测量误差基本知识

测量误差基本知识第1页，课件共22页，创作于2023年2月7.1测量误差的来源及其分类

1.测量误差的来源

（1）使用的测量仪器构造不十分完善。

（2）观测者感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差。

（3）观测时所处的外界条件发生变化，例如，温度高低、湿度大小、风力强弱以及大气折光的影响等方面都会产生误差。

这三方面因素综合起来，称为观测条件。显然，观测条件的好坏与观测成果的质量密切相关。第2页，课件共22页，创作于2023年2月2.测量误差的分类2．1．1系统误差在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出一定的规律变化，这种误差称为系统误差。产生系统误差的原因很多，主要是由于使用的仪器不够完善及外界条件所引起的。具有累积性。消除系统误差的影响，可以采用改正的方法，2．1．2偶然误差在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即误差的大小不等，符号不同，这种误差称为偶然误差。偶然误差是由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件的影响等原因所造成。例如，水准测量估读毫米时，每次估读也不绝对相同，其影响可大可小，纯属偶然性，但在相同条件下重复观测某一量，出现的大量偶然误差却具有一定的规律性。第3页，课件共22页，创作于2023年2月7.2偶然误差的特性

在相同的观测条件下，独立地观测了217个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于它的真值１８０˚，由于观测值存在误差而往往不相等。三角形内角和的真误差应为：

∆i=(L1+L2+L3)i-180˚(i=1、２、……n)

出现在某区间内误差的个数称为频数，用Ｋ表示，频数除以误差的总个数n得Ｋ／n，称误差在该区间的频率。统计结果列于表7－１，此表称为频率分布表。第4页，课件共22页，创作于2023年2月误差区间d⊿（3″）+⊿-⊿

K

K/n

K

K/n0～33～66～99～1212～1515～1818～2121～2424～2727以上3021151412852100.1380.

0970.

0690.

0650.

0550.

0370.

0230.

0090.

00502920181610862000.

1340.

0920.

0830.

0730.

0460.

0370.

0280.

00900

1080.4981090.502表7-1第5页，课件共22页，创作于2023年2月从表7—1中可以看出：小误差出现的百分比较大误差出现的百分比为大；绝对值相等的正负误差出现的百分比相仿；绝对值最大的误差不超过某一个定值在其它测量结果中也显示出上述同样的规律。可以总结出偶然误差具有如下的规律性：（1）在一定条件下的有限观测值中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的可能性大。（3）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等，或者说，它们出现的概率相等。（4）当

观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即式中为误差总和的符号，换言之，偶然误差的理论平均值为零。

特性一说明误差出现的范围，即误差的有限性；特性二说明误差呈单峰性，或称小误差的密集性；特性三说明误差方向的规律，称为对称性；特性四是由特性三导出的，它说明该列误差的抵偿性。第6页，课件共22页，创作于2023年2月

为了充分反映误差分布的情况，除去上述用表格的形式(称误差分布表)，还可以用直观的图形来表示。在图7—1中以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间误差出现的相对个数除以区间的间隔值(本例是3″)。这样，每一误差区间上方的长方形面积，就代表误差出现在该区间的相对个数。

图7—1第7页，课件共22页，创作于2023年2月

如果继续观测更多的三角形，即增加误差的个数，当时，各误差出现的频率也就趋近于一个完全确定的值，这个数值就误差出现在各区间的概率。如图7—2所示图7-1中各长方条顶边所形成的折线将成为一条光滑的连续曲线，如图7-2所示。这条曲线称为误差分布曲线，也称正态分布曲线。曲线上任一点的纵坐标y均为横坐标∆的函数，其函数形式为：式中e为自然对数的底（e＝２．７１８３）；为观测值的标准差（将在下节讨论），其平方称为方差．图7—2第8页，课件共22页，创作于2023年2月

7.3衡量精度的标准1．中误差中误差即为观测误差的标准差上式求值要求观测数n趋近无穷大，实际上是很难办到的。在实际测量工作中，观测数总是有限的，一般采用下述公式：式是m——中误差；——一组同精度观测误差自乘的总和；N——观测数

比较式（7-4）与（7-5）可以看出，标准差与中误差m的不同在于观测个数的区别，标准差为理论上的观测精度指标，而中误差则是观测数n为有限时的观测精度指标。所以，中误差实际上是标准差的近似值，统计学上称为估值，随着n的增加，m将趋近。

（7-4）（7-5）第9页，课件共22页，创作于2023年2月例7－１设有甲，乙两组观测值，其真误差分别为：甲组：

乙组：则两组观测值的中误差分别为：

由此可以看出甲组观测值比乙组观测值的精度高，因为乙组观测值中有较大的误差，用平方能反映较大的影响，因此，测量工作中采用中误差作为衡量精度的标准。第10页，课件共22页，创作于2023年2月2．相对误差测量工作中，有时以中误差还不能完全表达观测结果的精度。例如，分别丈量了1000m及50m两段距离，其中误差均为，并不能说明丈量距离的精度，因为量距时其中误差或相对误差，它是中误差的绝对值与观测值的比值，通常用分子为１的分数形式表示。例如上例中前者的相对误差为，后者则为前者分母大比值小，丈量精度高。第11页，课件共22页，创作于2023年2月3．极限误差中误差是反映误差分布的密集或离散程度的，不是代表个别误差的大小，因此，要衡量某一观测值的质量，决定其取舍，还要引入极限误差的概念，极限误差又称为允许误差，简称限差。偶然误差的第一特性说明，在一定条件下，误差的绝对值有一定的限值。根据误差理论可知，在等精度观测的一组误差中，误差落在区间的概率分别为：

(7-6)

式(7-6)说明，绝对值大于两倍中误差的误差，在测量规范中，为确保观测成果的质量，通常规定以三倍或两倍中误差为偶然误差的允许误差或限值，即

超过上述限差的观测值应舍去不用，或返工重测。第12页，课件共22页，创作于2023年2月7.4观测值函数的中误差——误差传播定律

1．线性函数线性函数的一般形式为为独立观测值，其中误差分别为m1、m2……mn,k1、k2……kn为常数．设函数Ｚ的中误差为mz，下面来推导两者中误差的关系．

中误差的定义，得中误差的关系式：

推广之，可得线性函数中误差的关系式为第13页，课件共22页，创作于2023年2月2．非线性函数非线性函数即一般函数，其形式为函数Ｚ的中误差为

第14页，课件共22页，创作于2023年2月3．误差传播律的应用

1)按问题的要求写出函数式

z=f(x1,x2,…xn)2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式

3)写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：

上式写出的规律是：将偏导数值平方，把真误差换成中误差平方。在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值，它们的真误差之间须满足：

第15页，课件共22页，创作于2023年2月例7-2在1:1000比例尺地形图上，量得某坝的坝轴线长为234.5mm，其中误差m为。求坝线的实际长度及其中误差mD。解：坝轴线的实际长度与图上量得长度之间是倍数函数关系，即

最后结果写为Ｄ＝234.5第16页，课件共22页，创作于2023年2月例7-3自水准点ＢＭ１向水准点ＢＭ２进行水准测量(图7-3)，设各段所测高差分别为求ＢＭ１、ＢＭ２两点间的高差及其中误差。

解：ＢＭ１、ＢＭ２之间的高差h=h1+h2+h3=7.811m;高差中误差图7-3第17页，课件共22页，创作于2023年2月例7--4△x=Dcosα，测得D=63.21±0.04m,α=20°30′00″±12″,试求的中误差。解：△x=Dcosα在计算中，ρ"=206265"。第18页，课件共22页，创作于2023年2月7.5误差传播律在测量中的应用举例

1．算术平均值的中误差设对某量在相同条件下观测了n次，观测值分别为l1，l2，…ln，其中误差m1=m2=…mn=m现在来推求算术平均值的中误差M。

x=根据线性函数的中误差式(7-10)，则x的中误差为

或表明：算术平均值的中误差mx比观测值的中误差小倍。因此，增加观测次数可以提高算术平均值的精度。

第19页，课件共22页，创作于2023年2月2.观测值的中误差在中误差的定义式(7-5)中，△是观测值的真误差。但在一般情况下，真值X是不知道的，故△也不知道。因此，实际上不能用真误差△来计算中误差。

然而算术平均值是知道的，它又最接近真值，于是选用观测值l，与算术平均值x之差v(称为最或然误差，)来计算观测值的中误差。用改正数v计算观测值中误差的公式为：第20页，课件共22页，创作于2023年2月3．2加权平均值及中误差3.2.1加权平均值

不等精度观测时，考虑各观测值的可靠程度，采用加权平均的办法计算观测的最或是值。设对某量进行n次不等精度观测，观测值、中误差及权各为：观测值l1,l2,……ln

中误差m1,m2,……mn

权P1,P2……Pn其加权平均值为

L=3.2.2加权平均值的中误差