人教版高中数学选择性必修第三册8.2 一元线性回归模型及其应用 B组 能力提高训练含解析

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人教版高中数学选择性必修第三册

8.2一元线性回归模型及其应用B组能力提高训练（原卷版）

一、选择题

1．（2023·全国高二课时练）某种碘是一种放射性物质，该碘最初一段时间衰减的时间（单位：分钟）与剩余量（单位：克）存在着较强的线性相关关系．如表是某校化学社团师生观测该碘在5天内衰减情况得出的一组数据，则对的线性回归方程可以是（）

（单位：分钟）1020304050

（单位：克）22.51917.51511

A．B．C．D．

2．（2023·黑龙江哈尔滨九中高二月考）已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数的图象附近，设，将其变换后得到线性方程，则（）

A．B．C．D．

3.（2023·江苏徐州高二月考）对于数据组，如果由线性回归方程得到的对应于自变量的估计值是，那么将称为相应于点的残差．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示：

3456

2.534

根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本处的残差为－0.15，则表中的值为（）

A．3.3B．4.5C．5D．5.5

4．（2023·全国高二课时练习）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量(单位：千件)与售价(单位：元/件)之间的关系，收集组数据进行了初步处理，得到如下数表：

根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（）

A．，具有负相关关系，相关系数

B．每增加一个单位，平均减少个单位

C．第二个样本点对应的残差

D．第三个样本点对应的残差

5．（多选题）（2023·福建三明一中高二月考）某种产品的价格x(单位：元/)与需求量y(单位：)之间的对应数据如下表所示：

x1015202530

y1110865

根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（）

A．相关系数

B．

C．若该产品价格为35元，则日需求量大约为

D．第四个样本点对应的残差为

6．（多选题）（2023·全国高二专题练习）年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图.(图中月份代码分别对应年月年月)

根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：

注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法正确的是（）

A．当月在售二手房均价与月份代码呈负相关关系

B．由预测年月在售二手房均价约为万元/平方米

C．曲线与都经过点

D．模型回归曲线的拟合效果比模型的好

二、填空题

7．（2023·江西赣州市·高二期末）下面是两个变量的一组数据：

12345678

191625364964

这两个变量之间的线性回归方程为，变量中缺失的数据是___________．

8．（2023·扶风县法门高中高二月考）已知一组数据点，，，…，，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，，，…的均值为，则可以估计数据，，，…的均值为______．

9．（2023·全国高二课时练习）某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制订节能减排的目标，调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：

（单位：℃）171410

（单位：千瓦·时）24343864

由表中数据得回归直线方程为，则由此估计当某天气温为2℃时，当天用电量为________千瓦·时

10．（2023·全国高二课时练）已知具有相关关系的两个随机变量的一组数据的散点图如图所示，可以用来拟合，设，将其变换后得到线性回归方程，若，则__________．

三、解答题

11．（2023·吉林长春市·高二月考）随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；

（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；

（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．

参考公式；线性回归方程，其中

12．（2023·全国高二专题练）中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据（室温是）．

泡制时间01234

水温8579747165

4.24.14.03.93.8

（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温（即）就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画．

①令，求出关于的线性回归方程；

②利用①的结论，求出中的与．

（2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？

参考数据：．参考公式：．

人教版高中数学选择性必修第三册

8.2一元线性回归模型及其应用B组能力提高训练（解析版）

一、选择题

1．（2023·全国高二课时练）某种碘是一种放射性物质，该碘最初一段时间衰减的时间（单位：分钟）与剩余量（单位：克）存在着较强的线性相关关系．如表是某校化学社团师生观测该碘在5天内衰减情况得出的一组数据，则对的线性回归方程可以是（）

（单位：分钟）1020304050

（单位：克）22.51917.51511

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】根据题意数据分析得到：该碘最初一段时间衰减的时间与剩余量存在着较强的负线性相关关系，假设回归方程为,由选项得到，又，，所以，故对的线性回归方程为：.

2．（2023·黑龙江哈尔滨九中高二月考）已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数的图象附近，设，将其变换后得到线性方程，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】因，则，于是有，所以.故选：B

3.（2023·江苏徐州高二月考）对于数据组，如果由线性回归方程得到的对应于自变量的估计值是，那么将称为相应于点的残差．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示：

3456

2.534

根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本处的残差为－0.15，则表中的值为（）

A．3.3B．4.5C．5D．5.5

【答案】B

【详解】由题意可知，在样本（4，3）处的残差－0.15，则，即，

解得，即，又，且线性方程过样本中心点（，），

则，则，解得.故答案为：B

4．（2023·全国高二课时练习）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量(单位：千件)与售价(单位：元/件)之间的关系，收集组数据进行了初步处理，得到如下数表：

根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（）

A．，具有负相关关系，相关系数

B．每增加一个单位，平均减少个单位

C．第二个样本点对应的残差

D．第三个样本点对应的残差

【答案】D

【详解】对于A选项：由相关系数绝对值的不超过1，A不正确；对于B选项：由回归直线方程知，每增加一个单位，平均减少个单位，B不正确；对于C选项：第二个样本点对应的残差，C不正确；对于D选项：第三个样本点对应的残差，D正确.故选：D

5．（多选题）（2023·福建三明一中高二月考）某种产品的价格x(单位：元/)与需求量y(单位：)之间的对应数据如下表所示：

x1015202530

y1110865

根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（）

A．相关系数

B．

C．若该产品价格为35元，则日需求量大约为

D．第四个样本点对应的残差为

【答案】BCD

【详解】解：对A、B：由表中的数据，，，

将，代入得，所以A选项错误，B选项正确；

对C：由题意代入得，所以日需求量大约为，

所以C选项正确；对D：第四个样本点对应的残差为，所以D选项正确；故选：BCD.

6．（多选题）（2023·全国高二专题练习）年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图.(图中月份代码分别对应年月年月)

根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：

注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法正确的是（）

A．当月在售二手房均价与月份代码呈负相关关系

B．由预测年月在售二手房均价约为万元/平方米

C．曲线与都经过点

D．模型回归曲线的拟合效果比模型的好

【答案】BD

【详解】对于A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系，故A不正确；对于B，令，由，

所以可以预测2023年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米，故B正确；

对于C，非线性回归曲线不一定经过，故C错误；

对于D，越大，拟合效果越好，由，故D正确.故选：BD

二、填空题

7．（2023·江西赣州市·高二期末）下面是两个变量的一组数据：

12345678

191625364964

这两个变量之间的线性回归方程为，变量中缺失的数据是___________．

【答案】4；

【详解】设变量中缺失的数据为，则，

，因为这两个变量之间的线性回归方程为，所以，解得.

8．（2023·扶风县法门高中高二月考）已知一组数据点，，，…，，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，，，…的均值为，则可以估计数据，，，…的均值为______．

【答案】2

【详解】因为回归方程为，且数据，，，…，的均值为，即，

把，代入回归直线方程，可得，所以可以估计数据，，，…，的均值为．

9．（2023·全国高二课时练习）某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制订节能减排的目标，调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：

（单位：℃）171410

（单位：千瓦·时）24343864

由表中数据得回归直线方程为，则由此估计当某天气温为2℃时，当天用电量为________千瓦·时

【答案】

【详解】由题意，根据表格中的数据，可得，

将点代入回归直线方程，求得，

所以回归直线方程为，当时，代入求得．

10．（2023·全国高二课时练）已知具有相关关系的两个随机变量的一组数据的散点图如图所示，可以用来拟合，设，将其变换后得到线性回归方程，若，则__________．

【答案】

【详解】，因为变换后得到线性回归方程，所以有，又，所以，因此，

故答案为：

三、解答题

11．（2023·吉林长春市·高二月考）随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；

（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；

（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．

参考公式；线性回归方程，其中

【详解】

（1）由题意得，

所以．

（2）由（1）知，，

所以当或时能获得总利润最大．

12．（2023·全国高二专题练）中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据（室温是）．

泡制时间01234

水温8579747165

4.24.14.03.93.8

（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温（即）就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画．

①令，求出关于的线性回归方程；

②利用①的结论，求出中的与