测量教案章测量误差

测量教案章测量误差第1页，课件共38页，创作于2023年2月(1)偶然误差——符号与大小呈偶然性单个偶然误差无规律，大量偶然误差有统计规律偶然误差——真误差案例1——三等、四等水准测量在cm分划水准标尺上估读mm位估读的数有时过大，有时偏小案例2——经纬仪测量水平角大气折光使望远镜中目标的成像不稳定引起瞄准目标有时偏左、有时偏右多次观测取平均值可以削弱偶然误差的影响不能完全消除偶然误差的影响第2页，课件共38页，创作于2023年2月(2)系统误差——符号与大小保持不变，或按一定规律变化案例——钢尺量距用没有鉴定、名义长为30m、实际长为30.005m的钢尺量距每丈量一整尺段距离就量短了0.005m产生-0.005m的量距误差各整尺段的量距误差大小都是-0.005m符号都是负，不能抵消，具有累积性系统误差对观测值的影响具有一定的规律性找到规律就可对观测值施加改正以消除或削弱系统误差的影响第3页，课件共38页，创作于2023年2月误差定义——规范规定——测量仪器使用前应检验和校正按规范要求操作布设平面与高程控制网测量控制点三维坐标时应有一定量的多余观测严格按规范要求进行测量时系统误差与粗差是可被消除或削弱到很小只讨论误差有偶然误差(真误差)的情形——第4页，课件共38页，创作于2023年2月§6.2偶然误差的特性定义——大部分情况下，真值未知，求不出Δ某些情形中，观测量函数的真值已知案例——三角形内角和闭合差ω定义为ωi=(β1+β2+β3)i－180°真值，ω的真误差——结论：三角形闭合差的真误差等于闭合差本身第5页，课件共38页，创作于2023年2月358个三角形闭合差真误差统计分析案例第6页，课件共38页，创作于2023年2月Δ——横坐标，——纵坐标长条矩形面积——，等于频率第7页，课件共38页，创作于2023年2月①偶然误差有界——一定观测条件、有限次观测偶然误差绝对值不超过一定限值②小误差出现频率大，大误差出现频率小③绝对值相等的正、负误差出现频率大致相等④观测次数n→∞，偶然误差平均值→0偶然误差的特性第8页，课件共38页，创作于2023年2月误差数n→∞，误差区间dΔ→0小长条矩形顶折线→光滑曲线——正态分布密度曲线正态分布概率密度函数——德国科学家高斯(Gauss)1794年研究误差规律时发现①Δ→∞，f(Δ)→0②|Δ1|>|Δ2|，f(Δ1)<f(Δ2)③f(－Δ)=f(Δ)，f(Δ)关于y轴对称④E(Δ)=0第9页，课件共38页，创作于2023年2月概率论称Δ——随机变量Δ为连续型随机变量时，可以证明E(Δ)——随机变量Δ的数学期望Var(Δ)——方差，σ——标准差Δ为离散型随机变量时，上述两式变成第10页，课件共38页，创作于2023年2月§6.3评定真误差精度的指标(1)标准差与中误差对真值进行了n次等精度独立观测观测值——l1，l2

，…，ln

真误差——Δ1，Δ2

，…，Δn

观测值标准差——n有限时标准差——中误差(meansquareerror)——m表示第11页，课件共38页，创作于2023年2月[例6-1]

已知某段距离真值——49.984m用50m钢尺丈量6次，求一次丈量50m的中误差第12页，课件共38页，创作于2023年2月2.相对误差专为距离测量定义的精度指标单纯用距离丈量中误差不能反映距离精度情况丈量50m距离，测量中误差——±5mm丈量100m距离，测量中误差——±5mm不能认为这两段不同长度的距离丈量精度相等引入相对误差——第13页，课件共38页，创作于2023年2月相对误差无单位，分子、分母长度单位应统一习惯将相对误差分子化为1，分母为一个较大数分母越大——相对误差越小，距离测量精度越高后者精度>前者第14页，课件共38页，创作于2023年2月(3)误差容许值设ξ为任一正实数，事件A=(|Δ|＜ξσ)的概率为:-ξσξσ第15页，课件共38页，创作于2023年2月结论真误差绝对值＞σ的占31.73%真误差绝对值＞2σ的占4.55%真误差绝对值＞3σ的占0.27%后两者属于小概率事件，小样本中不会发生观测次数有限时绝对值＞2σ或＞3σ的真误差不可能出现测量规范常以2σ或3σ作为真误差的允许值限差——|Δ限|=2σ=2m或|Δ限|=3σ=3m观测值误差大于上述限差时认为它含有系统误差，应剔除第16页，课件共38页，创作于2023年2月§6.4误差传播定律及其应用测量中，有些未知量不能直接观测测定需由直接观测量计算求出水准仪一站观测的高差——h=a-b三角高程测量初算高差——h’=Ssinα直接观测量的误差导致它们的函数也存在误差函数的误差由直接观测量的误差传播过来第17页，课件共38页，创作于2023年2月(1)线性函数的误差传播定律及其应用函数——Z=f1X1+f2X2+……+fnXn系数——f1，f2，……，fn误差独立观测量——X1，X2，……，Xn观测量中误差——m1，m2，……，mn函数中误差——第18页，课件共38页，创作于2023年2月1)等精度独立观测量算术平均值的中误差等精度独立观测值——l1，l2，…，ln算术平均值——每个观测量的中误差——m结论算术平均值的中误差=为一次观测中误差的N→∞时，第19页，课件共38页，创作于2023年2月[例6-1]每次距离丈量中误差——m=±5.02mm6次丈量距离平均值的中误差——第20页，课件共38页，创作于2023年2月2)等精度独立观测量和的中误差独立观测n站高差——h1，h2，…hn路线高差之和——h=h1+h2+…+hn每站高差观测中误差——m站第21页，课件共38页，创作于2023年2月(2)非线性函数的误差传播定律及其应用非线性函数——Z=F(X1，X2，…，Xn)X1，X2，…，Xn——误差独立观测量中误差——m1，m2，…，mn第22页，课件共38页，创作于2023年2月[例6-2]测量斜边S=163.563m，中误差mS=±0.006m测量角度α=32°15′26″，中误差mα=±6″边长与角度观测误差独立,求初算高差h’的中误差mh’[解]h’=Ssinα，取全微分得第23页，课件共38页，创作于2023年2月角度的微分量dα”除以ρ”是为了将dα”的单位由秒→弧度H=Ssinα=163.563×sin32°15′26″=87.297mf1=h/S=87.297÷163.563=0.533721f2=hcotα/ρ”=87.297×cot32°15′26″÷206265=0.000671第24页，课件共38页，创作于2023年2月§6.5等精度独立观测量的最可靠值等精度独立观测值——l1，l2，…，ln算术平均值——真误差——Δ1，Δ2，…，Δn其中取极限结论——观测次数n→∞时，算术平均值→真值n有限时，取算术平均值为未知量的最可靠值第25页，课件共38页，创作于2023年2月1）真值已知——2）真值未知——用代替计算m定义观测量改正数——有真误差——则δ——常数，Δi=δ-Vi取平方——Δi2=δ2-2δVi+Vi2[ΔΔ]=nδ2+2δ[V]+[VV]=nδ2+[VV]§6.6等精度独立观测时的精度评定方法第26页，课件共38页，创作于2023年2月第27页，课件共38页，创作于2023年2月取极限l1，l2，…，ln误差独立，其两两协方差=0第28页，课件共38页，创作于2023年2月观测次数n有限时等精度独立观测时观测值改正数Vi计算一次观测中误差的公式——白塞尔公式(Besselformula)第29页，课件共38页，创作于2023年2月[例6-3]

在[例6-1]中，假设距离真值未知用白塞尔公式计算钢尺每次丈量50m的中误差？算出六次丈量距离的平均值——49.9822m第30页，课件共38页，创作于2023年2月§6.6不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定(1)权的定义观测量li的中误差——mi，权m02——任意正实数li的方差mi2越大，权就越小，精度越低li的方差mi2越小，权就越大，精度越高令Wi=1，则有m02=mi2m02——权等于1的观测量方差，单位权方差m0——单位权中误差第31页，课件共38页，创作于2023年2月(2)加权平均值及其中误差对某量进行不等精度独立观测得观测值——l1，l2，…，ln中误差——m1，m2，…，mn权——W1，W2，…，Wn观测值的加权平均值为应用误差传播定律第32页，课件共38页，创作于2023年2月第33页，课件共38页，创作于2023年2月[例6-4]1，2，3点——已知高等级水准点其高程误差很小，可以忽略不计为求P点高程，用DS3水准仪独立观测了三段水准路线的高差，每段高差的观测值及其测站数标于图中，求P点高程的最可靠值与中误差。第34页，课件共38页，创作于2023年2月[解]都是用DS3水准仪观测可认为每站高差观测中误差相等高差观测值h1，h2，h3的中误差——取h1，h2，h3的权——W1=1/n1，W2=1/n2，W3=1/n3计算出P点的高程值为HP1=H1+h1=21.718+5.368=27.086mHP2=H2+h2=18.653+8.422=27.075mHP3=H3+h3=14.165+12.914=27.079m第35页，课件共38页，创作于2023年2月因为三个已知水准点高程的误差很小，可忽略不计所以求出的三个高差观测值的中误差m1，