专题05指数函数与对数函数（学生版）

专题05指数函数与对数函数（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布指数函数与对数函数近几年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国乙（文科），第16题,5分对数型函数奇偶性求参2022年全国乙（理科），第16题,5分指数型函数根据极值求参2022年全国甲（文科），第12题,5分指数、对数型函数比大小不等式2022年全国甲（理科），第5题,5分指数型函数图象三角函数2022年全国甲（理科），第6题,5分对数型函数导函数2023年全国甲（文科），第8题,5分指数型函数求切线2023年全国乙（文科），第5题,5分指数型函数奇偶性奇偶性2.命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考必考点，考查指数、对数型函数的性质、图象等；2.和幂函数一起考查比较大小。【备考策略】1.了解有理数指数幂的含义，能根据实数指数幂的运算性质进行计算；2.会画指数函数的图象，知道图象与函数之间的对应关系；3.掌握指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用；4.会进行对数的运算；会画对数函数的图象，理解对数函数和图象之间的对应.5.了解指数函数与对数函数互为反函数；6.掌握对数函数的性质与应用。【命题预测】1.利用指数、对数型函数的性质比较大小；2.函数解析式中含有指数、对数型函数，求切线、求极值、求参数；3.根据指数、对数型函数的性质找出正确的函数图象。知识讲解一、根式1.根式的概念若,则x叫作a的n次方根,其中n>1且n∈N*.na叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作被开方数2.a的n次方根的表示xn=a⇒x二、有理数指数幂1.幂的有关概念(1)正分数指数幂:amn=nam(a>0,m,n∈N*,(2)负分数指数幂:a-mn=1nam(a>0,m,n∈N(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂.

2.实数指数幂的性质(1)aras=(a>0,r,s∈R);

(2)(ar)s=(a>0,r,s∈R);

(3)(ab)r=(a>0,b>0,r∈R).

三、指数函数的图象与性质函数y=ax(a>0,且a≠1)a>10<a<1图象图象特征在x轴,过定点

当x逐渐增大时,图象逐渐上升当x逐渐增大时,图象逐渐下降性质定义域R值域

单调性

函数值变化规律当x=0时,

当x<0时,;

当x>0时,

当x<0时,;

当x>0时,

1.指数函数图象的画法画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个特殊的点:(1,a),(0,1),-1,12.指数函数的图象与底数大小的比较指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象如图所示,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象离x轴越远,底数越大.3.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a的取值有关,要特别注意分a>1与0<a<1来研究.1.指数幂的运算先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.应用指数函数图象的3个技巧:(1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a)，(0,1)，.(2)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到的.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.比较指数式大小的方法:(1)当底数相同,指数不同时,构造指数函数比较大小.(2)当指数相同,底数不同时,构造幂函数比较大小.(3)当底数不同,指数也不同时,常借助1,0等中间量进行比较.1.解指数方程或不等式的依据:①af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).2.解指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调性转化为一般不等式求解.在研究指数型函数的单调性时,一要考虑复合函数的单调性:同增异减;二要注意当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数的相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,一般要借助“同增异减”这一性质分析判断.四、对数概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数,logaN叫作对数式结论对数式与指数式的互化:ax=N⇔

loga1=0,logaa=1,alogaN=运算性质loga(M·N)=

a>0,且a≠1,M>0,N>0logaMN=logaMn=(n∈R)

换底公式logab=logcblogca(a>0,且a≠1;b>0;c>换底公式的三个重要结论(1)logab=1lo(2)logambn=nmlog(3)logab·logbc·logcd=logad.五、对数函数的图象与性质函数y=logax(a>0,且a≠1)a>10<a<1图象图象特征在y轴,过定点(1,0)

当x逐渐增大时,图象是的

当x逐渐增大时,图象是的

性质定义域(0,+∞)值域R单调性在(0,+∞)上是

在(0,+∞)上是

函数值变化规律当x=1时,

当x>1时,y>0;当0<x<1时,

当x>1时,y<0;当0<x<1时,

对数函数图象的特点(1)对数函数y=logax的图象恒过点(1,0),(a,1),1a,-1,(2)函数y=logax与y=log1ax(a>0,且a≠1)的图象关于x(3)对数函数的图象与底数大小的比较.如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.六、反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线对称.1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想;(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较解对数不等式的类型及方法:①形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a>1与0<a<1两种情况讨论;②形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解.已知f(x)=loga[g(x)]在区间[m,n]上是单调递增函数,对于这类问题,应从两个方面考虑:一是根据a与1的大小关系确定g(x)在[m,n]上的单调性;二是g(x)>0在x∈[m,n]时恒成立,此时只需g(x)min>0即可.利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.考点一、指数幂运算1．(2023年杭州模拟)化简的结果是（

）.A． B．C． D．2．（2023年浙江省模拟）已知函数，则________，________.1．(1)计算:

.(2)若,则.

2．化简求值:(1)；(2)（，）.3．（2023年浙江省模拟）设函数，若，则__________.考点二、指数函数的性质及应用1．（2023年陕西省部分名校模拟）已知函数,若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023年朔州市名校模拟）若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023年高考全国甲卷（文科）真题）已知函数．记，则（

）A．B． C． D．1．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为__________.3．已知，则（）A． B．C． D．考点三、对数的运算1．(1)(2020年全国Ⅰ卷)设,则（

）.A． B． C． D．(2)计算:.

(3)计算:.

2．(2022年浙江卷)已知,,则（

）.A．25 B．5 C． D．3．（2023年浙江省模拟）已知函数，则_______，_________.1．计算：（1）；（2）.（3）.2．（2023年北京高考数学真题）已知函数，则____________．3．已知函数．则______；若，则实数m的值为______．考点四、指数、对数函数的图象1．(2023年宁波适应性考试)若,则函数的图象大致是（

）.ABCD2．（2022年全国高考甲卷（理）高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．3．(2023年山东二模)已知函数的图象如图所示,则a,b满足的关系是（

）.A．B．C．D．1．(2023年山东滕州模拟)函数的图象大致为（

）.ABCD2．（2023年新高考天津数学高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．3．已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论错误的是（）

A． B． C． D．考点五、对数函数的性质及应用1．（2023年陕西省模拟）已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．(2023年四川绵阳三模)已知,,,则,,的大小关系为（

）.A． B． C． D．3．（2023年浙江省模拟）函数的单调递增区间为（

）A． B．C．和 D．和1．设函数是定义在上的偶函数,当时,,则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．2．已知,,,则（

）.A． B． C． D．3．设函数在上是增函数,则的取值范围是（

）.考点六、指数、对数函数的综合应用1．若函数有最小值,则实数的取值范围是.

2．（2023重庆市名校模拟）已知正数、满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．3．（2023昆明市名校模拟）已知函数，若，，，则（

）A． B．C． D．1．设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论不成立的是（

）A． B．C． D．2．甲、乙两人解关于x的方程,甲写错了常数b,得到的根为,乙写错了常数c,得到的根为,则原方程的根为().A． B．C． D．3．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．考点七、情景设置1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则错误的是（

）A． B．C． D．2．（2023湖南省名校模拟）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（

）A．17天B．19天 C．23天 D．25天3．（2020年新课标Ⅲ（理科）高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I(时，标志着已初步遏制疫情，则约为（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．691．苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成，则，这样我们可以知道N的位数.已知正整数是35位数，则M的值为（）N23451112131415A．3B．12 C．13 D．142．（2023年重庆市部分名校模拟）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（

）（参考数据：取）A．9 B．10 C．11 D．123．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（

）A．B． C． D．【基础过关】1．（2023年安徽省部分名校模拟）集合，集合，全集，则为（

）A． B．C． D．2．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（

）A．倍B．倍 C．倍 D．倍3．（

）. 4．（2023河南省部分名校模拟）设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（

）（参考数据：）A．39分钟B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟6．（2023年浙江省部分名校模拟）已知，则（

）A． B．C． D．7．（陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023届高三下学期5月八模文科数学试题）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

8．（2002年普高招生考试理科）函数在上的最大值与最小值的和为3，则______________．9．函数的值域为______．10．已知函数,,则（

）. D.-311．（2023年广西河池市模拟）已知函数其中，若函数无最大值，则实数a的取值范围是______．12．（2023年天津市部分名校模拟）已知，，，则（

）A． B． C． D．13．（2023太原市名校模拟）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【能力提升】1．(2023年陕西西安模拟)已知函数,则是（

）.A．非奇非偶函数,且在上单调递增B．奇函数,且在上单调递增C．非奇非偶函数,且在上单调递减D．偶函数,且在上单调递减2．（2023河南省名校模拟）已知函数的最大值为0，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023年河南省部分名校模拟）已知，，，则（

）A． B．C． D．4．如图所示，函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

5．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（

）A．B． C． D．6．（2023年浙江省部分名校联考试题）已知实数，其中，则的大小关系是（

）A． B．C． D．7．（2023江苏省部分名校模拟）已知函数若，则（

）A． B． C． D．8．（2001年普高招生考试（广东卷））若定义在区间内的函数满足，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2023海南省模拟）下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（

）

A． B． C． D．10．已