2020-2021年山东省济南市德润高级中高一（下）期中数试卷解析版

2020-2021年山东省济南市德润高级中高一(下)期中数试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)复数(2+。(|3+447)的虚部为()

A.3B.-7zC.-3/D.-7

【分析】利用复数的运算化简式子，求得虚部.

【解答】解：•.•(2+i)(|3+4"T)=(2+i)(5-i)=ll+3i,，其虚部为3.

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.

2.(5分)设向量”=(3,加)，向量b=(-l,2),若向量a与向量b共线，则m的值为()

33

A.-B.--C.6D.-6

22

【分析】根据4与6共线即可得出6+m=0,从而可得出m的值.

【解答】解：a与b共线，

.-.3x2-(-l)./n=0,解得m=-6.

故选：D.

【点评】本题考查了共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题.

3.(5分)设向量a=(",3),向量6=(0,3),若向量2a-36与向量3a-6垂直，则〃的值为

()

A.+—B.+—C.±0D.±6

22

【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出〃的值.

【解答】解：,向量。=(〃,3),向量6=(0,3),若向量2a-3。与向量3a-6垂直，

则(2a—3。)―(3a-6)=6/-11。/+3。2=6(7+9)—11x9+3x9=0,

则〃=±5

故选：D.

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题.

4.(5分)已知AA8C是边长为。的正三角形，那么AA8c平面直观图△A8C的面积为(

）

A\/62口62^32cR2

A.——aB.——aCr.——aD.——a

1632168

【分析】由原图和直观图面积之间的关系&=立，求出原三角形的面积，再求直观图

S联图4

△A9C的面积即可.

【解答】解：正三角形ABC的边长为a,故面积为立a?,而原图和直观图面积之间的关系

4

S直观图二战,

S原图4

故直观图△次夕。的面积为理/

16

故选：A.

【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查.

5.（5分）如图，在AA3C中，点。在3c边上，/4Z）C=60。，CD=AD=2,BD=4,则

sin8的值为（）

【分析】由题意可得AA/X;为等边三角形，可得AC=2,ZC=60°,由余弦定理求得AC,

再由正弦定理可得sin3.

【解答】解：ZADC=60°,CD=AD=2,

可得AWC为等边三角形，可得AC=2,

ZC=60°.

BC=4+2=6,

由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC

=4+36—2-2-6--=28,

2

即AC=2>/7,

2XB

由正弦定理可得sinB=4等=奈=答'

故选：D.

【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题.

6.（5分）已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积

为（）

A.16万B.20]C.244D.32万

【分析】画出图形，正四棱锥P-/WCZ）的外接球的球心在它的高尸01上，记为O,求出POt,

00t,解出球的半径，求出球的表面积

【解答】解：正四棱锥尸-舫8的外接球的球心在它的高尸01上,

记为O,PO=AO=R,PO|=3,OOX=3-R,

在•△AO0中，R2=3+(3-Rf得R=2,

球的表面积S=16打

故选：A.

【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是利用直角三角形列方程式求解

球的半径，是基础题

7.（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为万，则球的体积为（）

【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可.

【解答】解：截面面积为万n截面圆半径为1,又与球心距离为In球的半径是应，

所以根据球的体积公式知限=殍=/，

故选：B.

【点评】本题考查生的空间想象能力，以及生对圆的性质认识，进一步求解的能力，是基础

题.

8.（5分）如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）

A.Incrrt'B.S/rcm2C_97rcnTD.117rd

【分析】由图可知：该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的几何体，几何体的表面积=圆

柱的侧面积+圆柱的底面积+半个球面.

【解答】解：S=2^X1X（1+2）+TTX12+^X4^X12=9^,

故选：C.

【点评】本题考查几何体的表面积，属于基础题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.（5分）已知a,△是空间中两个不同的平面，机，”是空间中两条不同的直线，则给出

的下列说法中，正确的是（）

A.若机_La,,则"//〃B.若加//a,〃?//£,则c/〃？

C.若a_L£,ml!P,则D.若a//£,mVa,则"?_L〃

【分析】由直线与平面垂直的性质判断A；由直线与平面平行及平面与平面平行的定义判

断8；由平面与平面垂直、直线与平面平行的定义判断C；由直线与平面垂直、平面与平

面平行的定义判断O.

【解答】解：对于A,若》7_Le,则，〃//〃，故A正确；

对于3,若,"//a,ml10,则a//〃或a与/?相交，故3错误;

对于C,若a上0,相〃力，则,〃//0或sua或机与a相交，故C错误；

对于。，若则机垂直a内的所有直线，又c//£,则机垂直月内的所有直线，则

mA./3,故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，

考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

10.（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结

论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为2万4

B.圆锥的侧面积为2万2

C.圆柱的侧面积与球面面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2

【分析】利用圆柱、圆锥、球的侧面积及其体积计算公式即可得出结论.

【解答】解：A.圆柱的侧面积=2乃RX2R=4;TR2,因此A不正确；

B.圆锥的侧面积=gx2万RXJQRJ+R?=也兀炉,因此3不正确；

C.圆柱的侧面积=4万店，因此与球面面积相等，可得C正确；

D.圆柱的体积=乃??32/?=2乃内，圆锥的体积=」乃/?晨2火=空内，球的体积=9;?3,

333

可得它们的体积之比为3:1:2,因此。正确.

故选：CD.

【点评】本题考查了圆柱、圆锥、球的侧面积及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能

力，属于基础题.

11.（5分）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（）

A.AF与CV平行B.8M与4V是异面直线

C.他与8例是异面直线D.8N与£>E是异面直线

【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征判定A与8；由异面直线的定义判断C

与D.

【解答】解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图，

由正方体的结构特征可知，顾与C7V异面垂直，故A错误；

与4V平行，故5错误；

平面8GW,Fe平面8cM/，/U平面8cM/，F唉BM,

由异面直线定义可得，瓶与3M是异面直线，故C正确；

DEu平面ADNE,Ne平面ADNE,平面ADNE,NiDE,

由异面直线定义可得，BV与QE是异面直线，故。正确.

故选：CD.

【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中

档题.

12.（5分）在棱长为1的正方体ABC。-A8|G。中，下列结论正确的是（）

A.异面直线BR与BC所成的角大小为90。

B.四面体RQBC的每个面都是直角三角形

C.二面角BC-4的大小为30。

D.正方体48CD-A与GA的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为叵］

【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判定A；由正方体的结构特征及直线与平面垂直的

性质判断8；求出二面角A-BC-用的大小判断C；分别求出正方体A8CO-A4GA的

内切球与外接球的半径，作差判断。.

【解答】解：如图，在棱长为1的正方体ABCO-A4GR中，

D©±平面BBgC,则RG_LB|C,又4c±BCt,

D,C,fBC,=C,,•平面8G2,则BC_L8R,

即异面直线8%与8。所成的角大小为90。，故A正确；

DDt±底面ABCD,DR±DB,DDt±DC,再由8C_L平面DDgC,

可得3CJ_DC,BC±D,C,得四面体8c的每个面都是直角三角形，故3正确；

由BC_L平面ORCC，可得BC_LRC,BC±CC,,即NRCG为

二面角R-BC-q的平面角，大小为45。，故C错误；

正方体ABC£>-AB|GR的内切球的半径为g,外接球的半径为日，

则正方体ABCD-AQGA的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为牛故£）

正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象

能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）空间两个角a,/7的两边分别对应平行，且a=60。，则£=_60。或120。_.

【分析】根据平行公理知道当空间两个角a与/的两边对应平行，得到这两个角相等或互

补，根据所给的角的度数，即可得到月的度数.

【解答】解：如图，

空间两个角a，P的两边对应平行,

.•.这两个角相等或互补，

a—60°，

尸=60。或120°.

故答案为：60。或120。.

【点评】本题考查平行公理，本题解题的关键是不要漏掉两个角互补这种情况，考查空间想

象能力、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

14.(5分)在四边形ABCZ)中，AB=(4,-2),4c=(7,4),A£>=(3,6),则四边形ABCZ)的

面积为30.

【分析】根据向量的加减运算和向量的数量积的运算，得到四边形钻8为矩形，再根据

向量的模的计算得到，矩形的长和宽，即可求出面积.

【解答】解：AB=(4,-2),AC=(7,4),AD=(3,6),

/IB-AD=4x3-2x6=0,BC=AC-AB=(3,6)=AD,DC=AC-AD=(4,2)=AB,

ABVAD,BC//AD,AB11DC,

.•・四边形A88为矩形，

|AB|=742+(-2)2,|A£>|=用+62=回，

四边形ABCD的面积为回XA=30,

故答案为：30.

【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及向量的模，属于基础题.

15.(5分)在AABC中，AB=AC=5,BC=6,A4_L平面ABC,B4=8,则尸到8C的

距离为_4不

【分析】由尸是等腰三角形A8C所在平面外一点，24,平面A8C,我们易得PB=PC,

取的中点。，则ADJ_3C,且尸£>J_8C,利用勾股定理我们易求出45的长，进而求

出PD的长，即点尸到3c的距离.

【解答】解：如下图所示：

设D为等腰三角形他C底面上的中点，则尸。长即为P点到BC的距离

又，4）即为三角形的中线，也是三角形BC边上的高

BC=6,AB=AC=5,易得AD=dAB?-BD2=《2=4

在直角三角形B4£>中，又PA=S

:.PD=46

故答案为4石

【点评】本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离，其中利用三角形的性质，做出PD

即为点P到BC的垂线段是解答本题的关键.

16.（5分）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B,望对岸的标记物C,测

得NC4B=45。，ZCBA=75°,45=120米，则45:BC=—,这条河的宽度为.

~2-----

C

B

【分析】利用正弦定理，把边化角求出仝，再利用正弦定理和解直角三角形求出河宽CD.

BC

【解答】解：在AA8C中，ZC4B=45°,ZCBA=75°,:.ZACB=60°,

由正弦定理得丝=别£=包”=逅.

BCsinAsin4502

V6+V2

£=—,AC=丝g"==60&+20指，

sinBsinCsinCV3

作CDJ_AB,则8的长为河宽，

在RtAADC中，ZC4B=45°.

:.CD=AC-sinZCA£>=—(60夜+20^)=60+20>/3.

2

故答案为：渔，(60+206)米.

2

【点评】本题考查正弦定理的运用，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且,a±c.

(1)求b与d；

(2)若m=2a-b,〃=a+c,求向量"?、〃的夹角的大小.

【分析】(1)由。///?求出x的值，由。_Lc求出y的值，从而得出Z?、c；

(2)计算相、〃，利用平面向量夹角的公式求出8SV,%,〃>,即得夹角的大小.

【解答】解：(1)由a//得3x—4x9=0,解得x=12；

由。_!_。得9乂4+孙=0,

解得y=———=——=—3；

x12

所以b=(9/2),c=(4,—3)；

(2)m=2a-b=(-3,-4),

〃=a+c=(7,1)；

所以他•〃=—3x7—4x1=—25,

|m|=7(-3)2+M)2=5,

|n|=V72+l2=572；

蜴］mn-25五

所以cos<tn,n>=-------=-----T==--------，

\/n\x\n\5x5V22

所以向量〃的夹角为包.

4

【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平

面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对

应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键.

18.(12分)在①2——-——:----=----------，②2<:8sC=acos8+/?cosA这两个条件中任

选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.

在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

(1)求角C;

(2)若。=石,〃+匕=JTT,求AABC的面积.

【分析】若选择①，

(1)由正弦定理化简已知等式可得。2+6-02=必，由余弦定理可得COSC=L,结合范围

2

Cc(O,万)，可求C的值.

(2)由题意利用余弦定理可求得油的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

若选择②，

(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinCcosC=sinC,结合C为

三角形内角，sinCVO,可得cosC='，结合范围Ce(O,乃)，可求C的值.

2

(2)由题意利用余弦定理可求得油的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

【解答】解：若选择①，sinA-sinC=sin'-sinB,

ha+c

(1)由正弦定理可得：—,整理可得：a2+b2-c2=ab,

ha+c

a2+b2-c2ab

由余弦定理可得cosC=

2ab~2

因为CE(O,I),

所以c=巳

3

(2)因为C=X，c=^,a+b=4H,

3

所以由余弦定理。2=〃+匕2-2abeosC,可得5=/+y-ab=(a+b)?-3ab=11-3ab,

解得ab=2,

所以SMBC=^tz/?sinC=^x2x^=—.

若选择②，2ccosC=67cosB+Z?cosA,

(1)由正弦定理可得：2sinCeosC=sinAcos3+sin8cosA=sinC，

因为。为三角形内角，sinC^O,

所以可得cosC=，，

2

因为cw(o,m，

所以c=&.

3

(2)因为C=色，c=y/5,a+h=J\\,

3

所以由余弦定理/=a2+b2-2abcosC,可得5=/+〃2-ab=(«+b)2-3ab=11-3ab,

解得ab=2,

所以与w=；”"sinC=gx2x与=孚.

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦函数公式

在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.(12分)如图，矩形ADE/与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADLCD,AB//CD,

4?=AD=2,CD=4,用为CE的中点.

(I)求证：8M〃平面ADE尸；

(H)求证：8(7，平面应把.

【分析】(I)取DE中点N,连结MM,AN,证明四边形A8AW为平行四边形，从而可

证//平面ADEF；

(〃)先证明平面ABCD，可得E£)_L3C,再利用勾股定理，证明3C_L3£>,利用线

面垂直的判定定理，证明BC_L平面

【解答】证明：(I)取DE中点N,连结MN,AN.

在AEDC中，M,N分别为EC,EZ)的中点，…(2分)

所以MV//CD,且MN='C£).

2

由己知AB//CD,AB^-CD,

2

所以肱V//A8,且=

所以四边形/WMV为平行四边形.…（4分）

所以8M//AN.

又因为4Vu平面4%户，且8MU平面4%户，

所以8M//平面AOEF.…（6分）

（II）在矩形4）所中，EDVAD.

又因为平面ADEF±平面ABCD,

且平面平面ABCD=AD,

所以EDI.平面ABCD.

所以E»_L8C.…（9分）

在直角梯形MCD中，AB=AD=2,C£>=4,可得8c=20.

在ABCD中，BD=BC=20,CD=4,

因为B/T+BC。=Cb,所以BCLBD.

因为8。。。£：=。，所以BC_L平面5£）E.…（13分）

【点评】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查生分析解决问题的能力，正确运用线面平

行、垂直的判定定理是关键.

20.（12分）如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A8C-A4G中，F,Ft

分别是AC,AG的中点.求证:

（1）平面A46//平面GBF；

（2）平面破耳，平面ACC6.

c

B

【分析】(1)由题意得出与AFJ/QF,从而证明平面A片耳〃平面G8F；

(2)由题意知A41_L平面AAG，得出用《•LA4I;再由B『J-AG，

得出B/，平面4CGA,从而证明平面AB,^_L平面4CGA-

【解答】证明：(1)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A8C-AqC中，

F,K分别是AC,AG的中点，

:.BtFt//BF,AFJ/C\F；

又8mA耳=£,G尸，BF=F,

.•・平面A片耳〃平面

(2)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC4,gG中，

A4,JL平面A4G，

/.B1F1±M；

又与耳_LAG，441=A，

.•.用4J.平面4CGA，

又4Eu平面4片耳，

平面ABtFt_L平面4CGA-

【点评】本题证明了空间中的平行与垂直关系的判定与性质的应用问题，是基础题.

21.(12分)在四棱锥尸-ABCD中，底面钻8是正方形，侧面R4D是正三角形，平面PAD1.

底面ABCD.

(1)证明：45_L平面以。；

(2)求面E4D与面P38所成的二面角的正切值.

【分析】(1)根据平面F4DJ_底面ABC。以及即可证得/由，平面R4Z)：

(2)利用面积射影法，求出面皿)与面也阳所成的二面角的余弦值，即可求出面抬。与

面PE出所成的二面角的正切值.

【解答】(1)证明：底面ABC。是正方形，

：.ABLAD,

・平面以O_L底面A88,平面P40c底面A88=AO,

由面面垂直的性质定理得，4?，平面PAD；

(2)解：由题意，AP8£)在面抬。上的射影为AftW.

2

设AD=a)则S^PAD=~~^<

APBZ)中，PD=a,BD=\[la,PB=42a,，“皿=；xaxJ2a'，

面24。与面PDB所成的二面角的余弦值为