九年级数学上册第23章 旋转（培优卷解析）

/第23章旋转（培优卷解析）一．选择题（每小题3分，共24分）1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．2.如图将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△ABC，设点的坐标为（a，b），则A的坐标为（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2）【答案】D【解析】解：将△ABC绕点C（0，﹣1）旋180°得到△ABC，设而由中点坐标公式可得：;解得：;∴A（﹣a，﹣b﹣2）故选D3.如图，将绕点顺时针旋转得到，且点恰好在上，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由题意可知：，又∵,∴又∵,∴，∴故选：A．4.如图，中，，，，平行于轴，以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：过点向作垂线，垂足为点，如图，∵，，∴∵轴，∴，∴，将逆时针旋转，得到，∴，∴，∴点在y轴上，由旋转的性质得，，∴,∴

∵，∴,∴由勾股定理得，∵点在第二象限，∴点的坐标为故选：D．5.如图，，将绕点B逆时针旋转至处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，∴∠CBD=∠ABE，BD=BE，∵∠ABC=∠CBD+∠ABD，∠EBD=∠ABE+∠ABD，∠ABC=70°，∴∠EBD=∠ABC=70°，∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=，故选：A．6.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在，，，四个点中，直线PB经过的点是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∴PA⊥y轴，PA=4，由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4，如图，过点B作BC⊥y轴于C，∴∠BPC=30°，∴BC=2，PC=2，∴B（2，2+2），设直线PB的解析式为：y=kx+b，则，∴，∴直线PB的解析式为：y=x+2，当y=0时，x+2=0，x=-，∴点M1（-，0）不在直线PB上，当x=-时，y=-3+2=1，∴M2（-，-1）在直线PB上，当x=1时，y=+2，∴M3（1，4）不在直线PB上，当x=2时，y=2+2，∴M4（2，）不在直线PB上．故选：B．7.如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝（）．A．20+16 B．24+12 C．20+12 D．24+16【答案】D【解析】如图，将绕点B逆时针旋转后得，连接，根据旋转的性质可知，旋转角，，∴为等边三角形，，由旋转的性质可知，，在中，，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，是直角三角形，∵，，∴．故选：D．8.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（3，0），B（0，4），则点B2022的横坐标为（）A．12120 B．12128 C．12132 D．12125【答案】C【解析】解：∵点A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴，∴OA＋AB1＋B1C2＝3＋5＋4＝12，∴B2（12，4），B4（24，4），B6（36，4），…，∵2022÷2＝1011，∴1011×12＝12132，故选：C．二．填空题（每小题2分，共16分）9.如果抛物线的顶点关于原点对称点的坐标是（－1，－3），那么m的值是___．【答案】5【解析】∵抛物线y＝2x2−4x＋m的顶点关于原点对称点的坐标是（−1，−3），∴抛物线y＝2x2−4x＋m的顶点坐标是（1，3），∴3＝，解得，m＝5；故答案为：5．10.如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______．【答案】或【解析】解：∵A(-1，2)，OC=4，∴C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)，BM=3，AB//x轴，BM=3．将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，由旋转得：OM=OM1=OM2=2，∠AOA1=∠AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴B1和B2的坐标分别为：(-2，3)，(2，-3)，∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是，B'(-2，3)，(2，-3)，故答案为：(-2，3)或(2，-3)．11.如图，△ABC中，∠ABC＝64°，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使得AA′∥BC，则∠CBC′＝_________°．【答案】52【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△BA′C′，∴BA′=AB，∴∠BAA′=∠BA′A，∵AA′//BC，∴∠A′AB=∠ABC，∵∠ABC=64°，∴∠A′AB=64°，∴∠ABA′=（180°-2×64°）=52°，∵∠CBC′=∠ABA′，∴∠CBC′=52°．故答案为：52．12.如图，ΔABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1，0），现将ΔABC绕A点逆时针旋转90°，再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是__________．【答案】【解析】ΔABC绕A点逆时针旋转90°后的图像如图：观察图象，可知对应的点坐标为（-2，3），∴（-2，3）再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是故答案是：．13.如图，在中，，，，将绕顶点，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点恰好为的中点，，则线段的长度为______．【答案】1.5cm【解析】∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，∴AB＝＝5cm，∴OD＝AB＝2.5cm，∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1＝OB＝4cm，∴B1D＝OB1-OD＝1.5cm．故答案为：1.5cm．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠CAB=30º，BC=4．将△ABC绕点C逆时针旋转α度（0<α180），得到△DEC，A，B的对应点分别为D，E．边DC，DE分别交直线AB于F，G，当△DFG是直角三角形时，则BD=__________．【答案】或【解析】解：根据题意得：CD=AC，∠CDE=∠A=30°，当∠DFG=90°时，如图：∵∠ACB=90º，∠CAB=30º，BC=4．∴，∴，∵，∴，∴；当∠DGF=90°时，如图：∵∠CDE=∠A=30°，∠DGB=90°，∴∠DFG=60°=∠ABC，∴点B与点F重合，∴；综上所述，BD的长为或．故答案为：或15.如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将绕点C顺时针旋转一定的角度后得到，使得点B对应点在x轴上，记为第一次旋转，再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在x轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为___________．【答案】【解析】过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC=5，BC=8,∴BD=CD=BC=4，∴，由题意，，，，，，,…，每3次是一个循环组，，∴在竖直方向的位置与的位置相同，纵坐标为3，∴第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为，∴第2023次旋转后钝角顶点坐标为．故答案为（12141，3）16.如图，在矩形ABCD中，，，点E是直线BC上的一个动点，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转得到线段DG，连接AG，则线段AG的最小值为_________．【答案】【解析】解：如图所示，将线段DC绕点D顺时针旋转得到线段，作直线交AD于K，过点A作于点H．（SAS）如图所示，当点E在直线BC上运动时，G在直线上运动，即点G的运动轨迹是直线．当点G运动到H时，AG最小，最小值即为AH的长度．，在中，，则线段AG的最小值为故答案为：三．解答题（共60分）17.（6分）如图，在中，AB＝BC，∠CBA＝60°，点E是BC上的一点，连接AE，将EA绕点E顺时针旋转90°得到ED，点D恰好在AC的延长线上，若CE＝2，求AC的长．【答案】【解析】解：如图，过点E作EN⊥AC于点N，∵AB＝BC，∠CBA＝60°，∴是等边三角形，∴∠BCA＝60°，∵EN⊥AC，∴∠ENC＝90°，，∵CE＝2，∴，，由题可知绕点E旋转90°得到ED，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点，，的坐标分别为，，．(1)先将沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移1个单位长度得到，画出，点坐标是______；(2)将，绕点逆时针旋转90°，得到，画出，点的坐标是______．(3)我们发现点，关于某点成中心对称，对称中心坐标是______．【答案】(1)见解析，；(2)见解析，；(3)【解析】(1)解：如图，即为所求，故答案为：(2)解：如图，即为所求，点坐标为故答案为：(3)解：∵，，∴，，∴对称中心坐标是，故答案为：．19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x与x轴的另一个交点为A，把该抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1绕着点O旋转180°，得到C2，C2与x轴交于另一点B．(1)求抛物线C2的顶点E的坐标；(2)将C2绕着点B旋转180°得到C3，连接C1与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为______．【答案】(1)(1，1)；(2)4【解析】(1)设抛物线y＝x2+2x的顶点为G，∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴G（﹣1，﹣1），∵将C1绕着点O旋转180°，得到C2，∴点G与点E关于原点O对称，∴E（1，1）；(2)设C3的最低点为F，令y＝0，则x2+2x＝0，解得：x＝0或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），由题意：点A与点B关于原点O对称，∴B（2，0），∵将C2绕着点B旋转180°得到C3，∴点E与点F关于原点O对称，∴F（3，﹣1），过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，如图，∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴GF∥HK，GH＝FK＝1，∵GH⊥OA，FK⊥BD，∴四边形GHKF为矩形．∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴HO＝1，OK＝3，∴HK＝OH+OK＝4，根据旋转不变性可得：S阴影部分＝S矩形GHKF，∴S阴影部分＝HK•HG＝4×1＝4，故答案为：4．20.（8分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析【解析】(1)延长FD到点G使DG=BE，连接AG．如图（1），在正方形ABCD中，AB=AD，在和中，≌(SAS)，，

在和中，≌，(2)理由如下：如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，，在和中，≌，，，在和中，≌，，21.（10分）如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得．(1)求证：；(2)连接，求证：；(3)若，，则______，四边形的面积＝______．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)；【解析】(1)证明：∵将绕点顺时针旋转得，∴，∵在中，，，∴，∴，∴．(2)证明：∵将绕点顺时针旋转得，∴，，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴．(3)解：如图，过点作于，∵将绕点顺时针旋转得，，，∴，由（1）得，，在中，，由（2）得，，∴，，∴，∵在中，，，；∴，∴，∴四边形的面积：．故答案为：；．22.（10分）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．【答案】(1)，；(2)成立，理由见解析；(3)【解析】(1)，，证明如下：在和中，，，，，，，，，，；(2)成立，理由如下：∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；(3)如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H，由旋转性质可得：，，∵，∴，∵，且，∴，

∴，∴，在中：，∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，∴是直角三角形，在中，．23.（10分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H．(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，