2019江苏高考数学二轮指导：精编考前冲刺必备七　高频考点练透含解析

必备七高频考点练透

高频考点一集合运算

1.（2018扬州高三第三次调研）已知集合A={-1,0,3,5},B={x|x-2>0},5iiJAPB=.

2.（2018南京高三年级第三次模拟）集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2-4=0},则AUB=.

3.（2018南通高三第二次调研）已知集合U={-1,0,1,2,3},A={-1,0,2}^J[uA=.

4.（2018江苏南通中学高三考前冲刺练习）已知集合A={0,4},B={3,2m}.若AUB={0,3,4},则实

数m的值为.

高频考点二复数

1.（2018苏锡常镇四市高三教学情况调研（二））若复数z满足（1+i）z=2（i是虚数单位），则z的虚

部为.

2.（2018扬州高三第三次调研）已知（1+3i）（a+bi）=10i,其中i为虚数单位,a,beR,则ab的值

为.

3.（2018江苏徐州模拟）已知复数z=（1-2i）2（i为虚数单位），则z的模为.

4.（2018扬州高三考前调研）在复平面内，复数z=蓑（i为虚数单位）对应的点位于第象

限.

高频考点三统计

1.（2018江苏盐城中学高三数学阶段性检测）一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，

现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取

人.

2.（2018淮海中学高三数学3月高考模拟）有100件产品编号从00到99,用系统抽样方法从

中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为

91,则第2组抽取的产品编号为.

3.（2018徐州铜山高三年级第三次模拟考试）甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用

茎叶图表示如下图（左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个

位数），则该组数据的方差s2的值为.

4.（2018扬州高三考前调研测试）为了了解一批产品的长度（单位:毫米）情况,现抽取容量为

400的样本进行检测，下图是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准，单件产品长度在区

间［25,30）的为一等品,在区间［20,25）和［30,35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品

的件数为.

频率

MFI

0.0625

0.0500

0.0375

0.0250

0.0125

10152025303540长度（毫米）

高频考点四概率

1.（2018江苏南京模拟）已知A,B,C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B

在相邻两天值班的概率为.

2.（2018南通高三第二次调研）在长为12cm的线段AB上任取一点C,以线段AC.BC为邻

边作矩形,则该矩形的面积大于32cm2的概率为.

3.（2018扬州高三第三次调研）袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球,这些球除颜色外完全

相同.现从中随机摸出1只球，若摸出的球不是红球的概率为0.8,不是黄球的概率为0.5,则摸

出的球为蓝色的概率为

4.（2018苏锡常镇四市高三教学情况调研（二））欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦

置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜

钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不

计），则油恰好落入孔中的概率是.

高频考点五算法

2.（2018徐州高三模拟）运行如图所示的伪代码，其结果为

S-0

ForIFrom1To9

S-S+l

EndFor

PrintS

3.（2018苏锡常镇四市高三教学情况调研（二））如图是一个算法流程图，若输入值xe[0,2],则

输出S的取值范围是

4.执行如图所示的伪代码,输出的结果是.

S-1

I-2

WhileSW100

I-I+2

S-Sx|

EndWhile

PrintI

高频考点六空间几何体的体积与表面积

1.(2018江苏南京高三联考)已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积

为.

2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,点P,Q分别为棱CG,BC的中点，则四面体

A1-B1PQ的体积为.

3.直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB_LBC,AB=3,BC=4,AAi=5,若三棱柱的所有顶点都在同

一球面上，则该球的表面积为.

高频考点七空间平行与垂直

1.给出下列命题：

(1)若两个平面平行，则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面;

(2)若两个平面平行,则垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；

(3)若两个平面垂直,则垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；

(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.

则其中所有真命题的序号为.

2.已知平面a,p,y和直线l,m,且IJLm,a_LY,aCY=m,|3nY=l,给出下列四个结

论:①B，Y；②此3③m_L0;④其中正确的序号是.

3.(2018江苏南京高三联考)在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点，且

PA=PB,ZPDC为锐角.

⑴证明:BC〃平面PDE;

(2)若平面PCD_L平面ABC,证明:AB_LPC.

高频考点八基本初等函数的图象与性质

1.(2018江苏如东高级中学期中)已知函数f(x)=ln(1+x2),则满足不等式f(2x-1)<f(3)的x的取

值范围是

2.(2018江苏盐城期中)设函数f(x)是以4为周期的奇函数，当xe[-1,0)时，f(x)=2x,则

f(log220)=.

3.(2018苏州期中考试)若函数f(x)=[T+&：42,何>0且2工1)的值域为[6,+8),则实数2

的取值范围是.

4.(2018常州教育学会学业水平检测)已知当xe(0,1)时，函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的

图象有且只有一个交点,则实数m的取值范围是.

高频考点九函数与方程

1.(2018盐城伍佑中学期末)若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上，另一个根在

区间(1,2)上,则实数m的取值范围为.

2.(2018常州教育学会学业水平检测)若函数f(x)=2x+x-2的零点在区间(k,k+1)(kez)上，则k

的值为.

3.(2018江苏镇江期末)方程G)”=|lnx|的解的个数为.

4.(2018江苏宿迁期末)已知函数f(x)=C°g2?”<x-：若函数g(x)=f(x)-m(mwR)有三个不

同的零点X1,X2,X3,且X1〈X2VX3,则(XiX2+1)m-X3的取值范围是.

高频考点十导数及其应用

1.若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围

是.

2.若函数f(x)=(x2-ax+a+1)ex(aeN)在区间(1,3)只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的

切线的方程为.

3.(2018江苏兴化一中模拟)设函数f(x)=xex-asinxcosx(a£R,其中e是自然对数的底数).

⑴当a=0时，求f(x)的极值;

(2)若对于任意的xe[o,j],f(x)^O恒成立，求a的取值范围；

(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间(04)上有两个零点？若存在，求出a的取值范围;若不

存在,请说明理由.

4.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=^x2+x-a(aeR).

(1)若直线x=m(m>0)与曲线y=f(x)和y=g(x)分别交于M,N两点.设曲线y=f(x)在点M处的切

线为k,y=g(x)在点N处的切线为L.

①当m=e时，若1」匕求a的值；

②若li〃L,求a的最大值；

(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内恰有两个不同的极值点xi,X2,且Xi〈X2.若入>0,且Ain

X2-A>1-lnxi恒成立，求人的取值范围.

高频考点十一解不等式

1.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不等式x2+ax+b<0的解集

是AnB,那么a+b等于.

X%V1

2.上；V,1则不等式f(6-x2)>f(x)的解集为_______.

%■I-L.X士

{X1..

3.已知函数f(x)=f?，x-0>则不等式f(f(x))W3的解集为

U2+2x,x<0,

高频考点十二线性规划

<0<%<3,

1.(2018苏州阳光指标调研)已知变量x,y满足卜+y20，则z=2x-3y的最大值

x-y+3<0,

为.

'x>2,

2.已知变量x,y满足,*+yW4,目标函数z=3x+y的最小值为5,则c的值为.

2x-y<c,

rx<4

3.(2018江苏扬州高三第一次模拟)若实数x,y满足y<3：则x?+y2的取值范围

.3%+4y>12,

是.

高频考点十三基本不等式

1.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)若Iog4(a+4b)=log2属，则a+b的最小值

是.

2.(2018苏州学业阳光指标调研)已知正实数a,b,c满足］+卜1，熹+勺1,则c的取值范围

是.

3.(2018江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)=|x-a|+：(aeR),当xe(0,+8)时,不等式f(x)24恒

成立，则a的取值范围是.

高频考点十四三角函数的图象与性质

1.若-3m,m(m>0)恰好是函数y=Asin(3X+(p)(A>0,3>0,0v(pvTT)的两个相邻零点，则

<P=.

2.函数y=cos(2x+(p)(0<(p<iT)的图象向右平移;个单位后，与函数y=sin(2x-习的图象重合，则

<P=.

3.已知函数f(x)=3sin(gxq)3>0)和g(x)=3cos(2x+(p)的图象的对称中心完全相同，若

xe[o,2,则f(x)的取值范围是.

高频考点十五三角变换求值

.已知已则.

1sin0+2cos6=COSZ0------------

2.若aG(0,；),cos(:-a)=2&cos2a,贝!Jsin2a=.

3.已知角a,p满足翳噌若sin(a+B)=|,则sin(a-B)的值为.

4.已知ae(；,n),tana=-2.

⑴求sinQ+a)的值;⑵求cos得-2a)的值.

高频考点十六解三角形

1.在4ABC中，已知AB=5,BC=3,NB=2NA,则边AC的长为.

2.在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB-bcosA£C,则巴里=

5tanB

3.在AABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c,c=2收，且asinA-csinC=(a-b)sinB.

(1)求角C的值；

⑵若c+bcosA=a(4cosA+cosB),^RAABC的面积.

4.(2018徐州铜山高三年级第三次模拟考试)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

a=1,b=2V3,B-A=^.

(1)求sinA的值；

(2)求c的值.

高频考点十七平面向量

1.在梯形ABCD中,AB〃CD,AB=2CD,M,N分别为CD.BC的中点，若荏=入德+日丽，则

A+p=.

2.(2018泰州中学检测)已知O是4ABC外接圆的圆心，若4瓦5+5通+6泥=0,则cos

C=.

3.(2018徐州铜山第三次模拟)等边4ABC的边长为2,过边BC上一点P分别作AB,AC的

垂线，垂足分别为M,N,则两•两的最小值为.

4.(2018泰州中学高三3月检测)设向量a=(sinx,V3cosx),b=(-1,1),c=(1,1),其中XE[0,TT].

(1)若(a+b)〃c,求实数x的值；

(2)若a•b=；,求函数y=sin(x+匀的值.

高频考点十八直线与圆

1.已知直线3x-4y-6=0与圆x2+y2-2y+m=0(m《R)相切，则m的值为.

2.(2018江苏南京高三联考)在平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆O:x2+y2=1的直径，若直

线l:kx-y-3k+1=0上存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足BP〃OQ,则实数k的取值范围

是.

3.(2018兴化一中模拟)若直线h：y=x+a和直线l2:y=x+b将圆(x-1)2+(y-2)2=5分成长度相等

的四段弧，则ab=.

4.已知直线I与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A、B两点，弦AB的中点为M(0,1).

(1)求实数a的取值范围以及直线I的方程；

(2)若圆C上存在四个点到直线I的距离为企,求实数a的取值范围；

(3)已知N(0,-3),若圆C上存在两个不同的点P,使PM=V5PN,求实数a的取值范围.

高频考点十九圆锥曲线的几何性质

22

1.(2018江苏南通模拟)已知双曲线C:台底=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),

且瓦？•前=0,则双曲线C的离心率为.

2.若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a=.

22

3.(2018江苏南通模拟)已知圆Ci：x2+2cx+y2=0,圆C2：x2-2cx+y2=0,椭圆C:^+^=1(a>b>0)

的焦距为2c,若圆C1C2都在椭圆C内,则椭圆C的离心率的范围是.

高频考点二十圆锥曲线的综合问题

22

1.(2018江苏高考预测卷二)已知过双曲线a-k=19>0,13>0)的右顶点A且斜率为"的直线I

与双曲线的两条渐近线分别交于B,C两点，若A,B,C三点的横坐标成等比数歹U,则双曲线的离

心率为.

22

2.(2018江苏高考预测卷四)如图,FI,F2是双曲线E:>三=1与椭圆F的公共焦点,A是它们在

第二象限的交点，且AFI_LAF2,则椭圆F的离心率为.

22

3.(2018江苏联考)已知椭圆C:"?1(a>b>0)的左顶点,右焦点分别为A,F,右准线为m.

(1)若直线m上不存在点Q,使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；

(2)在(1)的条件下，当e取最大值时，A点坐标为(-2,0),设B,M,N是椭圆上的三点，且

。万=|OM+g丽，求以线段MN的中点为圆心，过A,F两点的圆的方程.

高频考点二十一等差、等比数列的基本量运算

1.（2018南京、盐城高三第二次模拟）已知等差数列同｝的前n项和为Sn.若Si5=30,a7=1,则

S9的值为.

2.（2018江苏扬州中学模拟）已知｛an｝为等差数列,Sn为其前n项和,公差为d,若智冷黑=100,

2Ololo

则d的值为.

3.（2018江苏南通阶段检测）若等比数列｛a3的各项均为正数，且aioar+a9al2=2e5,则Inai+ln

a2+--+lnazo的值为.

4.（2018江苏扬州高三第一次模拟）已知各项都是正数的等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若

4a4,a3,6a5成等差数歹山且a3=3吟则S3=.

高频考点二十二等差、等比数列的综合运用

1.设等比数列｛an｝的公比为q（0vq〈1）,前n项和为Sn,若ai=4a3a4,且a6与为4的等差中项为

as,则S6=.

2.（2018江苏徐州期中）已知数列｛an｝的前n项和为Sn,满足Sn=2an-1,n©N*,数列｛*｝满足

nbn+i-（n+1）bn=n（n+1）,nGN*,且bi=1.

（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；

⑵若Cn=an-仄，数列｛Cn｝的前n项和为Tn,对任意的n^N*,都有TnWnSn-a,求实数a的取

值范围；

（3）是否存在正整数m,n,使bi,am,bn（n>1）成等差数列？若存在，求出所有满足条件的m,n;若不

存在,请说明理由.

高频考点二十三实际应用题

1.（2018江苏海安高级中学阶段检测（三））一块圆柱形木料的底面半径为12cm,高为32cm,

要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同

轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为rcm,高为hcm,要

求笔筒底面的厚度超过2cm.

（1）求（•与h的关系，并指出r的取值范围；

（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上

底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a（元/cm?）桶内侧面喷漆费用为2a（元/cm）而桶内底面

铺贴金属薄片，其费用是7a（元/cmf其中a为正常数）.

①将笔筒的后续加工费用y（元）表示为r（cm）的函数；

②求出当r取何值时,笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.

2.已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万台还需另

投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万台并全部销售完，每万台的销

_（400-6%,0<x<40,

售收入为R（x）万美元，且R（x）=740040000

---X---------,x>40.

（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万台时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利

润.

3.如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形绿化区ABCD,其中图形BMN是半径为1百

米的扇形,NABC=g.管理部门欲在该地从M到D修建小路:在须上选一点P（异于M、N两

点），过点P修建与BC平行的小路PQ.问:点P选择在何处，才能使得修建的小路前与PQ及

QD的总长度最小？并说明理由.

高频考点二十四矩阵及其变换（理科专用）

1.（2018苏州学业阳光指标调研）选修4-2:矩阵与变换

已知M=[3,8咱,求出（3.

2.（2018江苏南京模拟）已知矩阵A=[j5]求矩阵A*.

高频考点二十五坐标系与参数方程（理科专用）

1.（2018南京、盐城高三第二次模拟）在平面直角坐标系中，直线I的参数方程为，12。

为参数），圆C的参数方程为匕Z£鬻'（a>0,9为参数），点P是圆C上的任意一点，若点P到

直线I距离的最大值为3,求a的值.

2.（2018苏州学业阳光指标调研）选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为卜［f37t为参数）,以原点O为极点,x轴正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=空嘤,若直线I与曲线C相交于A,B两

sinz0

点，求AAOB的面积.

高频考点二十六不等式选讲（理科专用）

1.（2017南京、盐城、连云港高三第二次模拟）设aWb,求证:a4+6a2b2+b4>4ab（a2+b2）.

2.(2018江苏高考预测卷四)

已知函数f(x)=।…

[3-|x|,x<-2或%>2.

⑴求函数f(x)的值域；

(2)若关于x的方程f(x)-a=0(a<0)有两个不相等的实数根，求a+；的最大值.

高频考点二十七求空间角(理科专用)

1.(2018江苏南京调研)如图，在四棱锥P-ABCD中,PA,平面

ABCD.AB±AD.AD/7BC,AP=AB=AD=1.

⑴若直线PB与CD所成角的大小为今求BC的长;

(2)求二面角B-PD-A的余弦值.

2.(2017南京、盐城、连云港高三第二次模拟)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四

边形ABCD为菱形AA=AB=2,NABCq,E,F分别是BC.AiC的中点.

(1)求异面直线EF.AD所成角的余弦值；

(2)点M在线段AiD上，霁=入，若CM〃平面AEF,求实数人的值.

高频考点二十八随机变量及其分布(理科专用)

1.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)在1,2,3,…,9这9个自然数中，任取3个不同

的数.

(1)求这3个数中至少有1个数是偶数的概率；

(2)求这3个数的和为18的概率；

(3)设&为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,

此时W的值是2).求随机变量［的分布列及其数学期望E©.

2.(2018南京'盐城高三第二次模拟)甲、乙两人站在P点处分别向A,B,C三个目标进行射

击，每人向三个目标各射击一次,每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A,B,C

的概率分别都为;

234

(1)设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)求甲、乙两人共击中目标数为2的概率.

高频考点二十九数学归纳法(理科专用)

1.(2018常州教育学会学业水平检测)记(x+1)•(%+!)..........(%+；)(n22且nwN*)的展开

式中含X项的系数为Sn,含X2项的系数为Tn.

⑴求Sn；

(2)若普=an2+bn+c对n=2,3,4成立,求实数a,b,c的值；

Sn

(3)对(2)中的实数a,b,c,用数学归纳法证明:对任意n》2且nWN*,*=an2+bn+c都成立.

Sn

2.(2018苏州学业阳光指标调研)在正整数集上定义函数y=f(n),满足

f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.

⑴求证:f(3)-f(2)*

(2)是否存在实数a,b,使f(n)=-^+1对任意正整数n恒成立？并证明你的结论.

呜)七

高频考点三十抛物线(理科专用)

1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线I过点M(4,0).

(1)若点F到直线I的距离为b,求直线I的斜率；

(2)设A,B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线

段AB中点的横坐标为定值.

2.(2018江苏海安高级中学阶段检测(三))如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x-y-4=0,

抛物线C:y2=2px(p>0).

(1)若直线I过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

(2)已知抛物线C上存在关于直线I对称的相异两点P和Q.

①求证:线段PQ的中点坐标为(4-p,-p);

②求p的取值范围.

答案精解精析

高频考点一集合运算

1.答案{3.5}

解析由交集定义可得AAB={3,5}.

2.答案{-3,-2,2)

解析集合A={2,-3},B={2,-2},则AUB={-3,-2,2}.

3.答案{1.3}

解析由补集定义可得CuA={1,3}.

4.答案2

解析因为2m>0,则由并集定义可得2m=4,m=2.

高频考点二复数

1.答案-1

解析复数z=；^=1-i的虚部是-1.

i+i

2.答案3

解析复数a+bi=^:i(1-3i)=3+i,则a=3,b=1,ab=3.

3.答案5

解析复数z=(1-2i)2=-3-4iJiij|z|=5.

4.答案三

解析复数2得=生罗=-与对应的点(《,1)位于第三象限.

高频考点三统计

1.答案8

解析男运动员应抽取篇X14=8人.

2.答案31

解析将100件产品分成5组，每组20件，则抽取的样本编号是以20为公差的等差数列，第

5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为91-20x3=31.

3.答案y

解析由茎叶图可得这组数据的平均数是竺过笺生'=20,则方差S2=4+9+；+I+4=,

4.答案100

解析由频率分布直方图可得一等品的频率是0.0625x5=0.3125,二等品的频率是

(0.05+0,0375)x5=0.4375,则三等品的频率是1-(0.3125+0,4375)=0.25,又样本容量是

400,所以样本中三等品的件数为0.25x400=100.

高频考点四概率

1.答案|

解析A,B,C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，有(ABC)、(ACB)、(BAC)、(BCA)、

(CAB)、(CBA),共6种，其中A与B在相邻两天值班的结果有4种,故所求概率为

63

2.答案|

解析设AC=x5/6(0,12),则由题意得刈12为＞32,解得4*8,故所求概率为翳三.

3.答案0.3

解析因为摸出的球不是红球的概率是0.8,所以摸出的球是红球的概率是0.2，又摸出的球

不是黄球的概率是0.5,则摸出的球是黄球的概率是0.5,所以摸出的球是蓝球的概率为

1-0.2-0.5=0.3.

4.答案；

47r

解析本题考查几何概型•油恰好落入孔中的概率为三=占.

nx2z4n

高频考点五算法

1.答案24

解析该流程图运行2次悌1次,S=6,a=4,条件a>2满足，继续运行，第2次,S=24,a=2,条件

a>2不满足，结束运行，故输出的S=24.

2.答案45

解析该伪代码运行9次，则S=1+2+3+……+9=丝尹=45.

3.答案[0,1]

解析由流程图可得12结合函数图象得Se[0,1].

4.答案8

解析该算法运行3次，第1次,|=4,S=4悌2次,|=6,S=24;第3次,I=8,S=192,运行结束，故输

出的1=8.

高频考点六空间几何体的体积与表面积

1.答案yTT

解析设圆锥底面圆半径为r,则2TT=2iTr,r=1,则圆锥的高，则该圆锥的体积

V=-TTr2h=—TT.

33

2.答案y

解析S4B]PQ=S正方形BCQBjSaBBiQ-SaBiCiP-SaPCQ=2x23x2x1-1x2x1-|X1X1=2

当△BFQ作为三棱锥的底面时，三棱锥的高是边长为2的等边三角形A1B1C1的边BiCi上

的高,h=8,四面体ArBFQ的体积为V=*|x遮喙

3.答案50TT

解析如图,ABC-A1B1C1是直三棱柱,，AiA_LAC,又三棱柱的所有顶点都在同一球面

上,「.AiC是球的直径,.•.R=竽，•AB_LBC,.•.AC=不彳不=5,.•.A1C2=52+52=50,故该球的表面

2

积为S=4TTR2=4TT(管)=TTAIC2=50TT.

£

A(：

高频考点七空间平行与垂直

1.答案⑴(2)

解析(1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面的直线与另一个平

面也没有公共点.由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确.(2)因为

该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另

一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直.故(2)正

确.(3)错,反例:该直线可以在另一个平面内.(4)错,反例淇中一个平面内也存在直线与另一个

平面平行.综上,(1)(2)为真命题.

2.答案②④

解析如图，邙CY=I,，IU丫,由aJ_Y，aCY=m,且解m,得l_La,故②正确;由pny=Uflc0,由

"a,得故④正确;而①③条件不充分，不能判断.

3.证明(1)因为D,E分别为AB,AC的中点，所以DE〃BC.

又DEc平面PDE,BCa平面PDE,

所以BC〃平面PDE.

p

(2)过点P作POLCD,垂足为O.

因为平面PCD_L平面ABC.POc平面PCD,平面PCDnWABC=CD,

所以PO_L平面ABC.

又因为ABc平面ABC,所以AB±PO.

因为PA=PB,D为AB的中点，所以AB±PD.

又NPDC为锐角，一定有POnPD=P,PO,PDc平面PCD,所以AB,平面PCD.

又PCc平面PCD,所以AB±PC.

高频考点八基本初等函数的图象与性质

1.答案(-1,2)

解析函数f(x)是偶函数，且在[0,+8)内单调递增，则

f(2x-1)<f(3)«f(|2x-1|)<f(3)«|2x-1|v3=-3〈2x-1<3,则-1<x<2.

2.答案

解析•.,函数f(x)是以4为周期的奇函数Jog220@(4,5),

.,.4-log220e[-1,0),

.•.f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220),

•.•当x£[-1,0)时，f(x)=2x,;.f(log220)=-24-iog22o=_1^=T.

3.答案(1,2]

解析当xW2时，f(x)=-x+826,所以当x>2时，f(x)=logax+5>6恒成立，所以

a>1,loga2^1=logaa,^1<aW2.

4.答案(0,1)U(3,+eo)

解析由图象只有1个交点得m2X2-(2m+1)x+1-m=0在(0,1)上只有一个解，当m=0时，显然

不成立，当mWO时，令f(x)=m2x2-(2m+1)x+1-m,作出函数f(x)的图象(图略)，由图象可得

{.或，_解得0vm<1或m>3.

(/(I)=m2-3m<0(./(I)=m2-3m>0,

高频考点九函数与方程

1.答案(-4,-2)

7(0)=-m-2>0,

解析令f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,则，/⑴=-8-2m<0,解得-4<m<-2.

、f(2)=-3m>0,

2.答案0

解析f(x)在R上单调递增，且f(0)=-1<0,f⑴=1>0,所以f(x)在(0,1)上有唯一零点，故k=0.

3.答案2

解析在同一直角坐标系中作出函数y=C)：y=|lnx|的图象(图略)，可知两函数图象有2个

交点，故原方程有两解.

4答案(-2,0)

解析函数g(x)=f(x)-m(meR)有三个不同的零点x1,X2,X3,且x1〈x2VX3,即y=f(x),y=m的图象

有3个不同的交点，作出函数图象(图略)可得0<m<1,xiX2=1,X3=3-m,则

(XlX2+1)m-X3=2m+m-3,me(0,1)单调递增，故(XlX2+1)m-X3的取值范围是(-2,0).

高频考点十导数及其应用

1.答案［-2,+OO)

解析由题意得，f'(x)=}+2ax,f(x)在区间62)内存在单调递增区间，则f'(x)^0在&2)有

解，故-会)mm又9仅)=*在6,2)上是单调递增函数，所以g(x)>g(0=-2,所以实数a的

取值范围是a2-2.

2.答案y=x+6

解析f'(x)=[x2+(2-a)x+1]ex(aGN),

设g(x)=x2+(2-a)x+1,

因为函数f(x)在区间(1,3)只有1个极值点，

所以函数f(x)在区间(1,3)只有1个零点，则有g(1)•g(3)<0,解得4<a芍又a£N,所以a=5,

所以f(0)=6,f'(0)=1,则所求切线方程为y=x+6.

3.解析⑴当a=0时，f(x)=xex,f'(x)=ex(x+1),令f'(x)=0,得x=-1.

列表如下：

X(-oo,-1)-1(-1,+<»)

f'(x)-0+

f(x)单调递减极小值单调递增

所以函数f(x)的极小值为f(-1)=q,无极大值.

(2)①当a<0时,由于对于任意xe[o用，有sinxcosx20,

所以函数f(x)20恒成立，当aWO时，符合题意；

②当0<aW1时，因为f'(x)=ex(x+1)-acos2x^e0(0+1)-acos0=1-a20,

所以函数f(x)在[o用上为增函数，所以f(x)2f(0)=0,即当0<aW1,符合题意；

③当a>1时，「(0)=1-a<0,fQ)=e?Q+1)>0,

所以存在aG(O,£),使得f<a)=0,且在(0,a)内，f<x)<0,

所以f(x)在(0,a)上为减函数，所以f(x)<f(O)=O,

即当a>1时,不符合题意.

综上所述,a的取值范围是(-8,。

(3)不存在实数a,使得函数f(x)在区间(0弓)上有两个零点.

理由:由(2)知，当aW1时,f(x)在(04)上是增函数，且f(0)=0,故函数f(x)在区间(0彳)上无零点―

当a>1时，f'(x)=ex(x+1)-acos2x,

令g(x)=ex(x+1)-acos2x,g'(x)=ex(x+2)+2asin2x,

当XG(0,§时，恒有g'(x)>0,所以g(x)在(0弓)上是增函数.

由g(0)=1-a<0,gQ)=e?+l)+a>0,

故g(x)在(0,习上存在唯一的零点xo,即方程f'(x)=0在(0,9上存在唯一解xo,

且当XG(O,XO)时，L(x)vO,当代(出弓)时，f'仅)>0,

当xw(O,xo)时,f(x)〈f(O)=O,即f(x)在(O,xo)无零点;

当xe(xo《)时，f(xo)〈f(O),吟)=滑>0,

所以f(x)在(沏4)上有唯一零点，

所以，当a>1时，f(x)在(0,以上有一个零点.

综上所述，不存在实数a,使得函数f(x)在区间(0弓)上有两个零点.

4.解析(1)解法一:函数f(x)的定义域为{x|x>0}.

f'(x)=1+lnx,g'(x)=ax+1.

①当m=e时，f<e)=2,g〈e)=ae+1.

因为1山2,所以f'(e)•g'(e)=-1,即2(ae+1)=-1.

解得a==.

②因为则f'(m)=g'(m)在(0,+8)上有解，即inm-am=0在(0,+s)上有解.

设F(x)=lnx-ax,x>0则F(x)=Ja=_^.

当aWO时,F(x)>0恒成立，则函数F(x)在(0,+8)上为增函数.

(i)当a<0时，取x=ea,F(ea)=a-aea=a(1-ea)<0.

取x=e,F(e)=1-ae>0,所以F(x)在(0,+8)上存在零点.

(ii)当a=0时,F(x)=lnx存在零点x=1,满足题意.

(iii)当a>0时，令F(x)=O,则x=,则F(x)在(0,£)上为增函数，在6+8)上为减函数.

所以F(x)的最大值为FQ)=lni-120,解得0<a<|.

取x=1,F(1)=-a<0.

因为当ae(0,，时，方程F(x)=0在(0,+动上有解.

所以a的最大值是士

e

解法二:函数f(x)的定义域为{x|x>0}.

f'(x)=1+lnx,g'(x)=ax+1.

则f'(m)=1+lnm,g,(m)=am+1.

因为li〃b,则f'(m)=g'(m)在(0,+8)上有解，即Inm=am在(0,+s)上有解.

因为m>0,所以a=—.

m

令F(x)=?(x>0),则F(x)=^，令F'(x)=0,解得x=e.

当xe(0,e)时尸(x)>0,F(x)为增函数；

当xe(e,+8)时,F(x)<0,F(x)为减函数.

所以F(x)max=F(e)=1.

所以,a的最大值是士

e

(2)h(x)=xlnx-^x2-x+a(x>0),

h'(x)=lnx-ax.

因为X1,X2是h(x)在其定义域内的两个不同的极值点，

所以X1,X2是方程Inx-ax=0的两个不等实根，

故Inxi=axi,lnX2=ax2.

两式作差得a=lnX1-lnX2.

Xl-X2

由AinX2-A>1-lnXi,得1+A<lnxi+AlnX2.

因为A>O,O<X1<X2,

所以1+ka(x•，+入

%1+入久2%i-%2X1+AX2%2%i+入％2

令t=N则tw(o,i).

x2

由题意得,Int<”等在te(0,1)上恒成立.

c+A

令(p(t)=lnt(岑当£te(O,l),

t+A

贝IJ(P，⑴风包=g)g2)

人J叩⑴t(t+A)2t(t+A)2,

①当入2对,即入21时,vte(O,1),0(t)>O,所以(p(t)在(0,1)上单调递增，

又q>⑴=0,则<p(t)<0在(0,1)上恒成立.

②当入2<1,即o<A<1时,

若若(0,入2),则C(t)>0,(p⑴在(0,入2)上为增函数;

若若(入2,1),则C(t)<0,(p(t)在(入2,1)上为减函数.

又(p(1)=o,所以<p(t)不恒小于0,不符合题意.

综上，入G[1,+*>).

高频考点十一解不等式

1.答案-3

解析易知A=(-1,3),B=(-3,2),

.-.AnB=(-1,2),则-1+2=-a,-2=b,

.,.a=-1,b=-2,/.a+b=-3.

2.答案(-3,2)

解析函数f(x)在R上单调递增，则不等式f(6-x2)>f(x)等价于6-x2>x,解得-3<x<2,故本题答案

为(-3,2).

3.答案｛x|xW百｝

解析不等式耐<3=黑霜3或㈱)*2f(x)工3,解得如"喉上或

%<0

2工；,Q解得OWXW百或XVO,所以不等式f(f(x))W3的解集为{x|xwb}.

{X十ZXN

高频考点十二线性规划

1.答案-9

解析约束条件对应的平面区域如图中阴影部分，当目标函数y=|x《z在点(0,3)处时,z取得

最大值-9.

2.答案5

解析图中4ABC为满足条件的可行域，由z=3x+y得y=-3x+z,当直线y=-3x+z过点C时,z

有最小值5,此时_彳刀卡$解得=2；代入2x-y=c，得c=5.

3•答案或25]

解析可行域如图中阴影部分.

X2+y2的几何意义是可行域内的点与坐标原点的连线的距离的平方，

由图形可知最小值为0B的平方，最大值为0A的平方，

(段)Wx2+y2W(所号)2,

可得等Wx2+y2W25.

故答案为偿,251.

高频考点十三基本不等式

1.答案9

解析由题意可得a+4b=ab,ab>0,则把=1,所以a+b=(a+b)Q+

3=5+9竺25+2存.丝=9,当且仅当廿Na=2b=6时取等号，故a+b的最小值是9.

a)ba7baba

2.答案(1厘

解析因为a,b是正实数，且耳[=1,则a+b=ab，2俩,ab24.又由2+%1得

aba+bc

ab

%1+,广1."=赤=y1+.亚1金l((1，14]

3.答案(-8,2]

解析函数f(x)=|x-a|+|(aGR);.xe(0,+°o),

.•.当x>a时,f(x)=x+/a，2/二x-a24,当且仅当x=3时取等号，即6-a24,可得a<2.

当x<a时，可得f(x)=a-x+g,

,.y=~x在(0,+s)上是递减函数，对f(x)24不成立.

..a无解.

综上,a的取值范围是(-8,2].

高频考点十四三角函数的图象与性质

1.答案F

4

解析,.u）m+（p=kTT（kGZ）,-3wm+（p=-n+kTT（keZ）,

-4(p=-Tr+4kTT(keZ),.0<(p<Tr,/.k=1,(p=y.

2.答案J

6

解析平移后的函数的解析式为y=cos[2+(p]=cos(2x-TT+cp)=-cos(2x+(p)=sin(2x+

(P+:)(Ovq)<rr),此时图象与函数y=sin(2xq)的图象重合，故(p+y=-^+2kn,kGZ,BP

(p=--+2krr,kGZ,'.O<(p<TT,/.(p=-.

66

3.答案[-|,3]

解析由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两个函数的周期相同，故3=2,所以

f(x)=3sin(2Xq).

所以界前(2吟)近1,故他斗闾.

高频考点十五三角变换求值

1.答案1

解析由题设可知sin0=-2cos6,代入得

222

sin0+cos0+2sin0cos0_(4+l-4)cos0_>|

cos20cos20

2.答案||

解析因为(3£(0弓),所以cosa+sina>0,

则由cosQ-a^=y(cosa+sina)=2V2(cosa+sina)•(cosa-sina)可得cosa-sina=j,两

边平方可得1-sin2a=Z，解得sin2a=—.

1616

3.答案

解析因为舞臂器鬻，口sin(a+B)=|器吱

所以sgB尸sin(a+»器鬻/

4.解析⑴由ae&Tr),tana=-2,得sina=|V5,cosa=-y,

sinf-+a)=sin-cosa+cos-sina=—V10.

\474410

43

(2)sin2a=2sinacosa,cos2a=cos2a-sin2a=--,

cos(--2a)=cos—cos2a+sin—sin2a=^^.

k3733io

高频考点十六解三角形

1.答案2后

解析由NB=2NA得sinB=sin(2A)=2sinAcosA,由正弦定理和余弦定理可得

b=2a•又a=3,c=5,代入解得b=2V6.

2DC

2.答案4

解析因为acosB-bcosA=|c,所以sinAcosB-sinBcosA=|sinC=|sin(A+B),化简得sin

AcosB=4sinBcosA,所以8sB=4.

tanBsinBcos/l

3.解析(1)由正弦定理及asinA-csinC=(a-b)sinB可得a2+b2=c2+ab,

又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得cosC=*所以C=]

(2)由正弦定理及c+bcosA=a(4cosA+cosB)可得sinC+sinBcosA=4sinAcosA+sinAcos

B,从而有sinBcosA=2sinAcosA,

当A甘时,b=2&ABc=2百；

当AW]时,b=2a,a=2,b=4&ABc=[absinC=2V3.

综上,ZSABC的面积是2次.

4.解析⑴在AABC中，因为a=1,b=2V3,B-A=-,

6

由正弦定理得,-9=-4乌不

s\nAsin"+£)

于是2gsinA=sinAcos-+cosAsin即3V3sinA=cosA,

66

又siMA+cos2A=1,所以sinA=—.

14

⑵由⑴知,cosA=警，