2022-2023学年重庆市南开中学高二（上）期末数学试题

2022-2023学年重庆市南开中学高二（上）期末数学试题1.已知是函数的导函数，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：基本初等函数的导数答案：D解析：，则，故．故选．2.在等差数列中，若，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：等差数列的性质答案：C解析：因为是等差数列，

所以，

所以，

所以．

故选．3.已知抛物线，若抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：抛物线的标准方程抛物线的定义答案：C解析：抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，，

．故选．4.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的三分损益法：若以宫为基本音，宫经过一次损，频率变为原来的，得到徵；徵经过一次益，频率变为原来的，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（

）A.

徵、商、羽的频率成等比数列

B.

宫、徵、商的频率成等比数列

C.

商、羽、角的频率成等比数列

D.

宫、商、角的频率成等比数列知识点：等比数列的定义与证明数列中的数学文化问题答案：D解析：根据题意，设宫的频率为，

由题意经过一次损，可得徵的频率为

徵经过一次益，可得商的频率为，

商经过一次损，可得羽频率为，

最后羽经过一次益，可得角的频率是，

易得宫、商、角的频率成等比数列；

故选．5.设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：导数与单调性导数中不等式恒成立与存在性问题答案：D解析：函数在上单调递减，

在上恒成立，

即在上恒成立，

而在上单调递增，故，

．

故选．6.法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆上存在点，使得过点可作两条互相垂直的直线与椭圆相切，则实数的取值范围为（

）A.

，

B.

，

C.

，

D.

，知识点：平面解析几何的新定义问题椭圆的标准方程圆与圆的位置关系及其判定答案：B解析：椭圆方程为：，

，，，

根据题意可得椭圆的蒙日圆的方程为，

根据题意知圆与蒙日圆有公共点，

又圆心，半径；圆心，半径，

，

，

，，

故选．7.若数列满足，，且对于都有，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：累加法求数列通项裂项相消法求和答案：D解析：，，

又，，则，

数列是首项为，公差为的等差数列，

，

，，，，

由累加法得，即，

，

，

故选．8.已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：函数奇偶性的应用导数中不等式恒成立与存在性问题导数中的函数构造问题答案：A解析：由，故是偶函数，

由函数对于任意的满足，

令，，

故，

故在递增，是偶函数，

故，

又，，，

（），，

即，

故只有答案成立，其他错误，

故选．9.已知数列中，，则能使的可以为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：数列的递推公式数列的函数特征答案：A；D解析：，

，，，

数列是周期为的周期数列，

，，

，，

故选．10.如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（

）

A.

在上是增函数

B.

在上是减函数

C.

当时，取得极小值

D.

当时，取得极大值知识点：导数与单调性导数与最值导数与极值答案：B；C解析：由的导函数的图象知，

导函数在，上小于，单调递减，

在，上大于，单调递增，选项错误，正确；

函数在处取得极小值，选项正确；

时导函数取得极大值，原函数没有取得极大值，选项错误．

故选．11.设等差数列的前项和为，公差为，若，，，则下列结论正确的有（

）A.

数列是单调递增数列

B.

当取得最小值时，或

C.

D.

数列中的最小项为知识点：数列的函数特征等差数列的基本量等差数列的前项和的应用答案：A；D解析：对于，，，，

，，

解得，数列是单调递增数列，故正确；

对于，，，，

解得，，可得，

由数列是单调递增数列前项都是负的且和最小，故错误；

对于，由，，，得，

解得，故错误；

对于，，当时，，，，

当时，，，，

当时，，，，

数列中的最小项在之间，

在时，，且逐渐增大但逐渐减少，且逐渐增大，

逐渐增大，最小，故正确．

故选：．12.年月日，小米正式开始启用具备超椭圆数学之美的新（如图所示），设计师的灵感来源于曲线​．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有（

）

A.

曲线关于轴和轴对称

B.

曲线所围成的封闭图形的面积小于

C.

设，直线交曲线于，两点，则的周长小于D.

曲线上的点到原点的距离的最大值为知识点：平面解析几何的新定义问题椭圆的定义答案：A；B；D解析：当，，时，曲线，

对于，用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称；

用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称，故正确；

对于，由，得，，所以曲线在由直线和所围成的矩形内（除曲线与坐标轴的四个交点外），所以曲线所围成的封闭图形的面积小于该矩形的面积，该矩形的面积为，故正确；

对于，对于曲线和椭圆，

设点在上，点在上，

因为

．

所以，所以，

设点，在上，点，在上，

因为

，

所以，所以，

所以椭圆在曲线内（除四个交点外），如图：

设直线交椭圆于，两点，交轴于，

易知，，为椭圆的两个焦点，

由椭圆的定义可知，，，

所以的周长为，

由图可知，的周长不小于，故不正确；

对于，设曲线上的点，则该点到原点的距离为，

因为，所以设，

则，其中，

所以当时，取得最大值取得最大值．故正确；

故选．13.如图，直线是曲线在点​处的切线，则的值等于

．

知识点：导数的几何意义答案：解析：由函数的图像可得（），直线过点和，

则直线的斜率，

又由直线是曲线在点，（）处的切线，则，

所以．

故答案为：．14.记数列的前项和为，且，则．知识点：数列的递推公式等比数列的通项公式构造法求数列通项答案：解析：且，

又，即，

，

又，

数列是首项为，公比为的等比数列，

，即，

，

故答案为：．15.设双曲线的右焦点为，中心为，斜率为的直线过且与的两条渐近线分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为

．知识点：双曲线的离心率双曲线的渐近线共线向量基本定理直线的斜率答案：解析：由已知可得，

又，

则，

设，

则，

又，

则，

即，

则，

即双曲线的离心率为，

故答案为：．16.定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为凹函数．已知在区间上为凹函数，则实数的取值范围为

．知识点：函数的新定义问题导数与单调性答案：解析：，，

，

在区间上为凹函数，

，，

令，

则，

令，得，令，得，

在上为减函数，在上为增函数，

（），实数的取值范围为．

故答案为：．17.已知正项等比数列前项和为，，且，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，其前项和为，求数列的前项和．知识点：等差中项等比数列的通项公式裂项相消法求和对数的运算性质等差数列的基本量答案：(1)由题意，设等比数列的公比为，

则，，，

，，成等差数列，

，即，

化简整理，得，

解得（舍去），或（舍去），或，

，．(2)由（1），可得​，

则，

，

​​

．解析：(1)略(2)略18.设函数．(1)若是函数的极值点，求在上的最大值；(2)若曲线在处的切线与曲线也相切，求实数的值．知识点：导数与最值利用导数求曲线的切线方程（斜率）导数与极值答案：(1)因为，所以，，

因为是函数的极值点，所以​，得，

此时，，

当时，，当时，，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以是的一个极小值点，所以符合题意．

由以上可知，在，上为减函数，在上为增函数，

又，，

所以​，

所以在，上的最大值为．(2)由（1）知，，，所以​，

又​，所以切线，即，

假设直线与曲线切于，，

因为，所以，

又，所以在，处的切线方程为，

即，

因为直线与直线重合，

所以，得，

解得或．解析：(1)略(2)略19.如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，，，，，分别为线段，的中点．

(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值．知识点：二面角直线与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的性质定理直线与平面所成的角答案：(1)证明：因为，为线段的中点，所以，

又侧面底面，面面，面，

所以面，

因为面，所以，

连接，

因为，，所以为等边三角形，所以，

所以，即，

因为，分别为线段，的中点，所以，所以，

又，、平面，

所以平面．

(2)连接，设与相交于点，连接，

由（1）知，面，

所以为直线与平面所成角，即，

因为，，所以，

所以，

因为面，，

所以为二面角的平面角，

在中，，，

所以，

所以，

故二面角的余弦值为．解析：(1)略(2)略20.已知数列满足．数列满足，且．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数取值范围．知识点：等差数列的通项公式数列的递推公式构造法求数列通项错位相减法求和数列与不等式的综合问题答案：(1)数列满足，

，

相除可得：，即，，

时，由，解得，满足上式，

数列是等差数列，公差为，

．

数列满足，且，

，，

数列是等差数列，公差为1，

，

．(2)数列前项和，

，

，

化为：，

不等式，即，

化为：，

，

，

若不等式对任意恒成立，

实数取值范围是，．解析：(1)略(2)略21.已知函数，其中是自然对数的底数．(1)讨论函数的单调性；(2)若在区间，上有解，求实数的取值范围．知识点：利用导数求参数的取值范围利用导数讨论函数单调性导数中不等式恒成立与存在性问题答案：(1)，

令得或，

当，即时，在上，单调递增，

当，即时，在上，单调递增，

在上，单调递减，

在上，单调递增，

当，即时，在上，单调递增，

在上，单调递减，

在上，单调递增，

综上所述，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．(2)若在区间，上有解，则在，上，

由（1）知当时，在，上单调递增，

，

所以，

所以，又，所以，

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

若，即时，在上单调递减，

，所以，

若，即时，在上单调递减，在上单调递增，

，

即，所以，

又，所以这种情况不存在，

所以或，

综上所述，的取值范围为​．解析：(1)略(2)略22.已知椭圆的左右焦点为，，且，直线过且与椭圆相交于，两点，当是线段的中点时，．(1)求椭圆的标准方程；(2)当线段的中点不在轴上时，设线段的中垂线与轴交于点，与轴交于点，为椭圆的中心，记的面积为，的面积为，当取得最大值时，求直线的方程．

知识点：椭圆的标准方程直线与椭圆的综合应用导数与最值三角形的面积（公式）圆锥曲线的弦长及中点弦问题圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1)由于，所以，则右焦点的坐标为，

当时，代入椭圆方程为，故当是线段的