青岛版数学八年级上册 2.5 角平分线的性质 课件(共17张PPT)

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第2章图形的轴对称

2.5角平分线的性质

学习目标

1.通过折纸、画图等操作，体会角的轴对称性，理解角的平分线所在的直线是它的对称轴.

2.掌握角平分线的性质和判定，能够利用它们解决一些实际问题.

3.会用尺规作图作一个角的平分线，并能写出具体的作图步骤.

4.经历探索角平分线的性质的过程，进一步培养推理的意识和能力，熟悉几何推理的基本思想.

B

活动探究

试一试：在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点A的某条直线对折，使角的两边BA与AC重合然后把纸展开后铺平，折痕记为AD，你发现什么现象？

由此，我们可以得到如下结论：

角是图形，

它的对称轴是.

C

B

A

D

轴对称

AD

角的平分线所在的直线是它的对称轴.

C

B

A

D

在∠BAC的角平分线AD上任意取一点P，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点M，N，用圆规比较PN与PM的大小，你有什么发现说明你的理由.由此你能得出什么结论

P

M

N

解：通过用圆规比较PM与PN的大小，发现PM=PN.

解：因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2

因为PM⊥AB，PN⊥AC，

所以∠AMP=∠ANP=90°.

在△AMP与△ANP中，

因为

所以△AMP≌△ANP（AAS）.

所以PM=PN.

∠1=∠2，

∠AMP=∠ANP，

AP=AP，

C

B

A

D

P

M

N

1

2

角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.

角平分线性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

C

B

M

A

P

N

D

应用所具备的条件：

（1）AD为角的平分线；

（2）点P在该平分线上；

（3）PM⊥ABPN⊥AC

符号语言：

因为AD平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC

所以PM=PN.

如图，已知∠BAC，经过∠BAC内部任意作直线l1∥AB，作直线l2∥AC，使l2与AC之间的距离等于l1与AB之间的距离.记l1，l2的交点为P.则P是∠BAC内部一个到∠BAC的两边AB，AC距离相等的点.作直线AP.如果将∠BAC沿AP对折.你发现∠BAP与∠CAP重合吗由此你能得到什么结论

B

C

B

A

P

解：∠BAP与∠CAP重合.

∠BAP=∠CAP，点P在∠BAC的平分线上.

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

l1

l2

角平分线的判定：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

应用所具备的条件：

（1）点P在∠BAC的内部；

（2）PM⊥ABPN⊥AC；

（3）PM=PN.

符号语言：

因为PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PN；

所以点P在∠BAC的角平分线上，所以∠1=∠2.

C

B

A

D

P

M

N

1

2

已知：∠BAC.

求作：∠BAC的平分线.

A

B

C

E

F

P

已知一个角，你能用直尺和圆规作出它的平分线吗？

你能说明所作出的射线AP是∠BAC的平分线吗？

A

B

C

E

F

P

连接PE，PF，

因为AE=AF，EP=FP，

由SSS，△APE≌△APF.

所以∠BAP=∠CAP.

【例】如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.

试说明：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

因为BM是△ABC的角平分线，

点P在BM上，

所以PD=PE.

同理，PE=PF.

所以PD＝PE=PF.

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

解：过点P作PD⊥AB于D，

PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，

D

P

M

N

A

B

C

F

E

D

P

M

N

A

B

C

F

E

结论：三角形的三条角平分线交于一点，

并且这点到三边的距离相等.

想一想，点P在∠A的平分线上吗？

这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

1.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若CD=3cm,则点D到AB的距离DE长度是()

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

C

随堂练习

解：作夹角的角平分线OC，

截取OD=2.5cm，D即为所求.

D

2.如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）

O

C

200

400m

0

比例尺：

3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，

求证：点F在∠DAE的平分线上．

A

B

D

C

E

F

G

H

M

A

B

D

C

E

F

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，

FM⊥BC于M.

因为点F在∠BCE的平分线上，

FG⊥AE，FM⊥BC，

所以FG=FM.

又因为点F在∠CBD平分线上，

FH⊥AD，FM⊥BC.

所以FM=FH.

所以FG=FH，

所以点F在∠DAE的平分线上.

角平分线

性质

判定

角平分线上的点到

角两边的距离