《概率论》数学2章课后习题详解

概率论第4章习题参考解答1.若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,命中3炮的概率,至少命中3炮的概率,最可能命中几炮.解：设E为射击10炮命中的炮数，则&B(10,0.7),命中3炮的概率为P{g二3}二C3x0.73x0.37二10至少命中3炮的概率,为1减去命中不到3炮的概率,为P{gn3}=1-P{g<3}=1-IlCix0.7ix0.310-i=10i=0因np+p不是整数，因此最可能命中[7.7]=7炮.在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.解:设E为10件产品中的废品数，则E〜B(),则废品数不超过2个的概率为P{g<2}=LCix0.01ix0.9910-i=10i=0某车间有20部同型号机床,每部机床开动的概率为0.8,若假定各机床是否开动彼此独立,每部机床开动时所消耗的电能为15个单位,求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率.解:设每时刻机床开动的数目为J则E〜B(20,0.8),假设这个车间消耗的电能为n个单位，则n=15J因此270P{n>270}=P{15g>270}=P{g>百}=P{g>18}==lCix0.8ix0.220-i=0.206120i=18从一批废品率为0.1的产品中,重复抽取20个进行检查,求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.解：设这20个产品中的废品数为J则E〜B(20,0.1),假设这20个产品中的废品率为n,则n=E/20.因此P{n<0.15}=P{—<0.15}=P{^<3}=LCix0.1ix0.920-i=2020i=05.生产某种产品的废品率为0.1,抽取20件产品,初步检查已发现有2件废品,问这20件中,废品不少于3件的概率.解:设E为这20件产品中的废品数，则E〜B(20,0.1),又通过检查已经知道E定不少于2件的条件,则要求的是条件概率P{P{—>3|—>2}=P{—>3n—>2}P{—>2}因事件{—>2}二{—>3},因此{—>3n—>2}=—>2因此

P険31暑2}=学/EP{g>2}艺P{g艺P{g=i}-P{g=2}=1-艺P{g=i}4=2P{g=2}艺P{g=i}i=2=i=2=1-P{g=2}1-工P{g=i}vC2X0.12X0.918=1—20—1-0.920-20X0.1X0.919i=0=1-02852=0.53120.60836.抛掷4颗骰子，E为出现1点的骰子数目，求E的概率分布，分布函数，以及出现1点的骰子数目的最可能值.解：因掷一次骰子出现一点的概率为1/6,则E〜B(4,1/6),因此有(5(5)4-kX——X—6k(6丿(k=0，1，2，3，4)，(1)k"5、<6<6x<0x<00<x<4x>4F(x)=耗Ck41<x或者算出具体的值如下所示:「0x<00.48230<x<10.86811<x<2F(x)=<0.98382<x<30.99923<x<4、1x>4从分布表可以看出最可能值为0,或者np+p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数，因此最可能值为[5/6]=0.7.事件A在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验，求(1)出现次数的平均值和标准差;(2)最可能出现的次数.解:设19次试验中事件A出现次数为J贝yg〜B(19,0.3),因此(1)g的数学期望为Eg=np方差为De=np(1-p)=19x0.3x0.7=3.99标准差为Qg=、；Dg=\；399=1.997

⑵因np+p=5.7+0.3=6为整数，因此最可能值为5和6.已知随机变量E服从二项分布,Eg=12,Dg=8,求p和n.解：由Eg=np=12(1)和DE=np(1-p)=8(2)由(1)得n=12/p,代入到(2)得12(1-p)=8,解出p代回到(1)式得n=12/p=12x3=36某柜台上有4个售货员,并预备了两个台秤,若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤,求一天10小时内,平均有多少时间台秤不够用.解:每个时刻构成一n=4的贝努里试验，且p=15/60=0.25,因此，设E为每个时刻要用秤的售货员数，则E~B(4,0.25),当E>2时，台秤不够用.因此每时刻台秤不够用的概率为P(g>2)二C3x0.253x0.75+0.254二4X10=0.508个小时台秤不够用.已知试验的成功率为p,进行4重贝努里试验，计算在没有全部失败的情况下，试验成功不止一次的概率.解：设E为4次试验中的成功数，则E~B(4,p),事件"没有全部失败”即事件{E>0},而事件"试验成功不止一次"即事件{E>1},因此要求的是条件概率P{E>1|E>0},又因事件{E>1}被事件{E>0}包含，因此这两个事件的交仍然是{E>1},因此P{g>P{g>11g>0}=P{g>1}P{g>0}1-P{g=0}-P{g=1}1-P{g=0}1-q4-4pq3其中q=1-p11.fl服从参数为2,p的二项分布，已知P(E》)=5/9,那么成功率为p的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解：因E~B(2,p),则必有P(g>1)=1-P(g=0)=1-(1—p)2=5/9,解得(1-p)2二1-5/9二4/91-p二2/3p二1-2/3二1/3则假设n为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数，n~B(4,1/3),则(2、416P(n>1)二1-Pg二0)二1-(1-p)4二1—-二1—一二0.80213丿81一批产品20个中有5个废品,任意抽取4个,求废品数不多于2个的概率解：设E为抽取4个中的废品数，则E服从超几何分布，且有CiC4-iP{g<2}二为5―15二C4i=020如果产品是大批的,从中抽取的数目不大时,则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算.试将下例用两个公式计算,并比较其结果.产品的废品率为0.1,从1000个产品ii=0中任意抽取3个,求废品数为1的概率.解：设任抽3个中的废品数为J则E服从超几何分布，废品数为0.1x1000=100C1C2P{g二1}二—100_900二C31000而如果用二项分布近似计算,n=3,p=0.1,d〜B(3,0.1)P{g二1}uC1x0.1x0.92二3近似误差为0.0005,是非常准确的.14.从一副朴克牌(52张)中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布.解：设E为发出的5张中黑桃的张数，则E服从超几何分布，则・CiC5—iP{g=i}=—135213(i=0,1,2,3,4,5)C552则按上式计算出概率分布如下表所示：E012345P15.从大批发芽率为0.8的种子中,任取10粒,求发芽粒数不小于8粒的概率.解：设E为10粒种子中发芽的粒数，则E服从超几何分布，但可以用二项分布近似，其中p=0.8,n=10,则P{g>8}=兰Cix0.8ix0.210-i10i=8一批产品的废品率为0.001，用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率，以及不超过2件的概率.解：设E为800件产品中的废品数，则E服从超几何分布，可以用二项分布近似，则E~B(800,0.001),而因为试验次数很大废品率则很小，可以用普阿松分布近似，参数为A=np0.82P{g—2}ue-0.8=0.1438220.8iP{^<2}仝.e-0.8=0.9526i!i=0某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布，平均一件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元，4个以上为废品，求产品为废品的概率以及产品的平均价值.解：设E为产品表面上的疵点数，则E服从普哇松分布,久=0.8,设n为产品的价值，是E的函数.则产品为废品的概率为40.8iP{g>4}—1—P{g<4}—1—丘=0.0014i!p{n=io}=P{g<1}=e-0.8=i!i=0P{n=8}=P{1<g<4}=工竺e-0.8=i!i=2则产品的平均价值为En=10xP{n=10}+8xP{n=8}=10x0.8088+8x0.1898=(元)一个合订本共100页,平均每页上有两个印刷错误,假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布,计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率.解：设E为每页上的印刷错误数目，则E服从普哇松分布，久=2,则1页印刷错误都不超过4个的概率为P{g<4}=]E—e-2=i!i=0而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为血<4}1oo=某型号电子管的“寿命”E服从指数分布，如果它的平均寿命EE=1000小时，写出E的概率密度，并计算P(1000vd<1200).解：因E$1000=1久其概率密度为x>x>0x<0e10001000010001200P(1000<g<1200)=e-1000—e-1000=e-1—e-12=0.066720.d〜N(0,1),00(x)是它的分布函数，y0(x)是它的概率密度，％(0)，%(0)，P($0)各是什么值?解：因有1-x2x1-12P0(x)=〒炭e2，①0(x)=J「2=e「2dt，因此00(x)为偶函数，由对称性可知-g%(0)=0.5,并有P0(0)=因E为连续型随机变量，取任何值的概率都为0,即P(E=0)=0.求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下，还可以继续使用100小时而不坏的概率?解：要求的概率为PO600I4500),因此

P{g>6001g>500}=P{P{g>6001g>500}=P{g>600}P{g>500}600e~1000__500e_1000=e-0-1=0-905若2服从具有n个自由度的％2-分布，证明占的概率密度为xn-1e申(x)=<2；-1rf-12丿0x22称此分为为具有n个自由度的％-分布证：设H=运，则因2的概率密度函数为x2-1ex>022rn的分布函数为F(x)=P(n<x)=P(迄<x)=P(g<x2)=F(x2)(x>0)q'gfn1/1fn122-1r辽丿<2丿(x>0)(x>0)xn-2_迄e2xn-1_迄e2p(x)=2xp(x2)=2x22rd〜N(0,l),求P{2>0},P{IJ<3},P{0<2<5},P忆>3},P{-1<^<3}解：根据2的对称性质及查表得：P{2>0}=1-%(P{IJv3}=200(3)-1=2x0.99865-1=P{0v2<5}=%(P{d>3}=190(3)=1-0.99865=P{-1vdv3}=00(3)-00(-1)=00(3)+00(1)-1=0.99865+0.8413-1=d〜N«,o2),为什么说事件"I2-〃Iv2o"在一次试验中几乎必然出现？g-U解：因为〜N(0,1)P{|g-卩|<2c}=P{<2}=2①(2)—1=2x0.97725—1=0.9545沁1c0因此在一次试验中几乎必然出现.d〜N(10,22),求P(10vd<13),P(d>13),P(l&10lv2).解：因为耳0〜N(0,1)E-10P{10<g<13}=P{0<-<1.5}=O(1.5)—①(0)=0.93319-0.5=0.43319200E-10P{g>13}=P^->1.5}=1—①(1.5)=1-0.93319=0.0668120P{lg-101<2}=P{^^<1}=2①o(1)—1=2x0.8413—1=0.6826若上题中已知P{l&10lvc}=0.95,P{{vd}=0.0668,分别求c和d.g-10解:因为〜N(0,1),则有P{lg-101<c}=P{|g^21^|<2}=2%(2)—1=0.95c1+0.95c解得①0(2)——2——0.975,查表得=1.96,得c再由g-10d-10d-10P{g<d}二P{<}二①()二0.0668<0.5202d-10d-1010-d知<0,因此①()二1—①()二0.066820202即①5)二1-0.0668二0.933202，10-d查表得一2—二L5,解得d二10一3=7若d〜N«e),对于P{〃-kovdv〃+ko}=0.90,或0.95,或0.99,分别查表找出相应的k值.解：先求P{y-ko<E<y+ko对应的k值.g-U因〜N(0,1),因此<k}=2%(k)-1=0.900P{卩-kc<<k}=2%(k)-1=0.900即①0(k)=土罟=0.95,查表得k同理，由①0(k)=1+2.95=0.975,查表得k1+0.99由①0(k)=—=0.995,查表得k28.某批产品长度按N2）分布，求产品长度在cm和cm之间的概率，长度小于cm的概率.

&-50g-500.25解：设E为产品长度，则&N2),且有令药~Ng-500.25<2}g-50P{49.5<g<50.5}=P{-2<<2}=P<2}0.25=2①(2)-1=2x0.97725-1=0.95450g-5049.2-50P{g<49.2}二PP---<}二①(-3.2)二1-①(3.2)0.250.2500二1-0.9993129二0.000687129.©〜N(0,1)(i=1,2,3),并且£,©，刍相互独立，g=3工g，耳=工(g-g)2,求i=1i=1cov(g,g1),En,cov(g,n)解：此题要用到,两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布.因此,因为Eg=0,Dg=D(1工g]=；,则g~N(0,1)13i=1'丿33C0V(gg1)=E(gg1)=E]3g1Sgj=3Eg12i=1一2cov(gg)+Eg2iE(g-g)2=E(g2-2gg+一2cov(gg)+Eg2iiiii因此Eq=EQ(g.-g)2|=工E(因此Eq=Eiig-g也服从正态分布，且有i11cov(g-g,g)=E[g(g-g)]=Egg一Eg2=-^=0iii33即g与g-g不相关，而因为它们服从正态分布，因此也就是g与g-g相互独立,ii则g与(g-g)2也相互独立，则g与n中的加和中的每一项相互独立，当然也与n相互独i立，因此有cov(g,q)=0,因为相互独立的随机变量一定不相关.30.(初)有联合概率密度丄e-1(x2+沪),匚=g2+q2,求Z的概率密度.ii=1—g—g解：由联合概率密度看出，E与n相互独立服从标准正态分布，则有◎与n也相互独立且服从自由度为1的好分布，即孕〜%2(1),%〜x2(i),因此Z4n2〜X2⑵,即它的概率密度为即Z服从启1/2的指数分布.概率论第三章习题参考解答如果E服从0-1分布，又知E取1的概率为它取0的概率的两倍，求E的期望值解：由习题二第2题算出E的分布率为E01P1/32/3因此有EE=0XP(d=0)+1xP(d=1)=2/3矩形土地的长与宽为随机变量E和n，周长z=2E+2n，E与n的分布律如下表所示:长度E293031P宽度np192021而求出的周长z的分布律如下表所示:周长zp9698100102104求周长的期望值，用两种方法计算，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长的分布计算.解:由长和宽的分布率可以算得EE=29XP(E=29)+30XP(E=30)+31XP(g=31)=29X0.3+30X0.5+31Xen=19xp(n=19)+20xp(n=20)+21XP(n=21)=19X0.3+20X0.4+21X0.3=20由期望的性质可得EZ=2(EE+En)=2X而如果按z的分布律计算它的期望值，也可以得EZ=96X0.09+98X0.27+100X0.35+102X0.23+104X验证了期望的性质.4.连续型随机变量E的概率密度为0<x<1(k，a>0)其它又知E{=0.75,求k和a的值。+8解:由性质m(x)dx=1

得『申(x)dx二Jkxa得『申(x)dx二Jkxadx二-g0kXa+1a+1即k=a+1又知(1)Eg=-g=Jkxa+1dX二丄Xa+211a+20a+2二0.75(2)得ka+1.5由(1)与(2)解得a=0.5,即a=2,k=36.下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表.从188辆汽车中,任意抽选15辆,得出下列数字:90,50,150,110,90,90,110,90,50,110,90,70,50,70,150.(1)求这15个数字的平均数;(2)计算表3-9中的期望并与(1)相比较.(2)第一次发生引擎故障里数车辆数第一次发生引擎故障里数车辆数0~205100~1204620~4011120~1403340~6016140~1601660~8025160~180280~10034解:(1)15个数的平均数为(2)按上表计算期望值为(10X5+30X11+50X16+70X25+90X34+110X46+130X33+150X16+170X2)/1887.两种种子各播种300公顷地,调查其收获量,如下表所示,分别求出它们产量的平均值(计算时以组中值为代表).公顷产量(kg)4350〜46504650~49504950~52505250~5550总计种子甲公顷数12384010100种子乙公顷数23243023100解：假设种子甲的每公顷产量数为J种子乙的每公顷产量数为n,则EE=(4500X12+4800X38+5100X40+5400X10)/100=4944En=(4500X23+4800X24+5100X30+5400X23)/100=4959一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值为10g,标准差为1g.100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立)解：假设这100个螺丝钉的重量分别为訂，*，•••，E100，因此有EE.=10,D©=102=12=1，(i=l,2,・・・，100)设E为这100个螺丝钉的总重量，因此100g=g，则E的数学期望和标准差为.Eg=Ef100叮=艺Eg=100x10=1000(g)=1kg◎==jDg=；D艺g=0Dg=J100x1=10gg\IJ丿Ji已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.解：假设E为取出5个产品中的次品数，又假设J为第i次取出的次品数，即，如果第i次取到的是次品，则E尸1否则E尸0,i=1,2,3,4,5,E°服从0-1分布,而且有P{Ei=0}=90/100，P{Ei=1}=10/100，i=1，2，3，4，5因此,EE=10/100=1/10,i因为g=fgii=1因此有Eg=E0g=0Eg=5x—=0.5(i)i10i=1i=1一批零件中有9个合格品和3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取一个,如果取出的是废品就不再放回去.求取得第一个合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.解：假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为J则可算出9P{g=0}==0.751239P{g=1}=-=0.20451211TOC\o"1-5"\h\z299P{g=2}=0.0411211102203211P{g=3}=--==0.0045121110220因此有Eg=0.2045+0.041x2+0.0045x3=0.3Eg2=0.2045+0.041x4+0.0045x9=0.409Dg=Eg2-(Eg)2=0.409=0.09=0.319假定每人生日在各个月份的机会是同样的,求3个人中生日在第一个季度的平均人数.解:设三个随机变量J,(i=1,2,3),如果3个人中的第i个人在第一季度出生，则©=1,否则©=0,则©服从0-1分布，且有P(©=1)=1/4,因此E©=1/4,(i=1,2,3)设E为3个人在第一季度出生的人数，则E=©1+©2+©3,因此^©=E(©1+©2+©3)=3^©

12.E有分布函数F(x)=<1—e-人x>0其它，12.E有分布函数F(x)=<1—e-人x>0其它，求心几解：因E的概率密度为P(x)=F'(x)=<:儿x>0其它,因此+g+gEg=Jx申(x)dx=JxXe-九xdx=0Je-九x丿—g=—xe—心+8+Je-心dx=——e-心0九+g=x0+g+g+g()Eg2=Jx2申(x)dxx2dJe-心丿—g00=十一++于2xe皿=1蜃=m021Dg=Eg2—(Eg)2=y'九2匕——.Ixl<113.g〜申(x)十J1—x2,求EE和DJ0其它解:因y(x)是偶函数，因此EE=O,则DJ=EE2-(EE)2=EE2因此有Dg=Eg2=Jx2p(x)dx=2Jdx兀+■1—x2—g0t令x=sin0,dx=cos0d0则上式=2)丄sin20d0=-JCOS20+1d0=^sin20t+丄0F=10即DJ兀22兀0兀o2016.如果J与n独立，不求出En的分布直接从J的分布和n的分布能否计算出D(En),怎样计算?解:因J与n独立，因此J与n2也独立，则有D(gn)=e(gn)2—Ie(gq)l=Eg2En2-(eg》随机变量n是另一个随机变量J的函数，并且n=e^E(A>0),若En存在，求证对于任何实数a都有P{E>a}<e亠•Ee猛.证:分别就离散型和连续型两种情况证.在E为离散型的情况：假设p（E=x）=Pi，贝yP{g>a）=p<e尢（x.-a）p<e尢（x.-a）p=E[e尢化-a）]二e-MEe猛iiix>ax>ai=1..在E为连续型的情况假设E的概率密度为y（x）,则P{g>a}=jp(x)dx<Je尢(x-a)p(x)dx<Je尢(x-a)p(x)dx=Ee尢(—)=e»Ee猛aa-g证毕.证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证：设E为一次试验中事件A发生的次数，当然最多只能发生1次，最少为0次，即E服从0-1分布,P{E=1}=P（A）=p,P{d=0}=l-p=q,1111p-一I2丿则D=p(1-p)=p-p2=4-4+2•-p-p-一I2丿II厶I证明对于任何常数c,随机变量E有DE=E(E-C)2-(E&C)2证：由方差的性质可知D(E-c)=Dd,而D(g-c)=E(g-c)2-[E(g-c)]2=E(g-c)2-(Eg-c)2证毕.20.（E,n）的联合概率密度0（x,y）=e-（x+y）（x,y>O）,计算它们的协方差cov（乙"）•解：由0（x,y）=e-（x+y）（x,y>O）可知E与n相互独立，因此必有cov（d,"）=0.21.袋中装有标上号码1,2,2的3个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以E,n分别记为第一，二次取到球上的号码数，求E与n的协方差.解：可以求出E与n的分布律如下表所示二nEpl1/321/3而由于对称性E与n的边缘分布率一样,P{E=2}=P{n=2}=2/3,P{E=1}=p{n=1}=1/3,

12E—n=iX3+2x3二E化叩=盘$jp{g=2；叶=j}=2x*+2X*+4x3=3i=1j=1TOC\o"1-5"\h\z852i则co