北师大版八年级数学下期末专题复习

北师大版八年级数学下期末专题复习八年级（下）期末复习资料一、三角形考点一、特殊三角形1、已知一等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为3，则此等腰三角形的周长是（）。A．9B．12C．15D．12或152.已知等腰三角形的底角为15°，腰上的高为16，则腰长为__________。3、已知等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角分别是________。4、已知等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，则底边长为__________。考点二、三角形的特殊线段一、垂直平分线1、如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长。2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，EF垂直平分AB，EF=2，求AB与BC的长。二、角平分线1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于E，DE⊥AB于D，BC=8，AC=6，AB=10，则△BDE的周长为_________。2、如右下图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，则AE+DE等于__________。3、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD，则证明AD平分∠BAC。考点三、三角形全等1、如下图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一点，AB=AD，则证明EB=ED。2、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，则证明AE=CD。拓展与提高1.如图24，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的ABC延长线于点M，若∠A=40°。（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）发现规律性并证明之；（4）若将（1）中的∠A改为钝角，是否需要修改规律性的认识？2.如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）证明猜想。1.题目：旋转等腰直角三角形的证明给定等腰直角三角形ABC和DEF，其中∠BAC=∠EDF=90°，且E为BC的中点。将DEF绕点E旋转，旋转过程中，DE与AB交于点P，EF与CA交于点Q。若AP=AQ且Q在AC上，证明△BPE≌△CQE。证明：由于△ABC和△DEF全等，所以AB=DE，AC=DF。又因为E为BC的中点，所以BE=EC，且∠BEC=∠DEF。因此，△BEC和△DEF全等，可得∠BCE=∠DFE。旋转DEF得到DEF'，使得EF'与CA重合，且F'在AC上。连接BF'和CF'，则BF'=CF'，且∠BF'C=∠BEC=∠DEF。因此，△BF'C和△DEF全等，可得BC=DF'。由于AP=AQ，且Q在AC上，所以AQ=QC=DF'/2。因此，△BCF'是等腰直角三角形，且BF'=BC=DF'。又因为BF'=CF'，所以△BFC'是等腰三角形。因此，∠F'BC=∠F'CB。由于∠BCE=∠F'CB，且∠BEC=∠F'BC，所以△BCE和△F'CB全等。因此，BE=CF'，且∠BCE=∠F'CB。因此，△BPE和△CQE全等，证毕。2.题目：点到原点的最大距离在平面直角坐标系中，给定直角三角形ABC，其中∠C=90°，AC=2，BC=1，且A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动。求点B到原点的最大距离。解法：设点B的坐标为(x,y)，则由勾股定理可得x²+y²=BC²=1。又因为A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，所以B在第一象限。因此，x>0，y>0。由于点B到原点的距离为√(x²+y²)，所以要求√(x²+y²)的最大值。由坐标系的对称性可知，当x=y时，点B到原点的距离最大。因此，只需求出x=y时的距离即可。由勾股定理可得2x²=BC²=1，因此x=√(1/2)。因此，当x=y=√(1/2)时，点B到原点的距离最大，为√2/2。3.题目：三角形中垂线的长度在△ABC中，AB=6，AC=8，且AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D。求△BCF的周长。解法：由勾股定理可得BC²=AC²-AB²=64-36=28。因此，BC=2√7。由于DE是AB的中垂线，所以DE=AB/2=3。又因为△ADE和△ABC相似，所以DE/AB=AD/AC，即AD=9/4。由于DF是△ADF的中垂线，所以DF=AF/2。由勾股定理可得AF²=AC²-AD²=64-81/16=223/16。因此，AF=√(223/16)。由勾股定理可得BF²=AB²-AF²=36-223/16=133/16。因此，BF=√(133/16)。因此，△BCF的周长为BC+BF+FC=2√7+√(133/16)+√(223/16)。1、关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x>b+2\\x<3b-2\end{cases}$有解，则直线$y=-x+b$不经过第二象限。改写：若不等式组$\begin{cases}x>b+2\\x<3b-2\end{cases}$有解，则直线$y=-x+b$不经过第二象限。2、已知不等式$3x-a\leqslant0$的整数解恰好为$1,2,3$，则$a$的取值范围是（）。改写：已知不等式$3x-a\leqslant0$的整数解为$1,2,3$，则$a$的取值范围是（）。3、如果关于$x$的方程$2|x-4|+(5x-y-m)=0$有一个解，则不等式$x-\frac{9}{3-x}>x-1$的解也是，求$m$的取值范围。改写：若方程$2|x-4|+(5x-y-m)=0$有一个解，则不等式$x-\frac{9}{3-x}>x-1$的解也是，求$m$的取值范围。4、若$y\geqslant\frac{1}{2}|x-4|+m$，求$m$的取值范围。改写：已知$y\geqslant\frac{1}{2}|x-4|+m$，求$m$的取值范围，使得$y\geqslant0$。5、若不等式组$\begin{cases}x+a\geqslant1\\2x-1\leqslanta\end{cases}$有解，则$a$的取值范围是。改写：若不等式组$\begin{cases}x+a\geqslant1\\2x-1\leqslanta\end{cases}$有解，则$a$的取值范围是。1、电器城进货方案为了改善经营，电器城决定经销B型号彩电，已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于10万元且不少于1万元的资金购进这两种彩电共20台，求有哪几种进货方案。电器城可以采用以下进货方案：1）进10台A型号彩电，进10台B型号彩电；2）进11台A型号彩电，进9台B型号彩电；3）进12台A型号彩电，进8台B型号彩电；4）进13台A型号彩电，进7台B型号彩电；5）进14台A型号彩电，进6台B型号彩电；6）进15台A型号彩电，进5台B型号彩电；7）进16台A型号彩电，进4台B型号彩电；8）进17台A型号彩电，进3台B型号彩电；9）进18台A型号彩电，进2台B型号彩电；10）进19台A型号彩电，进1台B型号彩电；11）进20台B型号彩电。2、电器城最大利润电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？电器城最大利润的进货方案是进14台A型号彩电，进6台B型号彩电，最大利润为24000元。3、电脑公司的数学题某电脑公司经销甲种型号电脑，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降低1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年售价8万元。（1）今年三月份甲种电脑每台售价为7000元。（2）电脑公司可以采用以下进货方案：进5台甲种电脑，进3台乙种电脑；进4台甲种电脑，进4台乙种电脑；进3台甲种电脑，进5台乙种电脑。（3）为了打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金200元，此时，a值应该是100元，进货方案为进5台甲种电脑，进3台乙种电脑，此方案对公司更有利。4、因式分解(1)多项式15mn+5mn-20mn的公因式是5mn。(2)(x-y)2-2(y-x)=0。(3)an-a3n+an+2=an(1-a2)+an+2。1.已知三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，且满足a²+b²+c²=ab+bc+ca，则该三角形的形状是（）。A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形。2.分解因式：（1）4(a²+1)²-4a(a²+1)+4a²(5)4a²-(a²+1)²（2)-xy³+(2-x)²-(4x-16)(x-1)²求证：当n为自然数时，(n+7)-(n-5)能被24整除。25.已知三角形ABC的三条边长为a，b，c，且满足(a+b+c)²=3(a²+b²+c²)。求证：该三角形是等边三角形。6.计算：1-1/(2√3)三、分组分解法。（一）分组后能直接提公因式1.分解因式：（1）a(m+n)+b(m+n)（2）2ax-10ay+5by-bx（3）a²-ab+ac-bc（4）xy-x-y+1（二）分组后能直接运用公式2.分解因式：（1）x²-y²+a(x+y)（2）a²-2ab+b²-c²（3）x²-x-9y²-3y（4）x²-y²-z²-2yz四、十字相乘法。（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。1.分解因式：（1）x²+5x+6（2）y²-2y-15（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax²+bx+c条件：（1）a=a₁a₂，c=c₁c₂；（2）b=a₁c₂+a₂c₁；分解结果：ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)2.分解因式：（1）3x²-11x+10（2）3x²-7x+2（3）10x²-17x+3（三）二次项系数为1的齐次多项式3.分解因式：（1）a²-8ab-128b²（2）m²-6mn+8n²（3）a²-ab-6b²（四）二次项系数不为1的齐次多项式一、多项式的基本概念多项式是由若干个单项式相加或相减而成的式子。例如，3x²+5x-2和4a³b²-2ab+7a-5b都是多项式。二、多项式的加减法多项式的加减法就是将同类项相加或相减。例如，将3x²+5x-2和2x²-3x+1相加，得到5x²+2x-1。将4a³b²-2ab+7a-5b和3a³b²+4ab-2a+6b相减，得到a³b²-6ab+9a-11b。三、多项式的乘法多项式的乘法就是将每一项相乘再相加。例如，将3x+2和4x-1相乘，得到12x²+5x-2。四、换元法换元法就是将多项式中的变量用另一个变量来代替，以便于分解因式。例如，将x²+x-6用x+2和x-3分解因式，可以先将x用y+1代替，得到y²+3y-4，然后再用(y+4)(y-1)代替，最终得到(x+2)(x-3)。五、添项、拆项、配方法添项、拆项、配方法是分解因式时常用的方法。例如，将x³-6x²+32分解因式，可以先拆项得到x³-2x²-4x²+8x+32，然后再用配方法得到(x-4)(x²-2x-8)，最终得到(x-4)(x+2)(x-4)。六、待定系数法待定系数法就是假设分解因式的形式，然后根据系数的条件来确定未知系数。例如，分解x²+xy-6y²+x+13y-6，假设分解因式为(x+ay+b)(x+cy+d)，然后根据同类项系数相等的条件，可以得到a+c=1，ac+b+d=1，ad+bc=13，bd=-6，从而求出a=2，b=-3，c=-1，d=3，最终得到分解因式为(x+2y-3)(x-y+3)。七、分式分式是由分子、分母和分数线组成的式子。例如，3/4、x/(x+1)和(a+b)/(a-b)都是分式。题型一、分式的意义及分式的值1、若分式(x-1)/[(x+3)(x-1)]有意义，则x应满足x≠-3。2、在y=x²-1中，若y的值是4，则x的值是±3。3、已知分式2x+x-2/(x+1)，当x=2时，分式的值是2。4、分式2x-3/(x+1)的整数值共有无穷多组。5、当x发生变化时，分式x²+2x-2/x+1的最小值是-1。题型二、解分式方程①$\frac{x^2}{x-2}-\frac{x}{x-1}=0$将两个分式通分，得到$\frac{x^3-2x^2-x^2+2x}{(x-2)(x-1)}=0$，化简后得到$\frac{x(x-2)}{x-1}=0$，解得$x=0$或$x=2$。③$\frac{x+2}{3}-\frac{1}{x(x-1)}=0$将两个分式通分，得到$\frac{x(x-1)(x+2)-3}{3x(x-1)}=0$，化简后得到$x(x-1)(x+2)-3=0$，解得$x=1$或$x=-3$。题型三、化简求值（1）$\frac{a-1+2x-6x+3x^2+6x+9}{2(a+1)}$将分子化简，得到$3x^2-4x+4$，代入$a=2-1=1$，得到$\frac{3x^2-4x+4}{4}$。（2）$\frac{3-x}{4-x}-\frac{4+x}{3+x}$将两个分式通分，得到$\frac{(3-x)(3+x)-(4+x)(4-x)}{(4-x)(3+x)}$，化简后得到$\frac{-2x-7}{x^2-x-12}$，代入$x=2$，得到$\frac{-11}{3}$。（3）$\frac{11y}{x-y}-\frac{2x}{x^2-2xy+y^2}$将两个分式通分，得到$\frac{11y(x^2-2xy+y^2)-2x(x-y)}{(x-y)(x^2-2xy+y^2)}$，化简后得到$\frac{11xy-9y^2}{x^3-3x^2y+3xy^2-y^3}$，代入$x=1+2y$和$y=1-0.5x$，得到$\frac{33}{32}$。（4）$\frac{3x^2-7x+2AB}{(x-1)(x+1)x}-\frac{2AB}{(x-2)(x+1)}$将两个分式通分，得到$\frac{3x^2-7x+2AB-2ABx(x-2)}{(x-1)(x+1)x(x-2)}$，化简后得到$\frac{3x^2-7x}{(x-1)(x+1)x(x-2)}$，代入$x=3$，得到$\frac{6}{11}$。（5）$\frac{2A+3B}{(x-1)(x+1)}=\frac{3}{x-1}-\frac{1}{x+1}$将分式右移，得到$\frac{2A+3B-3(x+1)+1(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0$，化简后得到$2A+3B-3x-2=0$，代入$x=2$，得到$A+B=3$。（6）$m^2-n^2=mn$将$m^2-n^2$因式分解，得到$(m-n)(m+n)=mn$，代入$m+n=4mn$，得到$n=\frac{1}{2}$，代入原式，得到$m=\frac{3}{2}$，所以$\frac{m}{n}=3$。（7）$\frac{2b-c-a}{2c-a-b}+\frac{a^2-ab-ac+bc}{b^2-ab-bc+ac}$将第一个分式的分子和分母同时乘以$-1$，得到$\frac{c+a-2b}{b+c-2a}$，将第二个分式的分子和分母同时乘以$(a-b+c)$，得到$\frac{(a-b+c)(a+c-b)}{(b-a+c)(b+c-a)}$，将两个分式相加，得到$\frac{(a-b+c)(a+c-b)+2(c+a-2b)(a-b+c)}{(b-a+c)(b+c-a)}$，化简后得到$-1$。题型四、关于增根、无解及解的正负1、$\frac{4}{3}$2、$-\frac{1}{2}$3、$-\frac{3}{2}$4、$a<0$题型五、应用题1、（1）设甲工程队单独完成需要$x$天，乙工程队单独完成需要$y$天，则$\frac{20}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=20$，$\frac{20}{y+30}+\frac{20-a}{\frac{20a}{20-a}}=20$，解得$x=50$，$y=80$。（2）$\frac{20a}{20-a}+20\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{80}\right)=1$，解得$a=\frac{125}{3}$，所以甲工程队至少要单独施工$\frac{125}{3}$天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元。2、（1）设第一次每支铅笔的进价为$x$元，则第二次每支铅笔的进价为$2x$元，设第一次购进了$n$支铅笔，则$nx=600$，$(n-30)2x=600$，解得$x=6$，所以第一次每支铅笔的进价是6元。（2）设每支铅笔的售价为$y$元，则第一次购进的铅笔总售价为$nx$元，第二次购进的铅笔总售价为$(n-30)2x$元，总售价为$nx+(n-30)2x$元，总成本为$1200$元，所以$nx+(n-30)2x-1200\geq420$，解得$y\geq7.5$，所以每支铅笔的售价至少是7.5元。3、某项工程接到甲、乙两个工程队的投标书，施工需付甲队万元，乙队l．1万元。工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成。问：甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？在不耽误工期的情况下，哪种施工方案最节省工程款？4、为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造。现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：（1）若剑江河首批需要清淤的淤泥面积大约为万平方米，平均厚度约为米。请说明哪个清淤公司进行清淤费用较省，并说明理由（体积可按面积×高进行计算）。（2）若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了3天，恰好完成全部清淤任务的一半；若甲公司先做2天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，则乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所用时间多1天，则甲、乙两公司单独完成清淤任务各需多少时间？1．（2014·浙江金华）在式子中，x可以取2和3的是（）A．11,,x2,x3B．x2x3C．11D．x3x2B．=a32、（2014?呼和浩特）下列运算正确的是（）A．?=﹣（﹣）=B．（+）2÷（﹣）=C．（﹣a）÷a3=（﹣a）6D．（﹣a）9÷a3=（﹣a）63、（2014?济宁）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是米．4、（2014?德州）分式方程﹣1=的解是（）A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．无解5、（2014?泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于（）6、（2014?广西贺州）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（＞），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞）的最小值是（）7、由于货源紧缺，小王和小李两个商贩分别以不同的价格在同一家公司购买了A型香米。他们的采购方式不同，小王每次购进c千克大米，小李每次购进d元的大米。两次购买的单价分别为a和b（其中a<b，单位为元/千克）。如果只考虑采购单价，哪个商贩更划算？选项：A.小王更划算B.小李更划算C.一样划算D.无法确定8、马小虎家距离学校1800米。有一天，他去上学时出发10分钟后，他的父亲发现他忘记带数学课本了，于是父亲带上课本去追他。在距离学校200米的地方，他们相遇了。已知父亲的速度是马小虎速度的2倍。求马小虎的速度。9、学校新到了一批理、化、生实验器材需要整理。如果实验管理员李老师一个人单独整理，需要40分钟完成。现在李老师和工人王师傅一起整理了20分钟后，李老师因事外出了。然后王师傅再单独整理了20分钟才完成任务。(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟。为了完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？五、图形的平移和旋转1.平移不改变图形的形状，只改变图形的位置。2.钟表的分针旋转一周需要60分钟，它的旋转中心是钟表的中心，经过20分钟，分针旋转了120度。3.在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB、DC分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为等腰三角形，若AD=2cm，BC=8cm，则FG=6cm。4.小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半。当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为60度。5.将△AOB绕点O逆时针旋转90度，得到△A'OB'。如果点A的坐标为(a,b)，则点A'的坐标为(-b,a)。三、解答题O1、如图所示：正方形ABCD中E为BC的中点，将面ABE旋转后得到△CBF。(1)指出旋转中心及旋转角度。旋转中心为点B，旋转角度为90度。(2)判断AE与CF的位置关系。AE和CF是重合的。(3)如果正方形的面积为18cm²，△BCF的面积为4cm²，问四边形AECD的面积是多少？四边形AECD的面积为14cm²。Bx2.如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF。连接AF、BE、CF，交于点O。证明：△OEF与△OAB全等。（2）三角板绕点P旋转时，线段PD和PE的长度相等。证明：如图②所示，连接PA、PB，由于PA=PB，所以∠PAB=∠PBA，又因为∠PAB+∠ABC=180°，所以∠PAB=∠ABC/2。同理可得∠PBA=∠ACB/2。由于三角板绕点P旋转时，∠ABC和∠ACB不变，所以∠PAB和∠PBA也不变，即∠PAB=∠PBA。又因为三角板绕点P旋转时，AD和BE的长度不变，所以PD和PE的长度相等。（3）当且仅当角BPE=60°时，△PBE为等腰三角形。证明：如图③所示，连接PE、PC，由于∠BPC=90°，所以∠BPE=∠CPD。又因为三角板绕点P旋转时，PD和PE的长度相等，所以△CPD≌△BPE，即∠BPE=∠CPD。所以∠BPE=∠CPD，又因为∠BPC=90°，所以∠BPC=2∠CPD。因此，∠BPE=∠CPD=∠BPC/2=30°。所以，当且仅当角BPE=60°时，△PBE为等腰三角形，此时CE=2。因为角BPE=60°时，角CPD也为60°，所以角DPE=60°，即△PDE为等边三角形，所以PD=PE=2。因此，当角BPE=60°时，AE=2+2=4=BE+FD，且角DAE=∠BPE/2=30°，所以AF平分∠DAE。当角BPE≠60°时，△PBE不是等腰三角形，所以无法使AF平分∠DAE。4、如图所示，连接PC、P'C，由于PAC和P'AB都是正三角形，所以∠APC=∠AP'C=60°，PC=P'C=10-6=4。又因为PA=6，PB=8，所以AB=2√13。由余弦定理，cos∠APB=(6²+8²-AB²)/(2×6×8)=31/48，所以∠APB≈54.6°。由正弦定理，PP'=(4/sin60°)×sin(60°-∠APB)≈2.309。所以点P与点P'之间的距离为2.309，∠APB≈54.6°。例1.能判别一个四边形是平行四边形的是（A）一组对边相等，另一组对边平行。变式：1、因为AD平行且等于CB，所以CD=AB，且∠A=∠B，所以ABCD是平行四边形，选项C错误。例2.如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”。（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形。（∨）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形。（∨）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形。（×）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形。（∨）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形。（∨）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形。（∨）例3、如图所示：四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC。试证明四边形BFDE是平行四边形。解：如图所示，连接AC，因为ABCD是平行四边形，所以∠ADC=∠ABC，∠AED=∠BFC，所以∠AED+∠EDF+∠BFC+∠FBE=360°。又因为∠AED=∠BFC，∠FBE=∠EDF，所以2∠AED+2∠EDF=360°，即∠AED+∠EDF=180°。所以∠BFC+∠FBE=180°，即BFDE是平行四边形。例4：已知：如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在AC上，且AE=CF。求证：四边形EGFH是平行四边形。解：如图所示，连接EG、EH、FH、FG，因为ABCD是平行四边形，所以AG=GC，BH=HD，又因为G、H分别是AB、CD的中点，所以AG=GB，DH=HC。因此，AG=GB=GC，DH=HD=HC，所以AE=CF。又因为AE=CF，所以△AEC≌△CFA，所以∠AEC=∠CFA，所以∠GEH=∠GFH，所以EGFH是平行四边形。如图，在菱形ABCD中，AE=3，BE=4，求菱形的周长。首先，我们可以利用菱形的性质，即对角线相等，来求出AC的长度。因为ABCD是菱形，所以AC=BD。又因为AC是菱形的一条对角线，所以AC垂直平分BD。因此，我们可以利用勾股定理求出AC的长度：AC²=AB²+BC²=3²+4²=25AC=5由于菱形的四条边长度相等，所以菱形的周长为4×AC=20。给定菱形ABCD，已知AE=3，BE=4，求菱形的周长。根据菱形的性质，对角线相等，可以得到AC=BD。因此，我们可以利用勾股定理求出AC的长度为5。由于菱形的四条边长度相等，所以菱形的周长为20。1、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AEBC于点E，求AE的长。根据菱形性质，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，因此可以得出AC和BD互相垂直。设AC的中点为O，则BO=OD=4cm，AO=OC=3cm。由勾股定理可得AE的长为√(AB²-EB²)=√(4²-3²)=√7cm。2、已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，求PM+PN的最小值。由菱形性质可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此可以得出AC和BD互相垂直。设AC的中点为O，则BO=OD=4，AO=OC=3。由勾股定理可得AB的长为√(4²+3²)=5，CD的长为√(8²-5²)=√39。因为M、N是BC、CD的中点，所以MN=1/2CD=1/2√39。设PM=x，则PN=8-x，根据勾股定理可得PN²+PM²=BD²=64，化简可得x²-8x+39=0。解得x=4-√7或x=4+√7，因此PM+PN的最小值为4-√7+4-√7=8-2√7。例1、在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF。求证：四边形BCFE是菱形。因为D、E是AB、AC的中点，所以DE平行于BC且DE=1/2BC。又因为BE=2DE，所以BE=BC/2。根据判定一可知，一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此可以得出BE=CF，EF=BC，BCFE是菱形。例2、在△ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF。求证：四边形AECF是菱形。因为AC和BD互相垂直，所以根据判定三可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。因此，只需要证明AECF是平