。书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式。某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了$n$名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图。将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”。已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人。（1）求$n$，$p$的值；（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数