2020年高考真题-数学（全国卷II）（理科）

2020年高考真题——数学（全国卷II）（理科）1.已知集合​，​,，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：并集全集与补集答案：A解析：由题意可得则

故选A.总结：本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题2.若为第四象限角，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：三角函数值在各象限的符号二倍角的正弦、余弦、正切公式特殊角的三角函数值答案：D解析：当时，，选项B错误；

当时，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选D.总结：本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成

份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压

份订单未配货，预计第二天的新订单超过

份的概率为，志愿者每人每天能完成

份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者（

）A.

名

B.

名

C.

名

D.

名知识点：统计图表分析答案：B解析：由题意，第二天新增订单数为，

故需要志愿者

名

故选B.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石，环绕天心石砌

块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加

块，下一层的第一环比上一层的最后一环多

块，向外每环依次也增加

块，已知每层环数相同，且下层比中层多

块，则三层共有扇面形石板(不含天心石（

）

A.

块

B.

块

C.

块

D.

块知识点：数列中的数学文化问题等差数列的前n项和的性质答案：C解析：设每一层有环，则由内到外每环扇面形石板的块数构成等差数列｛｝且公差.由等差数列的性质知成等差数列，且，则，得，则三层共有扇面形石板的块数为.总结：本题主要考查等差数列前项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：点到直线的距离圆的定义与标准方程直线与圆的位置关系及其判定答案：B解析：因为过点的圆与两坐标轴都相切，所以可设圆心的坐标为则圆的半径为.由解得或所以圆心的坐标为或.因为点到直线的距离为点到直线的距离为所以圆心到直线的距离为.6.数列中，，，若，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：数列的递推公式等比数列的基本量答案：C解析：在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得

故选C.总结：本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（

）

A.

B.

C.

D.

知识点：三视图答案：A解析：根据三视图，画出多面体立体图形，

图中标出了根据三视图点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为，

故选A.总结：本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象8.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为，则的焦距的最小值为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：双曲线的渐近线双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距双曲线的标准方程答案：B解析：双曲线的渐近线方程为由得则故.又(当且仅当时取等号)，即所以的焦距的最小值为.9.设函数，则（

）A.

是偶函数，且在单调递增B.

是奇函数，且在单调递减C.

是偶函数，且在单调递增D.

是奇函数，且在单调递减知识点：复合函数的单调性判定对数（型）函数的定义域函数奇、偶性的定义对数（型）函数的单调性函数单调性的判断函数单调性与奇偶性综合应用对数的运算性质答案：D解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除A，C；

当时，，

在上单调递增，

在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确

故选D.总结：本题考查函数奇偶性和单调性的判断：

判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；

判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数同增异减性得到结论10.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上若球的表面积为，则到平面的距离为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：点到平面的距离球的结构特征及其性质球的表面积答案：C解析：设球的半径为，则，解得：

设外接圆半径为，边长为，

是面积为的等边三角形，，解得：，

，

球心到平面的距离

故选C.总结：本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面11.若，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：指数（型）函数的单调性对数的性质函数单调性的应用答案：A解析：构造函数易知为上的增函数.由得即.故选.总结：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想12.周期序列在通信技术中有着重要应用若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为的序列中，满足的序列是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：数列中的新定义问题答案：C解析：由知，序列的周期为，由已知，，

对于选项A，，

，不满足；

对于选项B，，不满足；

对于选项D，，不满足；故选C.13.已知单位向量，的夹角为，与垂直，则

​.知识点：数量积的运算律向量垂直向量的数量积的定义答案：解析：由题意可得：，

由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，

解得：

故答案为．14.

名同学到

个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去

个小区，每个小区至少安排

名同学，则不同的安排方法共有

​种.知识点：分步乘法计数原理排列组合中的分组分配答案：解析：名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，

先取名同学看作一组，选法有：，现在可看成是组同学分配到个小区，分法有：，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种.

故答案为15.设复数，满足，，则

​.知识点：复数的模复数相等的条件及应用复数的加法及其几何意义答案：解析：，可设，，

，

，

两式平方作和得：，

化简得：

,

故答案为16.设有下列四个命题：

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

：过空间中任意三点有且仅有一个平面

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行

：若直线平面，直线平面，则

则下述命题中所有真命题的序号是

​

①；

②；

③；

④.知识点：立体几何中的四点共面、三点共线空间中直线与平面的位置关系或、且、非的综合应用点与直线、点与平面的位置关系异面直线基本事实1命题的真假性判断答案：①③④解析：对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；

对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，

直线平面，

直线直线，

命题为真命题

综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题

故答案为：①③④17.中，.(1)求；(2)若，求周长的最大值.知识点：余弦定理及其应用正弦定理及其应用三角形的面积（公式）利用基本不等式求最值答案：(1)由正弦定理可得：，

，

，

.(2)由余弦定理得：，

即

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，

周长的最大值为解析：(1)利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，从而求得.(2)利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果总结：(2)本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的

个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取

个作为样区，调查得到样本数据，，，，，其中和分别表示第

个样区的植物覆盖面积(单位：公顷和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本，，，，的相关系数（精确到）；

附：相关系数​，(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由知识点：样本平均数与总体平均数分层随机抽样的概念样本相关系数r的计算答案：(1)样区野生动物平均数为，地块数为，该地区这种野生动物的估计值为.(2)样本的相关系数为

.(3)由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可解析：(1)利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；(2)利用公式​计算即可；(3)各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样总结：(3)本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题19.已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且.(1)求的离心率；(2)设是与的公共点，若，求与的标准方程知识点：椭圆的离心率椭圆的标准方程抛物线的标准方程圆锥曲线的弦长及中点弦问题答案：(1)，轴且与椭圆相交于、两点，

则直线的方程为，

联立解得

则，

抛物线的方程为，联立

解得，，

，即，，

即，

即，

，解得，

因此，椭圆的离心率为；(2)由（）知，，椭圆的方程为，

联立，消去并整理得，

解得或（舍去），

由抛物线的定义可得，解得

因此，曲线的标准方程为，

曲线的标准方程为解析：(1)求出，，利用可得出关于，的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；(2)由（）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程总结：(2)本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题20.如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于

(1)证明：，且平面​；(2)设为​的中心，若平面​，且，求直线与平面所成角的正弦值知识点：基本事实4平面与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理直线与平面所成的角直线与平面平行的性质定理答案：(1)分别为，的中点，，

又，，

在中，为中点，则，

又侧面为矩形，

，

，，

由，平面，

平面，

又，且​平面，平面，

平面，

又平面，且平面平面，

，

，

又平面，

平面，

平面，

平面平面.(2)连接，

平面，平面平面，

，​

根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面，

，故四边形是平行四边形，

设边长是(，

可得：，，

为的中心，且边长为，

，

故：，

，，，

解得：，在截取，故，

且，

四边形是平行四边形，

由（）平面

故为与平面所成角，

在，根据勾股定理可得：，

，

直线与平面所成角的正弦值为解析：(1)由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；(2)连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（）平，可得为与平面所成角，即可求得答案总结：(2)本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题21.已知函数(1)讨论在区间，的单调性；(2)证明：；(3)设​，证明：​.知识点：函数的最大(小)值导数与单调性函数的周期性利用导数证明不等式正弦（型）函数的定义域和值域答案：(1)由函数的解析式可得：，则：

，

在上的根为：，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增.(2)注意到，

故函数是周期为的函数，

结合的结论，计算可得：，

据此可得：，，

即.(3)结合的结论有：

​​

​

解析：(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得​​​，然后结合的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式总结：(3)导数是研究函数的单调性、极值(最值最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．利用导数求函数的最值(极值，解决生活中的优化问题．考查数形结合思想的应用．22.已知曲线，的