新北师大版九年级下册圆专题专项练习

新北师大版九年级下册圆专题专项练习1、在圆周角定理中，如果已知一个圆的圆心角和弦长，可以通过公式计算出圆的半径。例如，在第一题中，已知∠A为50°，因为∠BOC为圆心角，所以它的度数等于弦AB所对的圆周角度数的一半，即50°×2=100°。根据圆周角定理，圆的周长等于360°，因此弦AB所对的圆周角度数为360°-100°=260°。设圆的半径为r，则有r×260°/360°=12，解得r=6。因此，选项D的答案是60°。2、在第二题中，已知∠ABO为40°，所以∠ADC为圆周角的一半，即180°-40°=140°。根据圆周角定理，弦AC所对的圆周角度数为360°-140°=220°。设圆的半径为r，则有r×220°/360°=20，解得r=100/11。因此，选项B的答案是30°。3、在第三题中，已知∠AOB为40°，因为直径CD平行于弦AB，所以∠BAC为∠BOC的补角，即140°。根据圆周角定理，弦AB所对的圆周角度数为360°-40°=320°。设圆的半径为r，则有r×320°/360°=AC/2，解得r=AC/4。由于AC是圆的直径，所以r=OB=OA。因此，选项C的答案是20°。4、在第四题中，∠BCD为圆周角的一半，即14°。因为AB是圆的直径，所以∠ABD为直角，即90°。根据圆周角定理，弦BD所对的圆周角度数为360°-28°=332°。设圆的半径为r，则有r×332°/360°=BD/2，解得r=BD/2.根据余弦定理，有BD²=AB²+AD²-2AB·ADcos∠BAD，代入AB=2r，AD=r，∠BAD=90°，得到BD²=4r²+r²-4r²=2r²，因此BD=r√2。根据正弦定理，有BE/BD=sin∠BDE/sin∠BED，代入∠BDE=90°-∠BCD=76°，∠BED=∠ABD-∠ABE=90°-28°-∠ABE，得到BE/BD=sin76°/sin62°，解得BE=r(√3-1)。因此，选项D的答案是46°。5、在垂径定理中，如果已知一个圆的半径和弦的长度，可以通过勾股定理计算出垂线的长度。例如，在第五题中，已知ON⊥AB，ON=r²/OB，AB=2r，AN=BN=AB/2=r，因此ON²=AN²-NO²=r²-(r²-169)=169，解得ON=13。因此，选项D的答案是11。6、在垂径定理中，如果已知一个圆的直径和一个角的度数，可以通过正弦定理计算出垂线的长度。例如，在第六题中，已知BC为圆的直径，∠D为32°，因为∠OAC为直角，所以∠OAB为58°。根据正弦定理，有r/sin58°=AC/2，代入AC=BC=2r，解得r=2√3。因此，选项B的答案是58°。7、在与圆有关的位置关系中，如果已知一个圆的直径和弦的长度，可以通过勾股定理计算出垂线的长度。例如，在第七题中，已知BE垂直于CD，因为AB为圆的直径，所以∠BAC为直角，因此BE²=AB²-AE²=64-36=28，解得BE=2√7。因此，选项B的答案是2√7。8、在与圆有关的位置关系中，如果已知一个圆的半径和一个直角三角形的两条直角边，可以通过勾股定理计算出圆心到直线的距离。例如，在第八题中，已知圆的半径为2.5，BC=3，AC=4，因为∠C为直角，所以圆心到直线AB的距离为|AC·BC|/AB=6/5。因此，选项A的答案是相交。9、在与圆有关的位置关系中，如果已知两个圆的半径和它们的位置关系，可以通过勾股定理计算出它们的距离。例如，在第九题中，已知圆A的半径为3，圆D与圆A相交，CD=3，BC=7-3=4，因为∠C为直角，所以圆心到直线AB的距离为|AC·BC|/AB=12/7。设圆心距为x，则有(x-3)²+12²=x²，解得x=15/2。因此，选项C的答案是1＜r＜8。10、在与切线有关的证明与计算中，如果已知一个圆的切点和圆心角的度数，可以通过圆心角定理计算出切线和切点的位置关系。例如，在第十题中，已知∠AOB为60°，因为AB与切线垂直，所以∠AOB为切线和半径的夹角，即切线与半径的夹角为30°。根据圆心角定理，切点与圆心的连线与切线的夹角等于圆心角的一半，即15°。因此，选项C的答案是45°。(2)若AB＝6，AC＝8，求DF的长。22、在直角三角形ABC中，AC＝23，BC＝x，以B为圆心，BC为半径作弧，交AB于点D。若点D为AB的中点，则阴影部分的面积为23－π。23、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以D为圆心，DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G。则阴影部分的面积为183－9π。24、在内接正三角形ABC中，⊙O的半径为3。则阴影部分的面积为3π。25、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E、F。(1)直线BC与⊙O相交于点D，因为直径AC在BC上，且∠ACB＝90°，所以BC是⊙O的切线。(2)设CP为圆的切线，PF＝x，则PC＝2x，AF＝5，根据相似三角形可得：$\frac{PC}{AF}=\frac{BC}{AB}$，代入已知条件可得：$\frac{2x}{5}=\frac{\sqrt{23}}{23}$，解得：$x=\frac{5\sqrt{23}}{46}$，所以阴影部分的面积为$\frac{23\pi}{4}-\frac{115}{184}$。26、设正方形的边长为a，则正方形的面积为$a^2=4$，所以$a=2$。正方形的对角线为直径，所以圆的直径为2，半径为1，面积为π。27、设正六边形的边长为a，则正六边形的内径为a，外径为2a，所以圆的直径为2a，半径为a，面积为πa^2。根据勾股定理可得BE＝a√3，所以B、E两点间的距离为2a√3。28、(1)连接OF，由于△AEF为等边三角形，所以OE＝OF，又因为OA为圆的直径，所以∠OEF＝90°，所以△OEF为等腰直角三角形，所以DF＝FB。(2)连接CF，设∠CAF＝x，则∠BAF＝90°－x，∠FAC＝x，∠AFC＝90°－x，所以∠FCB＝x，又因为△BAF为直角三角形，所以∠BFA＝90°－x，所以∠BCF＝2x，所以∠FCB＝∠BCF，所以CF为BC的垂线。29、(1)因为∠ACB＝90°，所以AB为圆的直径，所以CD为圆的切线，所以∠ACD＝∠ADF，所以AE＝EF，所以∠EAF＝60°，所以∠BDF＝60°，所以BD＝DF，所以△DFB为等腰三角形。(2)设CP＝x，则PF＝$\frac{x}{2}$，根据相似三角形可得：$\frac{PC}{AF}=\frac{BC}{AB}$，代入已知条件可得：$\frac{x}{5}=\frac{4}{\sqrt{23}}$，解得：$x=\frac{20\sqrt{23}}{23}$，所以阴影部分的面积为$\frac{23\pi}{4}-\frac{460}{529}$。30、(1)连接OF，因为OA为圆的直径，所以∠OAF＝90°，所以∠OFD＝90°，所以DF⊥AC。(2)设DF＝x，则BD＝CD＝x，根据勾股定理可得AD＝2，BD＝CD＝$\sqrt{6}$，所以BC＝2，AC＝$\sqrt{10}$。设AF＝y，则BF＝1－y，根据相似三角形可得：$\frac{y}{x}=\frac{1}{\sqrt{10}}$，代入DA＝7AF可得：$x=\frac{7\sqrt{10}}{11}$，所以阴影部分的面积为$\frac{1}{2}(2\pi-7-\frac{77\pi}{110}